книги / Математические модели элементов интегральной электроники

Внешние электрические характеристики и параметры прибора определяются из расчета эквивалентной схемы рис. 2.26, состоящей из конечного числа секций. Для этой цели используются автоматизи­ рованные программы анализа электрических цепей (34].

Таким образом, моделирование трехмерных полупроводниковых структур производится в два этапа [35].

1. Расчет удельных параметров р—«-переходов /ао, /ко, ль, т к,

рийной областей) н коэффициентов переноса носителей через актив­ ную область базы a'jv и a'i. Все эти параметры вычисляются из •решения одномерной системы уравнений (2.1) — (2.7) с помощью чис­ ленных методов, рассмотренных в § 2.1. Исходной информацией для расчетов являются параметры профиля примеси и электрофизические характеристики материала.

щих распределение потенциалов в областях базы и коллектора.

2. Расчет внешних электрических характеристик на выводах ком­ понента. Решаются уравнения (2.99) — (2.103), описывающие распре­

являются параметры, вычисленные на предыдущем этапе, и размеры топологии.

Рассмотренные в этой главе физико-топологические модели являются эффективным инструментом, с помо­ щью которого разработчик полупроводникового прибо­ ра или ИС выбирает материал с необходимыми элек­ трофизическими свойствами, определяет параметры про­ филя примеси, геометрические размеры и конфигурацию диффузионных областей и омических контактов.

Обобщая имеющийся опыт использования физико-то­ пологических моделей в практике проектирования полу­ проводниковых приборов и ИС, можно сделать следую­ щие выводы.

1. Моделирование интегральных транзисторов, у ко­ торых глубины залегания р—/i-переходов значительно меньше размеров топологии, осуществляется в два этапа:

— решение одномерных уравнений (2.1) —(2.7) для определения удельных электрических характеристик по­ лупроводниковой структуры;

— решение двумерных уравнений (2.99)—(2.103), описывающих распределения электрических потенциалов в диффузионных областях базы и коллектора, и опреде­ ление на основе полученных результатов выходных па­ раметров прибора.

На первом этапе для расчета переходных процессов в одномерных структурах используются неявные форму­ лы численного интегрирования (§ 2.2), Для нахождения статических решений эффективными являются итераци­ онные методы ньютоновского типа в сочетании с мето­ дом продолжения решения по параметру (§ 2.2).

На втором этапе численное интегрирование уравне­ ний (2.99) — (2.103), описывающих нестационарные про­ цессы, из-за большой размерности двумерной разност­ ной сетки может быть осуществлено лишь на ЭЦВМ с высоким быстродействием. Расчет статических распре­ делений потенциалов в плоскости кристалла целесообраз­ но проводить с помощью метода лоследовательной верх­ ней релаксации. Причем задача может быть реализована на ЭЦВМ как высокого, так и среднего быстродействия.

2. Расчет транзисторных структур, у которых суще­ ственную роль играет боковая инжекция р—п-перехо- дов, в частности, вертикальных транзисторов с глубина­ ми р—/г-переходов, соизмеримыми с размерами тополо­ гии, и горизонтальных р—п—р-транзисторов, необходимо

ществующие численные методы решения этих уравнений, рассмотренные в § 2.3, имеют ряд ограничений по общности решаемых задач и сходимости. В этой связи разработка эффективных алгоритмов решения двумер­ ных уравнений (2.84) —(2.88) является важной задачей.

3. При создании программ, предназначенных для расчета и оптимизации компонентов с помощью двух- и трехмерных моделей, следует ориентироваться на бы­ стродействующие ЭЦВМ типа БЭСМ-6 или ЕС-1040. Некоторые задачи, в основном задачи анализа одномер-

ИЫХ Структур, могут быть решены па ЭЦВМ среднего быстродействия МИНСК-32, М-220, ЕС-1020 и др.

4. В настоящее время в практике машинного проек­ тирования полупроводниковых приборов и ИС намети­ лась тенденция к созданию систем автоматического про­ ектирования. Максимальная интеграция программ в по­ добных системах может быть достигнута, если для реше­ ния основных уравнений физики полупроводников, опи­ сывающих компоненты, использовать методы теории электрических цепей в сочетании с автоматизированны­ ми программами анализа электронных схем.

В связи с ограниченным объемом книги в настоящей главе не представляется возможным рассмотреть вопро­ сы программной реализации физико-топологических мо­ делей на ЭЦВМ. Некоторые сведения по этим вопросам читатель найдет в [36—44].

Глава 3

БИПОЛЯРНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

Модели полупроводниковых приборов нашли одно из самых широких применений при машинном расчете электронных схем. Эти так называемые электрические модели должны удовлетворять ряду специфических тре­ бований.

Во-первых, необходимо, чтобы используемые уравне­ ния отображали связь между токами и напряжениями на выводах элемента; лишь при этом возможно приме­ нение модели в известных программах машинного ана­ лиза электронных схем.

Во-вторых, для облегчения решения схемотехниче­ ских задач на аналоговых и цифровых вычислительных машинах модели элементов желательно представлять в виде эквивалентных четырехполюсников, описываемых системой обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка.

В-третьих, в качестве параметров модели целесооб­ разно использовать электрические параметры прибора, такие, как коэффициент передачи по току, параметры вольт-амперных характеристик и емкости р—п-перехо­ дов, паразитные сопротивления диффузионных областей

ит. п. Эти параметры определяются из стандартных электрических измерений и достаточно хорошо знакомы

ипонятны разработчикам схем.

В-четвертых, должны удовлетворяться обычные тре­

объема памяти при расчетах.

Рассмотренные выше модели, использующие числен­ ное решение основных уравнений полупроводника, очень сложны, включают большое число параметров, требуют значительных затрат машинного времени и практически пригодны только для расчета отдельных элементов.

Модели, пригодные для эффективного машинного анализа ИС с большим числом элементов, могут быть синтезированы на базе уравнений переноса и непрерыв­ ности, выражений, описывающих объемный заряд н электрическое поле в различных областях транзисторной структуры. Различие между разными моделями заклю­ чается в характере используемых приближений и в ко­ личестве учитываемых физических эффектов в анализи­ руемых режимах (статический, динамический и т. п.).

С общих позиций модели транзистора можно разде­ лить на две большие группы — линейные для анализа переходных и частотных характеристик на малом сигна­ ле и нелинейные для анализа переходных процессов на большом сигнале и статических режимов.

К настоящему времени разработано достаточное ко­ личество моделей для анализа электронных схем (как линейные, так и нелинейных) с помощью ЭЦВМ, разли­ чающихся по точности, сложности, удобству перевода на машинный язык и т. д., а также накоплен определен­ ный опыт их использования в программах анализа инте­ гральных схем.

Разработчик ИС должен решить, какая из несколь­ ких моделей транзистора лучше всего подходит для его задач. Для этого ему приходиться разбираться в раз­ личных обозначениях, принятых в разных моделях, так как единой стандартной системы обозначений в настоя­ щее время не существует. Также следует решить, каким образом измерять параметры выбранной им модели, так как стандартных методов измерения параметров также не существует.

В главе рассмотрены модели биполярных транзисто­ ров, используемые в отечественных и зарубежных про­ граммах анализа электронных схем. Отмечены их преи­ мущества и недостатки, указаны области применения этих моделей.

Настоящая глава должна помочь разработчикам при выборе и описании конкретной модели, наиболее подхо­ дящей для их задач.

3.1. Малосигнальные модели транзистора

Гибридные П- и Т-образные эквивалентные схемы. В качестве моделей биполярного транзистора для ма­ шинного расчета частотных характеристик линейных ИС (ЛИС) очень широко используются гибридные П- и

Т-образные эквивалентные схемы (рис. 3.1) [1]. Каждая эквивалентная схема состоит из компонентов типа R и С и одного управляемого источника тока и описывается

10параметрами:

Гб —сопротивление базы;

гэ=/7г0срт//о— дифференциальное сопротивление эмиттерного р—л-перехода;

Сэ = Сэ бар + (1/а)агэ) — емкость эмиттерного перехода,

состоящая из барьерной и диффузионной составляю­ щих;

К = (/Пкфг/^б) (dW6/dUK) — фактор модуляции тол­ щины базы;

гк—сопротивление тела коллектора;

Ск— барьерная емкость коллекторного перехода *>; $о=д1к/д1с —дифференциальное значение статиче­

ского коэффициента передачи по току в схеме с ОЭ, которое связано с интегральным коэффициентом переда­ чи зависимостью

UI J h

‘h / дЬ

ша— граничная частота транзистора в схеме с ОБ; тл— фактор, учитывающий дополнительный сдвиг

фаз в выражении для аппроксимации коэффициента а от частоты:

точности аппроксимации коэффициента а вместо выра­

Тогда вместо параметра ти в модели используется па­

раметр T2i и эквивалентная схема рис. 3.1,а преобра­ зуется к виду рис. 3.1,6.

Перечисленные параметры зависят от режима рабо­ ты транзистора по постоянному току и температуры. Формулы, учитывающие эти зависимости, приведены ниже.

При заданных распределении концентрации примеси и топологии транзистора параметры эквивалентных схем рис. 3.1 могут быть рассчитаны на ЭВМ -с использовани­ ем трехмерной физико-топологической модели (§ 2.4). При наличии тестовых образцов эти параметры опреде­

или Z-параметров транзистора на различных частотах по методикам, описанным в § 3.4.

Точность моделей, эквивалентные схемы которых изо­ бражены на рис. 3.1, определяется сопоставлением изме­ ренных значений h-t У- или Z-параметров с соответст­ вующими параметрами, рассчитанными по эквивалент­ ным схемам. В частности, такое сравнение удобно про­ водить, если интегральный транзистор с изолирующим р—/г-лереходом описан обобщенной матрицей проводи­ мостей четвертого порядка

Обычные П- и Т-образные эквивалентные схемы обес­ печивают отличное совпадение с экспериментом на ча­ стотах со < 107 Гц. Следует отметить, что с ростом часто­ ты расхождение увеличивается в первую очередь для тех членов матрицы (3.4), которые имеют на низкой частоте малые значения вещественных составляющих, в частно­ сти, для Уоб и Укк. Для коэффициентов, имеющих боль­ шую величину действительной составляющей, например Уэо, Ук Ээ Ун в, хорошее совпадение с экспериментом име­ ет место до более высоких частот.

Малосигиальные модели транзистора широко исполь­ зуются для анализа частотных рсарактеристик с по­ мощью отечественных и зарубежных автоматизирован­ ных программ общего [2—4] и специализированного [5—7] назначения.

Для транзисторов, работающих в режиме малого сиг­ нала и при условии, что источник входного сигнала име­ ет достаточно низкий внутренний импеданс, существен­ ную роль играет эффект вытеснения переменного тока к периферии эмиттера. Этот эффект влияет в основном на входную проводимость транзистора Убб и проявляет­ ся тем сильнее, чем выше частота сигнала и значение сопротивления той части базы, которая находится под эмиттером.

Эквивалентная схема транзистора, учитывающая эффект вытеснения переменного тока,, приведена на

Эквивалентная схема Голубева — Малышева. На вы­ соких частотах (со>107 Гц) транзистор уже нельзя опи­ сать электрической схемой с сосредоточенными парамет­ рами. Распределенный характер эмиттерного и коллек­ торного р—n-переходов учитывается в эквивалентной схеме рис. 3.3, предложенной А. П. 'Голубевым и И. В. Малышевым .,[10, 11]. Эта схема имеет такое же

Рис. 3.3. Эквивалентная схема интегрального транзистора, учиты­ вающая распределенный характер р—/t-переходов.

число узлов, что и схема рис. 3.1,а, но в отличие от по­ следней содержит большее количество элементов и опи­ сывается 14 параметрами (а0, г0, г«, гс, ша, Сэсар, Ск, Сп,

б, V» h '0, Шt 0). Параметры а0, г0, ги, гс, ша, С0баР, Ск,

Сп имеют тот же смысл, что и для обычных моделей рис. 3.1. Безразмерные коэффициенты б, у, 0, р, и по­ стоянная времени то определяют соотношения между элементами эквивалентной схемы рис. 3.3

При заданных параметрах профиля примеси и токо­ логии транзистора параметры, описывающие модель

рис. 3.3, могут быть рассчитаны на ЭЦВМ с использо­ ванием физико-топологическом модели. При эксперимен­ тальном определении параметров модели значения ао, г8, СЭбар» Ск, Сп, находятся по известной методике. Ко­

эффициенты б, у, 0, |л, I вычисляются на основании из­ мерений коэффициентов матрицы (3.4) на низкой часто­ те по формулам

Постоянная времени т0 определяется по амплитудночастотной характеристике проводимости УКб. На часто­

те fo=l/(2jtTo) модуль |Укб| уменьшается в Y 2 раз по сравнению со своим значением на низкой частоте.

Рис. ЗА. Малоснгналышя эквивалентная схема модели BIRD.

Рассмотренная модель справедлива в диапазоне ча­ стот со < 108 Гц.

Малосигнальная модель BIRD. Для интегральных транзисторов при соизмеримости линейных размеров активные областей с глубинами залегания р - п - перехо­ дов помимо ранее рассмотренных эффектов существен­ ную роль играют такие эффекты, как токи утечки по поверхности и влияние пассивных областей базы и кол­ лектора. Наиболее полно эти особенности двумерной структуры планарного транзистора учитываются в моде­ ли BIRD (рис. 3.4) [12].