Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Теоретические основы процессов получения и переработки полимерных материалов

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

11.62 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 163 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Закон сохранения массы (неразрывности) потока. Уравнение сплошности (сохранения неразрывности) среды в переменных Лагранжа («наблюдатель» в потоке) от начального момента времени (t0) к моменту времени t согласно закону сохранения массы имеет вид

m0 (t) = m(t) = ∫ρ0 dx0dy0dz0 = const.	(2.5)
V0

Уравнение сохранения массы в переменных Эйлера («наблюдатель» неподвижен по отношению к потоку) в прямоугольных координатах записывается так:

∂ρ	+	∂(ρv	)	+	∂(ρvy )	+	∂(ρv	)	= 0.	(2.6)
		x					z
∂t					∂y
		∂x					∂z

Формула (2.6) для большинства полимерных материалов (за исключением вспененных) упрощается (div v = 0) ввиду условия

∂ρ/ ∂t = 0 или ρ = const.

В случае часто применяемых цилиндрических координат (r, θ, z), например для исследования течения потока в трубе, имеем

∂ρ +	1	∂(ρrvr )	+ 1 ∂(ρvθ) + ∂(ρvz )		= 0.	(2.7)

∂t r ∂r			r ∂θ	∂z
Физический смысл уравнения неразрывности может быть запи-
сан в виде
скорость накопления скорость подвода				скорость отвода
массы в ∆V	=		массы в ∆V	+	массы в ∆V

Закон сохранения количества движения, или уравнение дви-

жения потока массы в прямоугольных координатах (для x-, y-, z- компонент):

∂P

∂τ

∂τyx

∂τ

∂v

+vx

∂v

+vy

∂v

+vz

∂v

−ρ

;

∂x

∂y

∂x

∂z

∂t

∂x

∂y

∂z

∂P

∂τxy

∂τyy

∂τzy

∂vy

+vx

∂vy

+vy

∂vy

+vz

∂vy

−ρ

;

(2.8)

∂y

∂x

∂y

∂z

∂t

∂x

∂y

∂z

∂P

∂τ

∂τyz

∂τ

∂v

+vx

∂v

+vy

∂v

+vz

∂v

−ρ

∂z

∂y

∂x

∂z

∂t

∂x

∂y

∂z

Уравнение движения потока массы в цилиндрических координа-

тах (r, θ, z):

∂P

∂(rτrr )

∂τrθ

−τθθ + r

∂τrz

−

∂r

∂θ

∂z

−ρ

∂v

+vr

∂v

−

+vz

∂v

;

∂t

∂r

r ∂θ

∂z

1 ∂P

1 ∂(r

2τ

rθ

)

1 ∂τ

θθ +

∂τ

θz

−

r ∂θ

∂r

(2.9)

r ∂θ

∂z

−ρ

∂v

v v

∂v

;

θ +vr

+ r

+vz

∂t

∂r

r ∂θ

∂z

∂P

1 ∂(rτrz )

∂τθz

∂τzz

−

∂z

∂r

∂θ

∂z

−ρ

∂vz

+vr

∂vz

vθ

∂vz

∂t

∂r

∂θ

+vz

∂z

Уравнения (2.8) и (2.9) отражают реакцию массы (в виде 9 компонент касательных напряжений сдвига (τij) тензора напряжений), возникающую от действия внешней силы – давления P. Указанные зависимости имеют физическую форму второго закона Ньютона – скорость изменения количества движения массы равна приращению равнодействующей (векторной сумме) сил, действующих на нее.

В частности, для случая внешнего давления на массу потока удельное давление (p) равно P/S.

Уравнение Навье – Стокса учитывает внутреннее трение молекул потока через величину постоянной вязкости ( µ = τ/ γ ). Это слу-

чай ньютоновского реологического поведения некоторых компонентов полимерных материалов, например растворителей, низкомолекулярных пластификаторов. Ниже представлены компоненты уравнения Навье – Стокса в различных координатных системах; при этом g – ускорение свободного падения массы на Земле. Прямоугольные координаты (x, y, z):

∂P

= µ

∂2v

+ρgx −

∂x

∂y

∂z

−ρ

∂v

x +vy

∂v

+vz

∂v

+vx

;

∂t

∂x

∂y

∂z

∂P

= µ

∂2vy

+ρgy −

∂y

∂x

∂y

∂z

−ρ

∂vy

+vx

∂vy

+vy

∂vy

+vz

∂vy

;

∂t

∂x

∂y

∂z

∂P

= µ

∂2v

+ρgz −

∂z

∂x

∂y

∂z

−ρ

∂v

+vy

∂v

+vz

∂v

+vx

∂t

∂x

∂y

∂z

Цилиндрические координаты (r, θ, z):

∂P

∂

1 ∂(rvr )

1 ∂2vr

2 ∂vθ

∂2vr

+ρgr −

= µ

−

∂r

∂θ

∂z

∂v

−ρ

r +vr

−

+vz

;

r ∂θ

∂t

∂r

∂z

1 ∂P

∂ 1

∂(rvθ)

1 ∂2vθ

2 ∂vr

∂2vθ

= µ

+ρgθ −

r ∂θ

∂r

∂θ

∂z

∂r r

−ρ

∂vθ

+vr

∂vθ

vθ ∂vθ

vrvθ

+vz

∂vθ

;

∂t

∂r

r ∂θ

∂z

∂P

1 ∂

∂vz

1 ∂2vz

∂2vz

= µ

+ρgz −

∂z

∂r

∂θ

∂z

r ∂r

∂vz

+vr

∂vz

vθ ∂vz

+vz

∂vz

−ρ

∂t

∂r

∂θ

∂z

(2.10)

(2.11)

Уравнения неразрывности (2.5; 2.6) и формулы Навье – Стокса (2.10; 2.11) вместе с граничными условиями после их решения (интегрирования) позволяют определить скорости и давления в ньютоновских жидкостях при изотермическом течении потока в технологическом оборудовании.

Уравнение закона сохранения энергии в терминах скоростей изменения кинетической и потенциальной энергий потока можно получить, если умножить каждый член уравнения сохранения количества движения на скорость потока и учесть баланс тепловой энергии:

ρ dUdt = −( q) − P( v) − (τ : v) + S,

где U – удельная (на единицу массы) внутренняя энергия, q – удельный (на единицу площади) тепловой поток, – оператор Гамильто-

на, S – скорость изменения поверхностной тепловой энергии.

Член P( v) представляет собой необратимую скорость роста

внутренней энергии на единицу объема потока при его сжатии, а член (τ : v) – скорость необратимого прироста внутренней энер-

гии на единицу объема вследствие диссипации энергии при вязком (ньютоновском) течении потока. Здесь необходимо учитывать зависимость вязкости от температуры.

Удельный тепловой поток можно выразить через градиент температуры (T), используя обобщенную форму закона Фурье (k – константа Больцмана):

q = −k T.

Если внутреннюю энергию считать постоянной (после выхода технологического процесса на стабильный режим), то она определяется лишь температурой и удельным объемом потока. Учитывая несжимаемость (ρ = const) большинства полимерных материалов и их компонентов, а также равенство удельных теплоемкостей (cp, cv) формулу сохранения энергии можно записать в виде

ρcv dTdt = −( k T ) − (τ : v) + S.

Ниже представлено уравнение сохранения энергии в форме баланса потоков тепла и количества движения в различных системах координат.

Прямоугольная система (x, y, z):

∂T

∂q

∂qy

∂q

ρcv

+vx

+vy

+vz

= −

x +

−

∂t

∂x

∂y

∂z

∂y

∂x

∂z

−T

∂P

∂vx

∂vy

∂vz

∂vx

∂vy

∂vz

−

τxx

+ τyy

+ τzz

−

∂x

∂y

∂z

∂x

∂y

∂z

∂T ρ

∂vx

∂vy

∂vx

∂vz

∂vy

∂vz

−

τxy

+ τxz

+ τyz

∂y

∂x

∂z

∂y

∂x

Цилиндрические координаты (r, θ, z):

∂T

vθ ∂T

∂T

1 ∂(rqr )

1 ∂qθ

∂qz

ρcv

+vr

+vz

= −

−

∂t

∂r

r ∂θ

∂z

r ∂r

∂P

1 ∂(rvr )

1 ∂vθ

∂vz

∂vr

+ τθθ

1 ∂vθ

−T

∂T

∂θ

∂z

− τrr

∂r

∂θ

+vr

r ∂r

∂vz

∂ vθ

1 ∂vr

∂vz

∂vr

+τzz

−

τrθ r

+ τrz

∂r

∂z

∂r

r ∂θ

∂r

∂vz

∂vθ

+τθz

∂θ

∂z

(2.12)

(2.13)

Для несжимаемой ньютоновской жидкости с постоянными величинами плотности (ρ), вязкости (µ = τ/ γ ), удельных теплоемкостей

(причем сp = cv), а также при постоянном внешнем тепловом потоке на массу уравнение сохранения энергии записывается так:

ρcv dTdt = k 2 T + 12 µ(γ: γ) + S,

где 2 – оператор Лапласа, γ – градиент скорости сдвига потока, γ = dv/dy, (γ: γ) – произведение векторных компонент.

Далее приведено уравнение сохранения энергии потока в форме связи параметров переноса в различных системах координат.

Прямоугольные координаты (x, y, z):

∂T

+ vx

∂T

+ vy

∂T

+ vz

∂T

∂2T

ρcv

∂t

∂x

∂y

∂z

= k

∂x

∂z

∂y

∂vx 2

∂vy 2

∂vz

+ 2

∂y

∂x

∂z

∂vx

∂vy

∂vx

∂vz

∂vy

∂vz

∂y

∂x

∂z

∂x

∂z

∂y

Цилиндрическая система координат (r, θ, z):

ρc

∂T + v

∂T

+ vθ ∂T + v

∂T

= k

1 ∂

r ∂T

1 ∂2T

∂2T

∂t

∂r

r ∂θ

∂r

∂θ

∂z

∂v

+ 2

+ vr

∂r

∂θ

∂z

∂v

1 ∂v

∂v

1 ∂v

∂

+ r

∂z

r ∂θ

∂r

∂θ

∂z

∂r

(2.14)

(2.15)

Динамический коэффициент вязкости в случае ньютоновского течения вдоль оси x определяется законом внутреннего трения Ньютона:

τ = −(+) dvdyx = γ,

где – динамический коэффициент вязкости, не зависящий от градиента скорости сдвига потока ( γ = dvx/dy), а ось y перпендикулярна

оси течения жидкости (размерности коэффициентов указаны в табл. 2.1), = τ / γ .

Физический смысл закона внутреннего трения Ньютона – касательное напряжение рассматривается как удельный поток импульса или количества движения, передаваемого через единицу площади в единицу времени:

	кг( м с2 )				кг( м с)			,
[τ] =	м	2		=	м	2	c	,
	м				м		c
			26

т.е. при течении параллельных слоев происходит перенос механического импульса (количества движения) в направлении, перпендикулярном направлению скорости одноосного потока.

Кинематический коэффициент вязкости ν = µ/ ρ, где ρ– плот-

ность потока. В случае неньютоновского течения динамический коэффициентвязкостиобозначается буквойη, которыйзависитот γ .

Известно, что большинство расплавов и растворов полимеров, жидких каучуков и смол, а также суспензий полимерных связующих с дисперсными наполнителями не подчиняется закону ньютоновского течения.

		Таблица 2 . 1
Размерность коэффициентов вязкости

Наименование коэффициента	Система SI (СИ)	Система MTS
Динамический	1 нс / м2 (Па·с)	10 пз (Пуазейль)
коэффициент вязкости
Кинематический	1 м2 / с	104 ст (Стокс)
коэффициент вязкости

Закон Бэлкли – Гершеля – Освальда де Виля является эмпири-

ческим выражением зависимости касательного напряжения от градиента скорости сдвига (кривая неньютоновского течения), которая связана с временами релаксации межмолекулярных сил полимеров. Последние определяются степенью полярности компонентов полимерного материала. Ниже приведена соответствующая формула (τ0 – напряжение начала течения):

τ= τ0 + Kγn ,

(2.16)

где K и n – параметры, зависящие от физико-химических свойств полимерного материала. Величина n является безразмерной (0 < n < 1).

Из выражения следует, что динамический коэффициент вязко-

сти для большинства полимеров и композиций на их основе:

η=	dτ	= nKγn−1.	(2.17)
η=	dγ	= nKγn−1.	(2.17)
	dγ
		27

Величины n, K, а также η= f (γ) определяются эксперименталь-

но, если использовать кривые течения в линеарных координатах

(рис. 2.1, 2.2):

log τ= log K + nlog γ.

Рис. 2.1. Кривые течения полистирола при различных температурах:

1 – 180 оС; 2 – 200 оС; 3 – 220 оС; 4 – 240 оС

Рис. 2.2. Зависимость динамического коэффициента вязкости

от градиента скорости сдвига для полистирола при различных температурах:

1 – 180 оС; 2 – 200 оС; 3 – 220 оС; 4 – 240 оС

Температурная зависимость динамического коэффициента вязкости (µ) в случае ньютоновского течения согласно закону Ньютона

	E		(T −T )
µ = µ0	exp	akt	0	exp[β(P − P0	],
		R	T0T

где µ0 – динамический коэффициент вязкости при стандартных условиях приведения (T0, P0), T и P – текущие значения температуры и давления, Eakt – энергия активации вязкого течения, R – универсальная газовая постоянная, β – параметр исследуемой жидкости (Па–1).

Для неньютоновского течения (низкомолекулярные компоненты полимерныхматериалов) используютуравнениеАррениусаприm = nK:

m = m0	E		(T −T )
	exp	akt	0
		R	T0T

или эмпирическое уравнение Вильямса – Ланделя – Ферри (ВЛФ):

log a = log	ηT	=	−17,44(T −Tg )	,
log a = log		=		,
T	ηT		51,6 +(T −Tg )
	ηT		51,6 +(T −Tg )
	g

которое справедливо для большинства расплавов и растворов полимеров, а также суспензий на их основе в диапазоне: Tg ≤ T ≤ Tg + 200o.

Лекция III

Ламинарное течение полимерных материалов

Течение полимеров при переработке может осуществляться в каналах различной формы поперечного сечения. В коротких каналах течение обычно нестабилизированное. На гидродинамические характеристики потока влияют геометрические условия входа в канал. В сравнительно длинных каналах, на большом расстоянии от входа, течение потока полимерного материала можно считать стаби-

лизированным. Ламинарное стабилизированное течение является простейшим видом движения, изучение которого позволяет рассчитать распределение скоростей по сечению, объемный (массовый) расход потока, потери давления по длине канала.

Поскольку ламинарное течение в каналах является в большинстве случаев одномерным, рассматриваемая неньютоновская жидкость (полимер) считается однородной, то уравнения движения (2.8), (2.9), записанные в напряжениях, значительно упрощаются.

Стабилизированное течение между параллельными пласти-

нами. В этом случае уравнения движения для выбранной системы координат, показанной на рис. 3.1, если пренебречь массовыми силами, имеют вид

∂τxx	+	∂τxy	= 0,	(3.1)
		∂y
∂x

где τxx и τxy – нормальное и касательное напряжения.

Поскольку рассматриваемое течение является стабилизированным и продольная составляющая скорости потока полимерного материала (vx) является функцией только поперечной координаты y, то

τyy = –P.

Величина касательного напряжения (τxy) определяется реологическим законом течения, например формулой Освальда де Виля.

Полимерный поток между пластинами может двигаться за счет

перепада давления вдоль оси x (∂P / ∂x ≠ 0)	на длине L, за счет движе-
ния одной пластины (течение Куэтта)	при ∂P / ∂x = 0 или за счет
этих комбинаций.
30

<<< < Предыдущая 1 23 / 163 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
13.11.202324.2 Mб16Теоретические основы автоматизированного управления..pdf
#
12.11.20231.52 Mб0Теоретические основы безопасности производственной деятельности..pdf
#
12.11.202321.7 Mб6Теоретические основы переработки полимеров (механика процессов)..pdf
#
19.11.202332.46 Mб12Теоретические основы переработки полимеров..pdf
#
12.11.20231.7 Mб9Теоретические основы поиска и разведки месторождений нефти и газа..pdf
#
12.11.202311.62 Mб5Теоретические основы процессов получения и переработки полимерных материалов..pdf
#
12.11.20232.94 Mб3Теоретические основы теплотехники. Теория теплообмена.pdf
#
12.11.20232.23 Mб6Теоретические основы теплотехники. Техническая термодинамика.pdf
#
13.11.202325.23 Mб0Теоретические основы физической адсорбции..pdf
#
12.11.2023642.33 Кб2Теоретические основы химических процессов..pdf
#
12.11.20235.68 Mб3Теоретические основы электротехники Ч. 1.pdf