книги / Теоретические основы процессов получения и переработки полимерных материалов

Вязкий поток. Перейдем теперь к общей теории вязкого потока, по крайней мере настолько общей, насколько это известно человеку. Вы уже понимаете, что компоненты касательных напряжений сдвига пропорциональны пространственным производным от различных компонент скорости, таких как ∂vx / ∂y или ∂vy / ∂x . Однако в общем

случае сжимаемой жидкости в тензоре напряжений есть и другой член, который зависит от других производных скорости. Общее выражение имеет вид

где xi – какая-либо из координат x, y или z; vi – какая-либо из прямоугольных составляющих скорости. Значок δiy обозначает символ

Кронекера, который равен единице при i = j и нулю при i ≠ j . Ко всем диагональным элементам Sij тензора напряжений прибавляется дополнительный член (η′ v).

Если же жидкость несжимаема, то v = 0 и дополнительного члена не появляется, так что он действительно имеет отношение к внутренним силам при сжатии. Для описания поведения жидкости, точно так же как и для описания однородного упругого тела, требуются две постоянные. Коэффициент η представляет «обычный» коэффициент вязкости, который мы уже учитывали. Он называется также первым коэффициентом вязкости, а новый коэффициент η′

называется вторым коэффициентом вязкости.

Теперь нам предстоит найти вязкую силу fvis, действующую на единицу объема, после чего мы можем подставить ее в формулу (10.1) и получить уравнение движения реальной жидкости. Сила, действующая на маленький кубический объем жидкости, представляет собой равнодействующую всех сил, действующих на все шесть его граней. Взяв их по две сразу, мы получим разность, которая зависит от производных напряжений и, следовательно, от вторых производных скоростей. Это приятный результат, ибо он приводит нас к векторному уравнению. Компонента вязкой силы, действующей на единицу объема в направлении оси xi,

131

Здесь векторное поле ( Ω ) определяется как ротор скорости потока ( V ): Ω = V. Если Ω всюду равно нулю, то такой поток мы называем безвихревым (или потенциальным). Если же бы мы пренебрегли членом (Ω V), то получили бы дифференциальное

уравнение. Новый член означает, что вихри диффундируют в жидкости. При большом градиенте вихри расползаются в соседние области жидкости. Именно поэтому утолщаются кольца табачного дыма.

Число Рейнольдса ( ). Посмотрим теперь, изменяется ли течение жидкости из-за нового члена с вязкостью. Рассмотрим несколько подробнее две задачи.

Первая – обтекание жидкостью цилиндра. Оказывается, что сегодня возможно найти решение вязких уравнений только для некоторых специальных случаев с использованием экспериментов.

Математическая задача состоит в следующем: мы хотим найти решение для потока несжимаемой вязкой жидкости вблизи длинного цилиндра диаметром D. Поток должен определяться уравнением

(10.17) и

с условием, что скорость на больших расстояниях равна некоторой постоянной V (параллельной оси x), а на поверхности цилиндра равна нулю. Так что имеем соотношение

при

x2 + y2 = D2 . 4

Это полностью определяет математическую задачу.

Если вы вглядитесь в эти выражения, то увидите, что в задаче есть четыре различных параметра: η, ρ, D и V. Можно подумать, что нам придется иметь дело с целой серией решений для разных V, раз-

133

ных D и т.д. Вовсе нет. Все возможные различные решения соответствуют разным значениям одного параметра. Такова наиболее важная общая вещь, которую мы можем сказать о вязком потоке. А чтобы понять, почему это так, заметьте сначала, что вязкость и плотность появляются в виде отношения η/ρ, т.е. удельной вязкости. Это уменьшает число независимых параметров до трех. Предположим теперь, что все расстояния мы измеряем в единицах той единственной длины, которая появляется в задаче: диаметра цилиндра D, т.е. вместо x, y, z мы вводим новые переменные x′, y′ z′, причем

При этом параметр D из формулы (10.19) исчезает. Точно так же если будем измерять все скорости в единицах V, т.е. если мы положим v = v′V , то избавимся от V, а v′ на больших расстояниях будет просто равно единице. Поскольку мы фиксировали наши единицы длины скорости, то единицей времени теперь должно быть D/V, так что мы должны сделать подстановку:

Если теперь мы просто запомним, что все наши уравнения должны выписываться для величин, измеренных в новых единицах, то все штрихи можно опустить. Тогда уравнения для потока жидкости примут вид

4

и

vx =1, vy = vz = 0

для

x2 + y2 + z2 >> 1.

На языке математики – если в некоторый момент мы знаем Ω, то мы знаем и ротор вектора скорости и, кроме того, знаем, что его дивергенция равна нулю, так что в этих физических условиях у нас есть все необходимое для определения скорости v повсюду.

Что это все значит? Если мы, например, решили задачу для потока с одной скоростью V1 и некоторого цилиндра диаметром D1, а затем интересуемся обтеканием цилиндра другого диаметра D2 другой жидкостью, то поток будет одним и тем же при такой скорости V2, которая отвечает тому же самому числу Рейнольдса, т.е. когда выполняется условие

135

В любых случаях, когда числа Рейнольдса одинаковы, поток при выборе надлежащего масштаба x′, y′, z′ и t′ будет «выглядеть»

одинаково. Это очень важное утверждение, ибо оно означает, что мы можем определить поведение потока воздуха при обтекании крыла самолета, не строя самого самолета и не испытывая его. Вместо этого мы можем сделать модель и провести измерения, используя скорость, которая дает то же самое число Рейнольдса. Именно этот принцип позволяет нам применять результаты измерений над маленькой моделью самолета в аэродинамической трубе или результаты, полученные с моделью корабля, к настоящим объектам.

Напомню, однако, что это можно делать только при условии, что сжимаемостью жидкости можно пренебречь. В противном случае войдет новая величина – скорость звука. При этом различные модели будут действительно соответствовать друг другу только тогда, когда отношение V к скорости звука тоже приблизительно одинаково. Отношение скорости потока V к скорости звука в нем называется числом Маха. Таким образом, для скоростей, близких к скорости звука или больших́ , поток в двух задачах будет выглядеть одинаково, если число Маха и число Рейнольдса в обеих ситуациях одинаковы.

Обтекание кругового цилиндра. Вернемся теперь обратно к задаче об обтекании цилиндра медленным (почти несжимаемым) потоком. Ядам вам качественное описание потока реальной жидкости. О таком потоке нам необходимо знать множество вещей. Например, какая увлекающая сила действует на цилиндр? Сила, увлекающая цилиндр, показана на рис. 10.4 как функция величины (числа Рейнольдса), которая пропорциональна скорости V, если все остальное фиксировано. Фактически на рисунке отложен коэффициент увлечения Cd – безразмерное

число, равное отношению силы к 12 ρV 2 Dl (D – диаметр, l – длина ци-

линдра, ρ– плотностьжидкости):

Рис. 10.4. Коэффициент увлечения Сd кругового цилиндра как функция числа Рейнольдса

Коэффициент увлечения изменяется довольно сложным образом, будто бы намекая нам на то, что в потоке происходит нечто интересное и сложное. Свойства потока полезно описывать для различных областей изменения числа Рейнольдса. Прежде всего, когда число очень мало, поток вполне стационарен, скорость в любой точке потока постоянна ион плавно обтекает цилиндр. Однако распределение линий потока не похоженаихраспределениевпотенциальномпотоке.

Они описывают решение несколько другого уравнения. Когда скорость очень мала, что эквивалентно, вязкость очень невелика, так что вещество по своей консистенции напоминает мед, можно отбросить инерционныечленыиописатьпотоктакойжидкостиуравнением

2Ω = 0.

Это уравнение впервые было решено Стоксом. Он также решил задачу для сферы. Когда маленькая сфера движется (или ее обтекает жидкость) при малых числах Рейнольдса, то к ней приложена сила, равная произведению 6πηrV , где r – радиус сферы, V – скорость по-

тока.

137

Очень полезная формула: она говорит нам о скорости, с которой мельчайшие частички, которые приближенно можно считать шариками, движутся в жидкости под действием данной силы, например, в центрифуге, или при осаждении, или, наконец, в процессе диффузии.

В области малых чисел Рейнольдса ( < 1) линии v вокруг цилиндра имеют вид, показанный на рис. 10.5.

Рис. 10.5. Вязкий поток, обтекающий цилиндр (малая вязкость)

Если мы теперь увеличим скорость потока, так что число Рейнольдса станет несколько больше единицы, то увидим, что поток изменится.

Как показано на рис. 10.6, б, за сферой возникнут вихри. До сих пор неясно, существовали ли вихри и при малых числах Рейнольдса или же они возникли неожиданно при некотором определенном числе. Обычно считали, что циркуляция возникает постепенно. Однако теперь думают, что, скорее, она проявляется неожиданно и возрастает с увеличением . Во всяком случае, поток в районе от = 10 до= 20 меняет свой характер. За цилиндром образуется пара вихрей.

Когда число Рейнольдса проходит через значения в районе 40, поток снова меняется. Характер движения претерпевает неожиданное и резкое изменение. Один из вихрей за цилиндром становится настолько длинным, что он отрывается и плывет вниз по течению вместе с жидкостью. При этом жидкость за цилиндром снова закручивается, и возникает новый вихрь.

Эти вихри поочередно отслаиваются то с одной стороны, то с другой стороны так, что в какой-то момент поток выглядит прибли-

138

зительно так, как показано на рис. 10.6, в. Такой поток вихрей называется вихревой цепочкой Кармана. Она всегда появляется при числах > 40. Фотография такого потока показана на рис. 10.7.

Разница в режиме между двумя потоками, изображенными на рис. 10.6, а, б или в, очень велика. На позициях а и б скорость постоянна, тогда как в случае в скорость потока в любой точке изменяется со временем.

Выше = 40 стационарное решение отсутствует, граница перехода отмечена на рис. 10.4 пунктирной линией. Для таких более высоких чисел поток изменяется со временем некоторым регулярным периодическим образом.

Создаются вихри. Можно представить себе физическую причину возникновения этих вихрей. Мы знаем, что на поверхности цилиндра скорость жидкости должна быть равна нулю, но при удалении от поверхности скорость быстро возрастает. Это большое местное изменение скорости жидкости и создает вихри. Когда скорость основного потока достаточно мала, у вихрей хватает времени, чтобы продиффундировать из тонкого слоя вблизи поверхности твердого тела (цилиндра), где они создаются, и «расплыться» на большую область. Эта физическая картина должна подготовить нас к следующему изменению природы потока, когда скорость основного потока или число увеличивается еще больше.

По мере возрастания скорости у вихря остается все меньше и меньше времени, чтобы «расплываться» на большую область жидкости. К тому моменту, когда число Рейнольдса достигнет нескольких тысяч, вихри начинают заполнять тонкую ленту (рис. 10.6, г). В таком слое поток хаотичен и нерегулярен. Такая область называется пограничным слоем, и этот нерегулярный поток с увеличением пробивает себе путь все дальше и дальше вниз по течению. В области турбулентности скорости очень нерегулярны и «беспорядочны», вдобавок поток больше не двумерный – он крутится во всех трех измерениях. Кроме того, на турбулентное налагается еще регулярное переменное (колебательное) движение.

При дальнейшем увеличении числа Рейнольдса область турбулентности пробирается вперед, пока при потоке с , превышающим 105, не достигнет места, где линии тока огибают цилиндр. При этом

139

поток будет похож на то, что на рис. 10.6, д, и мы получаем так называемый «турбулентный след». Кроме того, происходят еще коренные изменения в силе увлечения – она, как видно на рис. 10.4, сильно падает. При таких скоростях увлекающая сила с возрастанием скорости действительно уменьшается. По-видимому, здесь проявляется некоторое стремление к периодичности.

Рис. 10.6. Потоки жидкости, обтекающие цилиндр, при различных числах Рейнольдса

140