книги / Теоретические основы процессов получения и переработки полимерных материалов

нольдса, которые бы соответствовали рассматриваемому реологическому закону, например формуле Освальда де Виля. Такая форма записи называется обобщенным критерием Рейнольдса.

Рис. 4.1. Определение эффективной вязкости

На основании зависимостей, приведенных в табл. 3.1 и описывающих течение полимерного материала в цилиндрической трубе, можно определить касательное напряжение у стенки трубы:

где D – диаметр трубы, K и n – параметры уравнения Освальда де Виля.

В этом случае динамический коэффициент вязкости можно определить как

После подстановки выражения (4.2) в формулу (4.1) и алгебраических преобразований получаем следующую форму записи крите-

рия Рейнольдса для полимерного потока, подчиняющегося реоло-

гическому закону Освальда де Виля, если принять L = D:

41

Потери давления при турбулентном течении полимерных материалов в трубах можно рассчитать, если использовать теорему подобия Букингема, на основании которой из общей зависимости –

Входящие в формулу (4.4) реологические константы Метцне-

ра и Рида (K′,n′) зависят от консистентной постоянной K и индекса

течения n, входящих в формулу реологического закона Освальда де Виля:

Параметры же K и n определяются, как отмечалось ранее в лекции II, физико-химическими свойствами полимерного материала.

Наконец, выражение критерия Рейнольдса по Метцнеру (ReM)

определяет коэффициент внутреннего трения потока и трения о стенку трубы:

Додж и Метцнер определили вид функции f, входящей в уравнение (4.5), распространив на неньютоновские жидкости логарифмиче-

скийзаконсопротивления потока, предложенныйКарманом:

42

Уравнение (4.6) для полимерных (неньютоновских) потоков, подчиняющихсяреологическому закону ОсвальдадеВиля, имеетвид

причем найденный по формуле (4.8) параметр С2 связан с константой n′ :

Учитывая зависимости (4.8) и (4.9), выражение для коэффициента трения полимерного потока можно записать в следующей форме

(рис. 4.2):

Формула (4.10) является обобщением логарифмического закона Кармана.

На рис. 4.3 приведены эпюры скоростей для ламинарного и турбулентного потоков одного из полимеров с индексом течения n = 0,377 и числом Re = 4875 в цилиндрической трубе. Данные получены Доджем и Метцнером на основе предложенных ими эмпирических формул. Видно, что турбулентный (с образованием вихрей) режим течения приводит к существенному увеличению коэффициента внутреннего трения и трения о стенку трубы и, как следствие, к росту динамического коэффициента вязкости полимерного потока в сравнении с ламинарным режимом течения.

43

Рис. 4.2. Определение коэффициента трения как функции критерия Рейнольдса по формуле (4.10) при различных значениях константы n′:

экспериментальные результаты; экстраполяция

Рис. 4.3. Эпюры скоростей для ламинарного (1) и турбулентного (2) потоков расплава полимера с n = 0,377 (штриховая кривая – n = 1)

44

Рис. 4.4. Определение критического числа Рейнольдса как функции параметра S

Основные параметры, характеризующие течение в ламинарном и турбулентном режимах и используемые в инженерной практике, следующие:

На рис. 4.4 показана граница перехода из одного режима в другой в виде зависимости критического числа Рейнольдса (Reкр) от параметра S.

В результате исследования кинематических характеристик турбулентного потока в трубе Додж и Метцнер приняли, что для ньютоновских жидкостей, как и для неньютоновских сред, поток может быть разделен на три зоны:

1) ламинарный подслой толщиной δ у стенки трубы (область

0 ≤ y ≤ δ);

45

2)переходная область толщиной δ1 (δ ≤ y ≤ δ1 + δ);

3)развитый турбулентный поток (δ1 ≤ y ≤ R).

Рис. 4.5. Зависимость коэффициента трения (cfr) от величины критерия Рейнольдса (Re) для полимерных суспензий при различных скоростях потока (vmid)

В табл. 4.5 обобщены данные, с помощью которых можно определить коэффициент трения (cfr) (рис. 4.5) при турбулентном течении ньютоновских (пластификаторы) и неньютоновских (полимерные расплавы) жидкостей в трубах.

46

ньютоновских сред можно вычислить по формуле q = −λ gradT , где λ – коэффициент теплопроводности полимерного материала.

Входящие в уравнение (5.2) параметры K, n – константы закона Освальда де Виля, зависящие от физико-химических свойств полимерного материала и температуры. Поэтому необходимо учитывать и температурную зависимость динамического коэффициента вязкости, например, с помощью эмпирической формулы Вильямса – Ланделя – Ферри.

Функциональный параметр I2 – квадратичный (второго ранга) инвариант тензора скоростей деформаций, который записывается в виде

Для неньютоновских сред, подчиняющихся реологическому закону Освальда де Виля, существуют и другие формы записи закона Фурье:

q = −B(2I2 )(n−1) / 2 gradT; q = −N[gradT ]n−1gradT ,

где B и N – некоторые постоянные величины, зависящие от физикохимических свойств полимерных материалов.

Теплообмен при ламинарном течении в канале. Рассматрива-

ется стабилизированный полимерный поток в цилиндрическом канале. Распределение температур при его течении в соответствии с законом Освальда де Виля определяется из уравнения теплопроводности в виде

Здесь диссипативный член уравнения (5.1) эквивалентен выражению

где ηeff – эффективная вязкость; Tmid – средняя температура полимерного потока; L – длина участка трубы радиусом R.

Левая часть уравнения теплопроводности (5.3) представляет изменение температуры потока вдоль трубы; первый член в правой части отражает распределение температуры по сечению трубы; второй и третий члены правой части – локальное тепловое напряжение.

Величина ∂P / ∂x , так же как и vx, определяется из записанного соответствующимобразомуравнениясохраненияколичествадвижения.

Уравнение (5.3) является основным при решении задачи о теплообмене полимерного потока со стенкой трубы, через которую может подводиться или отводиться тепловая энергия соответствующим устройством.

Ниже приведены необходимые граничные условия по температурам: текущей (T), начальной (T0) и на стенке (Tw):

Если в уравнение (5.3) величину скорости потока (vx) выразить через формулу (3.19), то искомое распределение температур выразится так: