книги / Теоретические основы процессов получения и переработки полимерных материалов

Рис. 10.7. Фотография цепочки вихрей в потоке жидкости за цилиндром

А что происходит при еще больших́ числах Рейнольдса? С дальнейшим увеличением скорости размер области турбулентности снова увеличивается и сила сопротивления возрастает. Последние эксперименты, которые дошли до области = 107 или несколько больше, показывают, что в турбулентной области появляется новая периодичность, быть может, потому, что вся область колеблется вперед и назад в общем движении, а может быть, из-за нового сорта вихрей, которые появляются вместе с нерегулярным «шумовым» движением. Детали его полностью еще не ясны, и они до сих пор изучаются экспериментально.

Предел нулевой вязкости. Мне бы хотелось подчеркнуть, что ни один из описанных нами потоков ни в каком отношении не похож на решение уравнения потенциального потока, о котором говорилось ранее. На первый взгляд, это очень удивительно. Ведь в конце концов пропорционально 1/η. Так что предел η → 0 эквивалентен пределу → ∞. Иесли мы перейдем к пределу больших в формуле (10.23), то избавимся от правой части и получим как раз искомые уравнения. Но все же трудноповерить, чтосильнотурбулентныйпотокс = 107 хотьвкакойтостепениприближаетсякгладкомупотоку, вычисленномуизуравнений «сухой» воды. Какможетслучиться, чтопри = ∞поток, описываемый уравнением (10.23), дает решение, полностью отличное от решения, полученного при η = 0, с которого мы начали? Ответ очень интересен. Об-

141

ратитевнимание, чтовправойчастиформулы(10.23) стоитпроизведение 1/ на вторую производную. Это наиболее высокая степень производной в уравнении: слева только первые производные. Получается так, что, хотя коэффициент 1/ становится малым, Ω в пространстве вблизи поверхностипретерпеваеточеньбыстрыеизменения. Этирезкиеизменения компенсируют малость указанного коэффициента, и произведение с увеличением не стремится к нулю. Поэтому, хотя коэффициент при выражении 2Ω стремится к нулю, решения не приближаются к предельномуслучаю.

Вас может удивить: «Что же такое мелкомасштабная турбулентность и как она может поддерживать сама себя? Как завихренность, которая создается где-то на краях цилиндра, приводит к такому шуму позади него?».

Ответ снова очень интересен. Завихренность имеет тенденцию к самоусилению. Если мы на минуту забудем о диффузии завихренности, которая обуславливает потери, то законы потока говорят (как мы уже видели), что линии вихря переносятся вместе с жидкостью со скоростью V. Представьте себе некоторое количество линий Ω, которые возмущаются и скручиваются очень сложной картиной скоростей потока V. Прежде простые линии спутаются и сожмутся. Величина завихренности будет возрастать, равно как и ее нерегулярности (положительные и отрицательные), которые, вообще говоря, тоже будут увеличиваться. Таким образом, завихренность в трех измерениях по мере перемешивания жидкости будет возрастать.

Вы можете также спросить: «Когда же в конце концов справедлива теория потенциального потока?». Прежде всего, она удовлетворительна вне турбулентной области, куда проникновение завихренности из-за диффузии незначительно. Изготовляя специальные обтекаемые тела, мы стараемся сделать область турбулентности как можно меньше. Поток, обтекающий крылья самолета, которые имеют специальную рассчитаннуюформу, – почтинастоящийпотенциальныйпоток.

Поток Куеттэ. Можно показать, что сложный и изменчивый характер потока мимо цилиндра не исключение и что такое разнообразие возможностей получается и в общем случае. Ранее мы нашли

142

решение для вязкой жидкости между двумя цилиндрами и можем сравнить эти результаты с тем, что получается на самом деле. Если мы возьмем два концентрических цилиндра и заполним пространство между ними маслом с добавленной в него мелкой алюминиевой пудрой, то поток можно легко наблюдать. Если начнем медленно вращать внешний цилиндр, то ничего неожиданного не произойдет (рис. 10.8, а). Можно медленно вращать и внутренний цилиндр, все равно ничего потрясающего не будет. А вот если мы начнем очень быстро вращать внутренний цилиндр – случится нечто удивительное. Жид-

а внутренний оставим в покое, то никакого похожего эффекта не возникнет. Как же получается, что не все равно, какой цилиндр вращать – внутренний или внешний. Ведь в конце концов вид потока, который мы нашли ранее, зависел только от (ωb −ωa ). Ответ можно

получить, взглянув на сечение цилиндра, изображенного на рис. 10.9. Когда внутренние слои жидкости движутся быстрее, чем внешние, они стремятся двигаться наружу: центробежная сила становится больше удерживающего давления. Но весь слой целиком не может двигаться равномерно, так как на его пути стоят внешние слои. Поэтому они разбиваются на клетки и циркулируют, как показано на рис. 10.9, б. Это напоминает конвекционные токи в комнате, где на уровне пола имеется слой теплого воздуха. Когда внутренний цилиндр находится в покое, а внешний цилиндр вращается с большой скоростью, центробежные силы создают градиент давления, который удерживает все в равновесии (см. рис. 10.9, в), как теплый воздух, находящийся у потолка.

Теперь ускорим внутренний цилиндр. Сначала число полос увеличится. Затем неожиданно полосы станут волнистыми (рис. 10.8, в), иволны эти начнут обтекать цилиндр. Скорость этих волн легко измерить. При больших скоростях вращения она приближается к 1/3 от скорости внутреннего цилиндра, а почему, никто не знает. Здесь есть, над чем подумать. Простое число 1/3 и полное отсутствие объяснения! Вообще, весь механизм образования волн тоже далеко не ясен, хотя мы имеемделосостационарным ламинарным потоком.

143

Рис. 10.8. Виды потока жидкости между двумя прозрачными вращающимися цилиндрами

Рис. 10.9. Разбиение потока на полосы

Если теперь мы еще начнем вращать и внешний цилиндр, но в противоположную сторону, то картина потока начнет разбиваться. Волновые области начнут чередоваться со спокойными на вид областями, образуя спиральную картину (рис. 10.8, г). Однако в этих «спокойных» областях, как можно заметить, поток на самом деле совсем нерегулярен; он полностью турбулентен. Кроме того, в волновых областях начинает еще появляться нерегулярный турбулентный поток. Если цилиндры вращаются еще быстрее, то весь поток становится хаотическим турбулентным.

144

Этот простой эксперимент показал нам много интересных режимов потока, совершенно отличных один от другого и все же содержащихся в нашем простом уравнении при различных величинах од- ного-единственного параметра . С помощью наших вращающихся цилиндров мы можем наблюдать многие эффекты, проявляющиеся в потоке, проходящем мимо цилиндра. Во-первых, это стационарный поток, во-вторых, целый набор потоков, которые изменяются со временем, но регулярным гладким образом, и, наконец, поток становится полностью нерегулярным. Те же самые эффекты каждый из вас видел в столбике табачного дыма, струящегося от сигареты, когда воздух спокоен. Сначала этот столбик гладкий, затем он как-то скручивается, поток дыма начинает разрушаться, и, наконец, все заканчивается беспорядочными клубами.

Основное, что вам следует вынести из всего сказанного, заключается в том, что в одном простом наборе уравнений (10.23) скрывается огромное разнообразие поведений. Все это решения одного

итого же уравнения при различных значениях числа Рейнольдса.

Унас нет причин думать, что в этом уравнении мы потеряли ка- кие-то слагаемые. Единственная трудность заключается в том, что нам сегодня не хватает математических знаний, чтобы проанализировать уравнение, за исключением очень малых чисел Рейнольдса, т.е. в случае очень вязкой жидкости. Написав уравнение, мы не отняли у потока жидкости ни его чарующей прелести, ни его таинственности, ни его поразительности.

Что ожидает нас в более сложных уравнениях, если даже в таком простом уравнении с одним-единственным параметром мы видим такое разнообразие возможностей! Вполне возможно, что основное уравнение, которое описывает завихрение туманностей, или образование вращений, или взрыв звезд и галактик, будет всего-навсего простым уравнением гидродинамики почти чистого водорода.

Часто люди в каком-то неоправданном страхе перед физикой го-

ворят, что невозможно написать уравнение жизни. А может быть и можно. Очень возможно, что на самом деле мы уже располагаем достаточно хорошим приближением, когда пишем уравнение кван-

товой механики:

145

Hψ = − =i ∂ψ∂t .

Только что мы видели, как явления во всей сложности легко

ипоразительно получаются из простых уравнений, которые описывают их.

Не подозревая о возможностях простых уравнений, люди часто заключают, что для объяснения всей сложности мира требуется нечто данное, от Бога, а не просто уравнения.

Мы написали уравнение для воды. Но из нашего опыта у нас сложились какие-то понятия и приближения, пользуясь которыми, мы можем обсуждать разные решения – цепочку вихрей, турбулентный след, пограничный слой. Когда подобные уравнения встречаются нам в менее знакомой ситуации, где мы еще не можем экспериментировать, то мы пытаемся решать их примитивным, извилистым

изапутанным путем, стремясь определить, какие же качественные явления можно получить из него или какие новые качественные формы являются следствием этого уравнения. Наши уравнения для Солнца, например представляющие его как водородный шар, описывают Солнце без пятен, без зернистой структуры его поверхности, без неровностей и короны. Тем не менее все это действительно находится в уравнениях, только у нас нет способа вытащить их оттуда.

Есть такие люди, которые будут очень расстроены, если на других планетах не будет найдено жизни. Я не принадлежу к их числу. И я никогда не смогу перестать удивляться и радоваться результатам межпланетных исследований, обнаруживающих бесконечное разнообразие и новизну явлений, порожденных одними и теми же самыми простыми принципами.

Критерий науки – ее способность предсказывать. Могли бы вы предсказать бури, вулканы, океанские волны, зори и красочные закаты, если бы вы никогда не были на Земле?

Драгоценным сокровищем для нас будет все, что мы узнаем о происходящем на каждой из мертвых планет, каждом из десятков шаров, образовавшихся из того же самого облака пыли и подчиняющихся тем же самым законам физики, что и наша планета.

146

Грядущая великая эра пробуждения человеческого разума принесет с собой метод понимания качественного содержания уравнений. Сегодня еще мы не способны на это. Сегодня мы не можем увидеть в уравнениях потока воды такие вещи, как спиральное строение турбулентности, которую мы видим между вращающимися цилиндрами. Сегодня мы не можем сказать с уверенностью, содержит ли уравнение Шредингера и лягушек, и композиторов, и даже мораль или там ничего похожего и быть не может. Мы не можем сказать, требуется ли что-либо сверх уравнения, вроде каких-то богов, или нет. Поэтому каждый из нас может иметь на этот счет свое особое мнение».

Приложение

Цилиндрические координаты (r, φ, z), связанные с прямо-

угольными, декартовыми координатами (x, y, z): x = r cosϕ, y = r sin ϕ, z = z.

Выражение для скорости потока в декартовых координатах через цилиндрические координаты:

vx = vr cosϕ−vϕ sin ϕ, vy = vr sin ϕ+vϕ +vϕ cosϕ, vz = vz .

Выражение для скорости потока в цилиндрических координатах через декартовы координаты:

vr = vx cosϕ+vy sin ϕ, vϕ = −vx sin ϕ+vy cosϕ, vz = vz .

Оператор Гамильтона в декартовых координатах для единичных векторов скорости потока

= ∂∂x i + ∂∂y j + ∂∂z k.

Градиент скорости и дивергенция скорости потока, выражен-

ные через оператор Гамильтона,

grad v = ∂∂vx i + ∂∂yv j + ∂∂vz k = v.

div v + ∂∂vxx + ∂∂vyy + ∂∂vzz = v.

ОператорЛапласавдекартовыхкоординатахдляскоростипотока

∆v = 2v = ∂2vx + ∂2vy + ∂2 z . ∂x2 ∂y2 ∂z2

Тензорнапряженийвдекартовойсистемекоординатдляпотока:

σxx τxy τxz

T= τyxσyy τyz .

τzx τzyσzz

148

Задачи и упражнения из курса «Фейнмановские лекции по физике» (Р. Фейнман, Р. Лейтон, М. Сэндс). Тема: «Течение мокрой (вязкой) воды».

Вопрос 1. Если шар радиуса а движется в вязкой жидкости, например в воде, равномерно и достаточно медленно, так что поток обтекающей жидкости можно считать ламинарным, то сила, заставляющая его двигаться, равна вязкой силе трения, действующей со стороны жидкости на шар. Хотя вы эту силу можете определить точно, представляет интерес найти для нее выражение из размерных соображений, перечислив все параметры, от которых эта сила может зависеть. Проделайте это. Можете ли вы качественно обосновать, почему параметры входят в найденное выражение так, а не иначе?

Вопрос 2. Медленный поток вязкой жидкости, например воды, в цилиндрической трубке можно считать ламинарным, причем профиль скоростей потока выглядит примерно так, как представлено на рисунке.

Покажите, что если r – расстояние от оси трубки, η – коэффициент вязкости, а (P1 – P2)/L – перепад давления на единице длины трубки, то профиль скоростей в жидкости описывается выражением

v(r) = 1 (P1 − P2 ) (a2 −r2 ). 4η L

По аналогии с законом Ома пропускную способность трубки Q можно связать с перепадом давления ∆P = (P1 − P2 ) соотношением ∆P = QR, где R – сопротивление трубки. Найдите сопротивление R для

149

трубки радиуса а и длиной L. Как вы думаете, проведение подобной аналогии – лишь простая игра слов или есть основания считать такие аналогииполезными? Чтоявляетсяаналогомконденсатора?

Вопрос 3. Дно широкого бассейна покрыто тонким слоем воды (любой «несжимаемой» жидкости с вязкостью η). На поверхности воды плавает тонкая деревянная доска, «дно» которой находится на расстоянии d от дна бассейна. Все остальные размеры доски во много раз больше d. Доска движется горизонтально с малой скоростью v. Чему равна скорость диссипации энергии в единице объема в воде вблизи середины доски?

Ответы на вопросы можно прочитать на страницах 155–157 курса лекций, если вы интересуетесь или ваши усилия по решению предложенных задач и упражнений окажутся безрезультатными. Желаем вам творческих успехов в самостоятельном дерзании!

Изделия и конструкции на основе полимерных материалов

Многочисленныевидыматериаловиизделийнаосновеполимеров

150