книги / Методы помехоустойчивого приема ЧМ и ФМ сигналов
..pdfгде |
|
|
|
|
|
|
£, = |
X cos |
Дш^ — у sin Ao>f, Еч = х sïn |
Дш/ -f- ycos |
A<oi, |
||
•*= |
- |
р (t) |
{Ee 4 -h) + p(0 f /Вш*, y = |
p(0 [//» - |
|
|
|
|
|
|
— Дй) (Ec + /У)1/8си*. |
|
|
Из |
анализа |
(2 ) видно, что функция /1 (/) характери |
||||
зует |
поведение огибающей E{t) при перескоке, а функ |
|||||
ция |
Ф(/) |
является наиболее вероятным значением |
фа |
|||
зы ф(0 |
- |
|
|
|
|
|
Целью данной работы является исследование траек торий фазы, наиболее верояшая из которых описывает ся выражением
Ф (t) = arctg~~[Q -\-h)R -f- |
~ |
\N — |
1— [(I + Л)/?+ kNRt\cosAiùt-^R^N— ^ |
||
— /(i-4 ~ ^ 1 |
-os |
|
— / ( 1 + A)] |
sin àwt |
^ |
Здесь использованы обозначения: р (t) = /?, — p(t)/bu = /?„ Дш/8ш= :/, HjEc = //, /ÎÔ/Йш= N, 1 /tga = /fe.
Дифференцирование Ф(/) по времени дает про-из- водную от наиболее вероятной фазовой траектории Q>\(t)—d<S)(t)ldt, которая характеризует скорость из
менения фазы при перескоке.
Некоторые результаты расчета наиболее вероятных траекторий фазы Ф(/) и ее производной Ф |(0 для слу чая, когда р(/) =ехр(—<сА2/2 ), приведены на рис. (2 —6 ).
Рис. 2 и 3 иллюстрируют влияние параметра |
N = |
|||||||
= B0<pQI ECOÛ на форму перескоков |
при нулевой |
рас |
||||||
стройке /=!Асо/бсо и Л=0,1. Траектории, |
изображенные |
|||||||
на рис. 2 , построены при £ = |
||||||||
= 0 , |
а |
на рис. 3 при /е= 1 . |
||||||
Анализ |
графиков |
показыва |
||||||
ет, что отклонение |
парамет |
|||||||
ра k |
от |
нуля |
приводит к |
|||||
асимметрии траекторий. От |
||||||||
метим, |
что величина |
пара |
||||||
метра |
N |
мало |
влияет |
на |
||||
длительность |
перескока |
фа |
||||||
зы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
На |
рис. |
4 |
изображены |
|||||
две |
траектории |
(для |
Л = 0 , |
|||||
<л/=0,5 и / = 0 ) , отличающие |
||||||||
ся значением EQ= hEc. |
При |
|||||||
малых |
|
значениях |
огибаю |
|||||
щей |
перескоки |
получаются |
||||||
более |
плавными |
и кратко |
||||||
временными. |
|
|
|
|
|
|||
На рис. 5 приведено се мейство траекторий (постро енных при /г=0 , N = 0 ,5 , ft=
= 0,5), соответствующих различным расстройкам Асо=/ба). Как и следовало ожидать, отрицательная рас
стройка затрудняет положительный перескок. При боль ших отрицательных расстройках наиболее вероятными являются отрицательные перескоки.
Экспериментальное исследование траекторий фазы при перескоке производилось по методу, описанному в [1]. В качестве примера на рис. 6 приведены экспе
риментальные траектории (пунктирные и штрих-пунк-
тарные линии) и тра ектории (сплошные ли нии), рассчитанные по формуле (4). Резуль таты эксперимента подтверждают тот факт, что кривые, рас считанные по форму ле (4), действительно являются наиболее вероятными траекто риями фазы при пере скоке.
Рис. 5
Рис. б
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Davrac Yaviis. FM click shapes. — „IEEE Trans.", 1971, v. СОМ-19, X° 6, p. 1271— 1273.
2. Тихонов В. И. Статистическая радиотехника. М., «Сов. раДЧо»т 1966-
ЮЗ
УДК 621.396.621.33
М. А. РАБИНОВИЧ
ОВЗАИМНОЙ КОРРЕЛЯЦИИ ИМПУЛЬСНОЙ И ГАУССОВОЙ СОСТАВЛЯЮЩИХ ШУМА
НА ВЫХОДЕ ЧАСТОТНОГО ДИСКРИМИНАТОРА
В работе приведен статистический анализ переключательной модели шума на выходе частотного дискриминатора (ЧД). Полу чены выражения для корреляционной функции и энергетического спектра шума на выходе ЧД при наличии модулирующего сигна ла и аддитивного гауссова шума на его входе.
Наиболее распространенные в (настоящее время ста тистические модели шума [ 1 , 2 ] позволяют описать
энергетический спектр на выходе ЧД только вблизи области порога и выше. Экспериментально полученные значения энергетического спектра шума на выходе ЧД в глубоко подпороговой области входного отношения сигнал/шум р плохо согласуются с теоретическими резуль татами (особенно при наличии модулирующего сигна ла), даваемыми импульсной моделью шума С. О. Райса
иметодом вероятностных весов.
Встатье была предложена идея о возможности пред
ставления шума на выходе ЧД в виде выходного сиг нала составного 'источника (так называемая переклю чательная модель шума).
Целью настоящей работы является статистический анализ переключательной модели шума, который про веден в предположении, что на входе идеального ЧД действует модулированный по частоте сигнал и адди тивный гауссов шум. В работе найдены корреляционная функция и энергетический спектр шума на выходе ЧД. Основное внимание уделено взаимной корреляции, воз никающей между импульсной и гауссовой компонента ми шума на выходе ЧД.
Представим шум u(t) |
на выходе ЧД в виде суммы |
двух компонент гауссовой |
тЦО и импульсной p{t) |
« (*) = Ч (t) + />(*) = a{t) У1о (t) + [ 1 - а (0 ] Ро (t), (1 ) |
|
где iio(0 и P n { t ) — порождающие процессы для гауссо
вой и импульсной компонент шума соответственно и
ИИ
a(t) — ne зависящий от них переключательный процесс,
принимающий значения 1 и 0, когда на выходе ЧД дей ствуют соответственно гауссовая и импульсная компо ненты шума.
Порождающим процессом для гауссовой компоненты шума естественно считать случайный процесс:
Чо (<) = |
У' W/Q. |
|
(2) |
где у(1) — квадратурная |
составляющая |
входного шума |
|
и Q — амплитуда модулированного по |
частоте |
сигна |
|
ла. Из (2) следует, что порождающий |
гауссов |
процесс |
|
характерен для работы ЧД при р > 1. |
|
|
|
Будем предполагать, что гауссова компонента шума на выходе ЧД действует в те отрезки времени, когда вектор суммы принимаемого сигнала и шума попадает в круг радиусом Q с центром в точке А (рис. 1 ). Легко показать, что в этом случае среднее значение ÜQ пере ключательного процесса a{t) равно
О0 (р) = 1— е-р. |
(3) |
Корреляционная функция шума u(t) может быть за
писана в виде
R „ (0 = R P СО + 2/?чр (т) + Я , (*), |
(4) |
где Rp (-с) и #i>C0 — корреляционные функции им пульсной а гауссовой компонент шума, а /?,,, (т) — их
взаимная корреляционная функция.
Для корреляционной функции гауссовой компонент^ шума имеем
f l , (T ) = a(t) a(t + x) ■%(t) -к (t + ,) = Ra (X ) ^ |
(5) |
где Иа (т) =а(/)а(Н -т) — корреляционная функция про цесса a(i); g(т) — корреляционная функция y{t).
Взаимно-корреляционную функцию RnP(т) предста
вим в виде
(t) |
= Iи (t) — a (t) % (£)1 a (t -f- х) •/)„ (t+ |
<) — |
= |
R a b) g" ("=)/Q2 + «о « (О Ъ (* + *)• |
(6) |
В выражение (6 ) входит слагаемое, представляющее
взаимную корреляцию между гауссовым порождающим процессом цо(^) и шумом u(i) (на выходе ЧД):
я (t) т1о {t + т) = |
|
_ [х (t) + Q] у' (t) — у (t) л-' (/) |
y ^ + t ) |
l*W + Q]! + y2W |
Q |
Вычисление последнего выражения дает [3]:
« ( 0 “Чо (< + •')= — П |
З ( 1 - е - Ч - |
6' У, М - € - ., |
|
|
|
|
*0 |
|
|
сю |
|
Ьп = |
(2 *)» j s , , ( /) ( / - /,) « < //, |
||
где g ( 0 |
= |
J S„ (/) cos 2 к ( / — / с) -о//; |
|
|
|
О |
|
|
оо |
|
|
A (t) = j SBX(f) sin 2K ( / —/ c) dxj, 0
(7)
(8)
где S BX(/) — энергетический спектр входного шума, f c— частота расстройки суммы сигнала и шума относи
тельно частоты симметрии входного фильтра.
Важным моментом в анализе переключательной мо дели шума является конкретизация вида корреляцион
но
кой функции процесса a ( t ) . В общем случае эта задача
представляется достаточно сложной, однако можно рас смотреть приближенные методы нахождения Ra {т). Ос
тановимся на двух таких методах.
1. Будем предполагать, что энергетический спектр процесса a ( t ) сосредоточен в области низких частот. В этом случае корреляционная функция Ra (т) может быть
представлена в виде
Ra W ** Ra (0) = 1 - в"'. |
(9) |
Последнее выражение следует из того факта, что зна чениями процесса а(1) могут быть только 0 и 1 , а его
среднее значение определяется формулой (3). Подставляя (9) в (5) и (6 ) и используя (8 ), полу
чаем корреляционную функцию R u(т) в виде
R„ (t) = Rp W - (1 |
- e-f) X |
X (1 - 2 e-o )g" (T)/Q2 - 2 ( 1 - |
e~n e~* 6, ВД/&2. (10) |
Энергетический спектр Su (J) шума на выходе ЧД можно найти, выполнив преобразование Фурье на R u(x):
|
Sa (/) |
= 4- 2 |
(Л'.- + |
N-) + |
|
|
+ |
— -Ц 1 ~ |
|
2 еТ^ |
(2 * /)2 |
( / + |
fQ) - |
|
2 р |
|
|
|
|
|
- |
2 (2 * ) 2 ( 1 |
- |
е- 0 |
е-о/&, 5 ВХ( / + |
Л). |
|
|
--СО |
f < °°> |
|
(11) |
||
где N ± — среднее число скачков фазы суммы входного
сигнала и шума на ±2я соответственно. В (11) мы вос пользовались приближением Райса для энергетического спектра импульсной составляющей шума [2]. Из фор мулы ( 1 1 ) следует, что кроме равномерного спектра
импульсной компоненты шума и параболического спект ра, характерного для работы ЧД выше порога, в энер гетическом спектре шума на выходе ЧД существует слагаемое с лйиейной функцией частоты, которое воз никает в результате взаимной корреляции импульсной и гауссовой компонент выходного шума. Следует отме тить, что это слагаемое отлично от нуля только при на личии модулирующего сигнала (Ь\ Ф0).
2. Запишем процесс a ( t ) в виде
a{t) — a (*) + а0,
где а(/) — случайный процесс с нулевым средним. Кор реляционная функция Ra (т) равна
R „ (*> = # . W + К
где Ra(т ) — корреляционная функция процесса |
a(i) |
Для больших отношений сипнал/шум (р> 1 ) |
|
Я» К)** 4 |
О2) |
Используя (12), корреляционную функцию шума на вы ходе ЧД представим в виде
Ru W = |
RPW - (1 - е - ? ) 2 g" X)/Q2 |
- |
— 2 (1 |
— e~f) e~pô,/i' (x)/&g. |
(13) |
Из (13) получим следующее выражение для энергети ческого спектра шума на выходе ЧД:
5И(/) = |
4-- (N++ |
М.) -Ь П ~ - е~Р) |
(2х/)> X |
|
|
2 р |
|
|
X 5 DX( / -f"/с) |
|
|
2 |
(2 ÎC) 2 (I |
е~р) e - p ^ 5 BX( / + |
/ c), |
|
— оо < / < оо. |
(14) |
|
Сравнение теоретических и экспериментальных ре зультатов показано на рис. 2
Здесь точками отмечены экспериментально получен ные значения энергетическо го спектра шума на выходе ЧД при постоянной рас стройке сигнала относитель но частоты симметрии вход ного фильтра с прямоуголь ной частотной характеристи
кой (О0«Д7А/вк=0,25) Пунктирная кривая соответ ствует спектру, даваемому импульсной моделью С. О. Райса [1, 2 ] (с учетом
подавления гауссовой ком поненты шума), сплошная кривая рассчитана по фор
муле |
(11) и штрихпунктирная по |
формуле (14). Из |
|
рис. |
2 |
следует, что для глубоко подпороговой области |
|
( р « 1 ) |
наибольшее приближение к экспериментальным |
||
результатам обеспечивает формула |
(1 1 ). |
||
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Малолетним Г. А. К вопросу помехоустойчивости частотной модуляции. О пороге частотной модуляции. — В кн.: Методы поме хоустойчивого приема 4M и ФАТ М., «Сов. радио», 1970.
2.Rice S. О. Noise in FM receivers in time series analysis. New York, 1963.
3.Рабинович M. А. О взаимной корреляции шума н его гаус
совой компоненты на выходе ЧД. — «Радиотехника», 1974, № 7.
УДК 621.396.621.33
В.А. з а й ц е в , в . и . м а н е н к о в
ОПРЕДСТАВЛЕНИИ ФЛУКТУАЦИОННЫХ ПОМЕХ
ВПРИВЕДЕННЫХ СИСТЕМАХ КООРДИНАТ
Рассматривается представление случайных процессов в приве денной системе координат, в которой собственные колебания урав нений нестационарных систем описываются как «простейшие». Дается обоснование понятии корреляционной функции, энергетиче ского спектра, коэффициента передачи, белого шума в приведен ных нормированных координатах.
Задача обнаружения и фильтрации сложных сигна лов упрощается, если пространство наблюдений пред ставляется в базисной системе собственных функций уравнениями фильтрующей и порождающей цепей. Од нако сравнительный анализ различных -систем связй це лесообразно производить, пользуясь одной координатной системой функций. Понятие приведенных масштабов времени и амплитуд [ 1 ] дает возможность свести раз
личные базисные системы, адекватные нестационарным фильтрам, к одной наиболее удобной, например, к ба зисной системе функций, используемой в классическом преобразовании Фурье.
В данной работе дается обоснование моделей случай ных процессов, которые в базисной системе собствен-
иых функций нестационарной цепи соответствуют стаци онарным процессам для цепей с постоянными парамет рами.
Рассмотрим функции вида
s(*) = b (f)e '« w , |
( 1 ) |
которые являются собственными функциями струк турно-сигнальных параметрических фильтров (ССПФ)
[2]. В приведенном масштабе времени t=x(t) и норми
рованной шкале амплитуд (нормирующий множитель — 1 /Я(0 ) функции (1 ) описывают моиогармонические ко
лебания
s (0 = е'* |
(2) |
Выберем в качестве базиса для канонического пред ставления случайных процессов набор функций вида (2 )
s( (« = e /V , |
(3) |
ортогональных н ) некотором интервале [О, Г] приве денной шкалы времени. Свертка на этом интервале вы борочной функции x(t) (реализации случайного процес
са) с функцией из набора (3)
г
х, = j* А' (/) s, ( 0 dt
О
при однозначности зависимости й(т) однозначно опре деляет проекцию реализации на координатную функцию
Slit).
Условие полноты базиса функций (3) при переходе от известного в реальном масштабе времени полного ортогонального базиса функций вида fi = exp / а/ t
заменой переменной t на t определяется однозначно
стью функции т (/) и обратной ей функции — /(т). Для примера представим элемент исходного базиса Z( (t)
суммой
2у W = ) 2 c/M * b
/ » 0