книги / Математические модели элементов интегральной электроники

териын изгиб эквипотенциален электростатического по­ тенциала на участке под площадью эмиттера (рис. 2.18) является наглядным подтверждением эффекта расшире­ ния базы в коллекторную область, известного под назва­ нием эффекта Кирка.

Исследования и расчеты, проведенные в работе [26] для различных полупроводниковых структур, показали,

что итерационная схема обеспечивает хорошую сходи­ мость для структур, линейные размеры которых не пре­ вышают 100 мкм. Для приборов с размерами порядка 100 мкм и более, характеризующихся рекомбинацией в диффузионных областях, метод обеспечивает медлен­ ную сходимость.

При решении уравнения Пуассона (2.91) и уравнений непрерывности (2.92) и (2.93) для оценки сходимости численного метода на каждом шаге итерации прове­ ряется относительное и абсолютное изменение перемен­ ных во всех точках двумерной сетки. На рис. 2.19 при­ ведены зависимости максимальной относительной ошиб­ ки, возникающей при расчете электростатического потенциала пс\ рекуррентной формуле (2.95), от количе­ ства итераций.

Количество узлов при решении уравнения Пуассона для всех трех вариантов было одинаковым и равнялось 1886. Представляет интерес сравнить электрические ха­ рактеристики транзистора, полученные в результате рас­ чета системы уравнений (2.91) —(2.93) для одно- и дву­ мерного случая. Результаты моделирования параметра

База Эмиттер

Uy<*58

уровнях тока значения, полученные с помощью двумер­ ной модели, оказываются меньше, чем с помощью одно­ мерной, из-за влияния дополнительной емкости боковых стенок эмиттера. На высоких уровняех тока более мед­ ленный спад /т для двумерной модели объясняется влия­ нием эффекта вытеснения тока эмиттера.

2.3. Моделирование трехмерной структуры

Электрические характеристики планарных транзисторов и ком­ понентов ИС в значительной степени определяются их топологией, т. е. конфигурацией и геометрическими размерами областей эмитте­ ра, базы, коллектора и омических контактов в плоскости кристалла YZ. Под действием внешних напряжений, приложенных к контактам, носители заряда перемещаются в глубь структуры в направлении х и растекаются по диффузионным областям в направлениях у и z. Двумерные модели, рассмотренные в § 2.2, обеспечивают необходи­ мую точность расчетов лишь в тех случаях, когда эффектами от протекания тока вдоль координаты z можно пренебречь. Такое до­ пущение справедливо для структур, геометрические размеры кото­ рых вдоль оси z намного больше, чем вдоль оси у. Как правило, размеры компонентов ИС в направлениях у и z соизмеримы, поэто­ му уравнения (2.84)— (2.88) следует записать для трехм^чого слу­ чая, положив

V 2.= дЦдх* + д*/ду2 + d*/dz*.

Однако решение такой задачи чрезвычайно громоздко и нахо­ дится за пределами возможностей наилучших по быстродействию и объему памяти современных ЭЦВМ. Для упрощения задачи сделаем ряд допущений.

1.Глубины р—л-переходов намного меньше размеров диффу­ зионных областей в плоскости YZ.

2.Краевыми эффектами у боковых границ р—л-переходов пре­ небрегаем.

3.Перенос неосновных носителей через базу в коллектор осу­ ществляется только в направлении х.

4. Токи неосновных носителей заряда в направлениях у и z в областях базы и коллектора пренебрежимо малы, а токи основных носителей определяются только дрейфовыми составляющими.

5. Транзистор работает в квазистатическом режиме.

При таких допущениях от трехмерной задачи можно перейти к двумерной. Проинтегрировав трехмерную систему уравнений по х

где jрек (У, 2 , t) = q \ gdx — плотность тока генерации-рекомбнпа-

терные области, отличающиеся формой профиля примеси, а следо­

уравнения (2.98) равна общему току, инжектируемому в диффузион­ ную область р—л-переходами, уравнения, описывающие распределе­ ния потенциалов в базе и коллекторе, можно привести к виду*):

*) Выражения (2.99) — (2.103) записаны для схемы включени транзистора, в которой подложка объединена с эмиттером.

а) для активы и области транзистора

териого и коллекторного контактов; /э(г/, 2, i) = / о0[ехр |(фс э//Иэфг)—

Ск(Фо к), Сп(фк п) — удельные емкости переходов Э—Б, Б—К, К—Я соответственно, включающие в себя барьерные и диффузионные со­

ной и периферийной областей помечены одним, двумя и тремя штри­ хами. Удельные параметры р—/г-переходов /э0, /ко, /Иэ, /Як» Сэ, Сн, Сп и диффузионных областей рб и рк, коэффициенты a'N, a'j опре­

деляются из расчета одномерных (вдоль оси х) полупроводниковых структур ,(для активной, пассивной и периферийной областей) с по­ мощью численных методов, рассмотренных в § 2.‘1, и не зависят от топологии транзистора.

Граничные и начальные условия для системы уравнений (2.99)—

где п — нормаль к границам диффузионных областей;

в) в пределах площадей омических контактов потенциалы не зависят от координат и являются известными функциями времени

Рис. 2.23. Конечно-разностная сетка, используемая при расчете рас­ пределения потенциалов в диффузионных областях базы и коллекто­ ра интегрального транзистора:

На топологический чертеж компонента нанооится разностная сетка (рис. 2.23). Шаг сетки вдоль, координат у и z может быть как равномерным, так и неравномерным. В точках, соответствующих узлам сетки, пространственные производные заменяются конечно-раз­ ностными соотношениями, что дает возможность перейти от уравне­ ний в частных производных к системе обыкновенных дифференциаль­ ных уравнений. В точке i, / для равномерной сетки будем иметь уравнение вида

О?/, / - 1+ W./+0 № + (?/-1. / + ?/+!, /) *У2—

статического тока, инжектируемого р—л-переходами в точку диф­ фузионной области с координатами tjj, z<.

Оъединяя уравнения (2.109) для всех точек i, / сетки рис. 2.23 в областях базы и коллектора, получаем систему обыкновенных диф-

(2.1li) где в \ {У> z) = (/t0/mt<?i) exp [f6E (?. z)/m^ T]; £ = Э, К — удельная активная проводимость p—п-перехода в точке у , z при заданном ста­

на множитель /а) и линеаризацией выражений для плотности токов через р—«-переходы. Аналогичным образом могут быть получены уравнения для пассивных и периферийных областей транзистора.

Заменив пространственные производные в выражениях (2.110), (2.111) конечными разностями, получим систему линейных алгебраи­ ческих уравнений с комплексными коэффициентами. Поскольку сн-

стема получается высокого порядка (Ю2—104 уравнений), то решение осуществляется итерационными методами (например, методами ре­ лаксации или Зайделя (28]). Общим недостатком этих методов является то, что они не всегда гарантируют высокую сходимость. В этой связи внимания заслуживает полуаналитический метод, пред­ ложенный в [32], который не требует последовательных итераций.

В статическом режиме правые части разностных уравнений (2.109) равны нулю. Наиболее распространенным методом решения системы статических уравнений является метод последовательной верхней релаксации.

На рис. 2.25 приведены полученные с помощью ЭЦВМ распре­ деления электрических потенциалов в областях базы и коллектора