книги / Теоретические основы процессов получения и переработки полимерных материалов

Рис. 3.1. Схема течения потока между параллельными пластинами

Обозначим касательное напряжение на пластине как τw. Тогда касательное напряжение на поверхности слоя потока толщиной h

Из реологического закона течения определяется градиент скорости потока как функция касательного напряжения:

Поэтому для степенного закона течения Освальда де Виля, которому подчиняются большинство полимерных материалов (см. кривые течения тиксотропных или псевдопластичных сред), можно записать

Подставляя значение τxy из уравнения (3.4) в формулу (3.1), получим

31

Если пластины неподвижны, то после интегрирования выражения (3.5) с учетом (3.2) и (3.3) имеем закон распределения скоростей по координате y:

На рис. 3.2 показаны эпюры скоростей параллельных слоев потока, построенные на основе уравнения (3.6) при различных значениях показателя n. Видна смена фронтов течения после точки их пересечения по мере увеличения или уменьшения динамического коэффициента вязкости в соответствии с реологическим законом Освальда де Виля.

Рассматриваемый вид течения имеет место, например, в зазорах технологической оснастки при изготовлении полимерных композиционных материалов строительного назначения методом «глухого» прессования. Сходный характер течения наблюдается и при ремонтной «заделке» трещин.

Рис. 3.2. Распределение скоростей при течении между параллельными неподвижными пластинами: 1 – n = 0,5; 2 – n = 1,0; 3 – n = 1,5

Если верхняя пластина движется вдоль оси x с некоторой скоро-

стью v0 и ∂∂Px ≠ 0 , то из уравнения (3.5) имеем

32

полимерного материала (кривая 3) константы С1 и С2 соответственно равны 2v0 / h и v0, а уравнение (3.8) принимает вид vx = v0 y / h; при

этом эпюра скоростей не зависит от реологических свойств исследуемого потока.

Стабилизированное течение полимерных материалов в цилинд-

рической трубе. Как и для случая течения между параллельными пластинами, при движении неньютоновского потока в трубе круглого сечения справедливо уравнение (2.8), которое для ламинарного стабилизированногоиизотермического теченияможнозаписатьтак:

если считать, что течение происходит вдоль оси x, а плоскостью поперечного сечения является поверхность y–О–z. Здесь удобно использовать цилиндрическую систему координат. Тогда уравнение (3.10) примет вид

Если радиус используемой трубы равен R, то, интегрируя зависимость(3.11) впределах 0 ≤ r ≤ R , получимформулу дляτrx настенке:

Подставляя выражение реологического закона Освальда де Виля, которому подчиняютсябольшинствополимерныхматериалов, ввиде

τ = K ∂vx n

rx ∂

r

в уравнение (3.12), можно получить формулу, описывающую течение степенной полимерной жидкости в цилиндрической трубе:

Таблица 3 . 1

Инженерные формулы для описания течений полимерных материалов, подчиняющихся реологическому закону

Освальда де Виля

Формула для Величина Расчетная формула ньютоновской

жидкости

Метод конечных элементов (МКЭ) широко применяется для описания течения полимерных материалов в каналах сложной формы. Метод МКЭ представляет собой разновидность способов приближенного численного интегрирования дифференциальных уравнений движения сплошной среды, позволяющих определить вид непрерывных функций, описывающих поле некоторых скалярных или векторных величин (давлений, скоростей).

При использовании этого метода непрерывная область потока в канале или элементе оборудования подразделяется на конечное число подобластей.

Рис. 3.5. Двумерная область среды, выделенная как комплекс треугольных элементов

На рис. 3.5 показан пример разбиения на треугольные элементы некоторой двумерной области, например полимерного потока в канале произвольного сечения. Каждый элемент может иметь свои собственные размер и форму, которые выбирают так, чтобы они наилучшим образом соответствовали форме и размерам исследуемого сечения канала или элемента оборудования.

Метод МКЭ отличается от метода конечных разностей, при котором используется сетка с ячейками одинакового размера, описываемыми теми же координатами, что и геометрия сечения. Точки пересечения кривых, ограничивающих соседние элементы, называются узлами. Значения переменных, вычисленные в узлах, дают искомое решение.

38

Обычно конечные элементы в двухмерных задачах имеют треугольную, прямоугольную или четырехугольную форму. При решении трехмерных задач используют элементы, имеющие форму прямоугольных призм и тетраэдров. Внутри каждого элемента подбирается интерполяционная функция, описывающая изменение определяемого параметра.

Выбранные аппроксимирующие функции называются пробными функциями или пространственными изменяемыми моделями. Обычно в качестве таких функций используют усеченные полиномы. Число членов (коэффициентов) в таком полиноме должно быть по крайней мере равно числу степеней свободы, присущих каждому отдельному элементу.

Особенностью метода МКЭ является его гибкость при описании систем со сложной геометрией и смешанными граничными условиями. Он не только позволяет разбить область со сложными границами на хорошо укладывающиеся в ее контуры конечные элементы, но также и использовать конечные элементы с переменными размерами и изменяющейся формой.

39

Лекция IV

Турбулентное течение полимерных материалов

Определение критерия Рейнольдса. Разнообразие в реологиче-

ских свойствах полимерных потоков как неньютоновских жидкостей требует большого внимания к оценке критерия Рейнольдса. Форма записи этого параметра зависит от реологического закона.

Число Рейнольдса – это средняя скорость (vmid) потока полимерного материала в канале, умноженная на характерный размер канала (L) и деленная на динамический коэффициент вязкости (η):

В качестве характерного размера можно использовать радиус (диаметр) трубы, если изучается течение в цилиндрической трубе. Если же поперечное сечение канала имеет произвольную геометрию, то за характерный размер может быть принят приведенный (эквивалентный) радиус Requ или гидравлический радиус Rr. Его величина определяется как радиус круга, имеющего такую же площадь исследуемого сечения канала. При этом гидравлический радиус представляет собой отношение площади поперечного сечения канала S к его периметру P: Rr = S/P. Заметим также, что гидравлический радиус круга в два раза меньше геометрического:

Rr = S = πR2 = R . P 2πR 2

Если известна функция реологического закона τ = f (τ) для ис-

следуемого полимерного материала, то в знаменателе формулы (4.1) можно записать значение так называемой эффективной средней вязкости (ηeffmid ) , определяемой как тангенс угла наклона (α) прямой,

соединяющей точку O с точкой А, соответствующей рассматриваемому градиенту скорости сдвига потока γA (рис. 4.1). На практике приходится пользоваться такими формами записи критерия Рей-

40