книги / Методы помехоустойчивого приема ЧМ и ФМ сигналов
..pdfДля определения /(У) будем основываться па еле* дующем вспомогательном утверждении. Отношение правдоподобия /(У, '&) при .известном v допускает пред
ставление
l ( Y , &) = /0(^) + /i(K - 6 5 , |
») — Л (Г, 0), |
(1) |
т |
|
|
где / 0 (К) = 0 | (5» 5 - ' К — - 1 |
6 5» fi-'S ) dt |
— от- |
0 |
|
|
ношение правдоподобия в задаче обнаружения при У=
= 0 5 + Л/ |
ЛГГ=(/*,, |
я2, |
/гл); |
|
|
|
т |
|
|
|
|
Л (П ô ) = J [ ï * ( » 0 | / / 0) B - ' r - |
|
||||
|
о |
|
|
|
|
- |
1/217» (» I H0)B~l Ï7(& |
| Я0)] dt. |
(la) |
||
— отношение |
правдоподобия |
для |
задачи обнаружения |
||
мешающего сигнала при наблюдении У=К+!Л(; |
|||||
|
|
т |
| Я,) в - 1( У - |
|
|
А (Г — оs , Ô) * |
ip » (6 |
6 5 ) - |
|||
|
|
U |
|
|
|
- Y Т* (» | щ в -■ F ( ¥ | я ,) ] л , |
(1 б) |
||||
где V (» | Я,) = М {К |
I Я„ |
У(1 ). |
|
i = 0, 1 - |
|
апостериорное среднее значение вектора К.
Выражение (1) следует из несложных преобразова ний производной Радона—Никодима для мер, отвеча
ющих диффузионным |
процессам [4] y=S+V+JV, У= |
= 1/+ N при известном |
*6 . В интересующем нас случае |
(б неизвестно) достаточной статистикой является обоб щенное отношение правдоподобия '[5]
I ( У ) = InJ ехр74( Y, 6 ) dP (&). |
(2 ) |
Бели 0 — малый параметр, /(У) допускает представ
ление
/ (У ) = /о (7 ) - 6 Р ( У) + 1/2 г - Р* (У ) + О (в*), |
(3) |
< е х р / 1 (Г,0) j S ' В - 1V (ft I H Q) d t > b
р ( П = |
< e x p /j (Г, ft)>a |
|
< • > означает усреднение no P (fl*).
Выражение (3) следует из разложения Тейлора для <ехр lx(У—ОS , &)><> в точке 0 = 0 и выражения In ( 1 + + л:) = л:4 - о (аг).
Использование /(У), определяемого по формуле (3 ),
связано с усреднением по fl. Подынтегральное выраже ние в (2 ) содержит члены вида
w,(ft) = exp lx(Y4 b)dP(b)% |
(4) |
представляющие собой ненормированную |
апостериор |
ную меру случайного параметра fl. |
|
Рассмотрим асимптотические свойства меры t^t(fl) |
|
при t— ноо. |
|
Если в окрестности fl0— истинного значения пара |
|
метра |
|
V (») - |
У(ft„) = |
|
<?ft |
(ft — fto) 4- О( I |
ft - |
ft0 I ) |
(5) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
для любого |
n < |
L — 1 |
и ft0 n+i — ft0 ,1 0 |
существует |
|||||
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
lim — |
[ м |
I |
TIJ(X) I |
2dt = const, |
|
(6 ) |
||
|
r~ |
T |
) |
|
|
|
|
|
|
тогда имеет место разложение |
|
|
|
|
|||||
In » , (ft) = |
Inда, (ô) - |
у |
(ft - |
ft)1 Q( £ + |
T)(ft - |
»). |
(7) |
||
Л |
|
|
|
|
системе стохастических |
урав |
|||
где A, Q удовлетворяют |
|||||||||
нений |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f t |
= Q~' |
|
5-1 (Y~ 17№ |
|
(8a) |
||||
dt |
= — [ |
d |
|
B - ' ( Y — T(ft))] ; |
|
(86) |
|||
|
<?ft L |
У* |
|
|
J |
|
|
||
= |
I Н ь)\ |
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
Q— {Q*./}i./ - 1.... L\ |
|
|
Е — единичная матрица; |
|
|
||
Т = {Т// (^Ж у=.1.... |
Ly lim»/y(*)-*0 . |
|
||
|
|
/-♦со |
|
|
При этом решение уравнений |
(в а, б) |
обладает свой |
||
ствами: а) <?£у-*оо с Р = 1 при |
t->оо; б) P{l\mQulct= |
|||
= | } = 1 , |
где с = |
! v\*Bjzl cos (ft0£— 0 0;); |
в) оценка Ф при |
|
гипотезе Я0 сходится к истинному значению Фо по веро
ятности при t |
оо. |
Выражение разложения (7) л уравнения (8 а, б) |
|
можно получить |
из (1, а) у используя разложение Тей- |
|
л |
лора относительно точки 0 : и известный способ получе-
д
ния уравнений для оценки 0 и матрицы Q [7]. Исполь
зование известных результатов [6, с. 120, 125] при ана
лизе (8, б) подтверждает свойства а и б. Состоятель-
А
ность оценки # следует из рассмотрения свойств решения
уравнения для |
А |
использованием |
свойства б. |
с |
|||
Заметим, что |
система |
(8 ) определяет |
.структуру |
асимптотически оптимального блока оценивания неиз вестного параметра v. Для узкополосного ФМ мешаю-
А
щего сигнала рекуррентное уравнение для оценки Ф (8 )
может быть переписано в видeSdg = (Bkk% k := 1 , |
/.) |
|
A |
L |
|
^ = - 2 |
BIk * (>0 У* sin (»/ + h). |
(9) |
|
ft |
|
A
Структурная схема блока оценки О, соответствующая (9), для ФМ мешающего сигнала и диагональной мат рицы В приведена на рис. 1. Блок оценкп представляет собой многоканальную по входу замкрутую систему. На рисунке введены следующие обозначения: ФВ — блок управляемых фазовращателей; Г — генератор, входящий
в блок оценивания мешающего сигнала Re о (А,) ехр /<а/; Q - 1* — блок обращения матрицы Q и умножения на
матрицу Q- 1 слева; двойными стрелками обозначены
цепи передачи векторных процессов.
Рис. 1
Учитывая асимптотическое поведение Q, имеет смысл в целях упрощения блока принять вместо Qkk асимпто
тически эквивалентную функцию
Q*A= PA*. |
k = \ , . . „ L , |
где pft= I 'и(Х)!2^ ' — отношение помеха/шум в й-м |
|
канале. В этом случае блок оценивания описывается уравнением
|
A |
L |
|
|
|
|
____ L_ V |
I |
I Вт'у, X |
|
|
|
dt^ |
рк t |
|
|
|
|
X sin К + Ф р + ^г), |
( 10) |
|||
где |
0 „= argo(X); |
запись |
sin (•) |
означает усреднение |
|
по апостериорной мере параметра К. |
|
|
|||
Соответствующая (10) схема оценки приведена на |
|||||
рис. |
2 . |
|
|
|
|
И. В выражение |
(3) входит оценка У(О|Я0), |
отве |
|||
чающая задаче фильтрации |
априорно заданной модули |
|
рующей функции v(X) по |
наблюдению |
== v( 4 - |
i= 'l.......L, .при фиксированно^ значении O', |
|
|
Обозначим X= Фу; X= М {X | У, //„} и зададим Па
раметр %уравнением |
|
e\jdt = a (t)l+ |
(11) |
где |-(f)— ô-коррелированный процесс с нулевым сред ним и M%(t)n = 0 .
Рис. 2
Применяя метод квазилинейной оптимальной фильт рации [7] для решения задачи, можно описать струк туру блока оценки функции о (Я) системой уравнений (для диагональной матрицы В) :
|
d }Jdt = a (t) X+ К (t) 2 В - l |
(d/dl) vm y„ |
|
||
|
d K (t)ldt = |
2 a (t) К (t) + |
b2 (t) — |
|
|
|
|
д\Г |
|
|
(12) |
|
~ К^ Ж |
dl B~l ( Y — V) |
J- |
||
|
|
||||
где |
v m = v m(k) = |
Ren (X) exp (/W + |
A»); |
K(t)— |
|
апостериорная дисперсия оценки. При этом, как и ранее, считается, что время запаздывания мешающего сигнала на апёртуре значительно меньше интервала корреляции процесса Л.
Уравнения ( 1 2 ) описывают /.-канальную фазовую
систему с общим управляемым генератором. Простран ственная обработка наблюдений сводится к умножению
принимаемого в каждом |
канале сигнала у т на опорный |
и весовому суммированию результата. |
|
Определим влияние |
пространственной обработки на |
точность оценивания X. Для простоты изложения огра ничимся рассмотрением линейной апертуры и стационар ных значений К (0 , что соответствует задаче с a (t) = =const, 6 (^)=const. Из ( 1 2 ) следует выражение, опре
деляющее К —lim К (t) : t-+О
|
*= 7дЫ |
/ 1+1 ^ р*0(4)- ' ) ' |
(,3) |
||||
где |
pv = | v \ 2j2 | а |
| В и — отношение помеха/шум |
в по |
||||
лосе помехи; |
|
|
|
|
|
||
|
G (д) = cos |
|
|
sin (тс dL Д/Л) |
(14) |
||
|
|
|
sin (тс d Д/Л) |
||||
|
|
|
|
|
|
||
— функция, характеризующая направленность системы |
|||||||
обработки |
наблюдений |
(диаграмма |
направленности |
||||
(ДН) блока оцениваниях); |
|
|
|
||||
Д = |
(0,/2тг) (Aid) |
— обобщенное |
угловое направление |
||||
[8 ] |
на источник |
мешающего |
сигнала |
относительно |
|||
апертуры; |
d — расстояние |
между элементами антенной |
|||||
решетки; Л — длина волны. |
|
|
|
||||
Как видно из (13), ориентация ДН на источник су щественно повышает точность оценивания. В случае использования оптимальной оценки без пространствен
ной обработки значение G (А) |
в (13) определяется |
при |
||
ориентации ДН на полезный источник и может значи |
||||
тельно снизить качество оценивания. |
|
|||
III. |
Приведенные свойства функций ау,(б), l(Y) дают |
|||
возможность перейти к описанию алгоритма обработки, |
||||
определяемому выражением |
(3), в котором |
|
||
|
Т |
_ |
л |
(15) |
|
P (V) = ^ S ' B - ' V ( b l H 0)dt. |
|||
о
Таким образом, структура приемника определена выражениями (3), ( 1 2 ), (8 ). Дальнейшей задачей яв
ляется оценка качества работы приемного устройства.
IV. Очевидно, качество процедуры обнаружения оп ределяется свойствами статистики l(Y). Нахождение функции распределения для l(Y) в большинстве случа
ев является трудоемкой задачей. Поэтому при большом времени наблюдения полезными могут оказаться асимп тотические свойства /(У).
Пусть процесс л задан |
(11), п,- |
является ФМ сигна |
|
лом и выполнены условия |
|
|
|
— ( a ( s ) d s - » - — с, |
с > 0 ; |
||
t |
J |
/-» |
|
|
о |
|
(16) |
|
|
|
|
1 |
п |
|
|
j - j К2 (s) ds const, t -> со. |
|||
Тогда распределение /(У), асимптотическое по t, опре
деляется |
каж распределение |
случайной |
величины |
ц = |
||||||||
= Ц1 + Ц2 , |
причем (xi |
= |
piV) |
и |
(х2 |
— |i2 {t) |
имеют |
ука |
||||
занные ниже распределения: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Д Л Я |
(X, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р71/2 (Iх» — ^i) ~ N (°> |
1)< |
t -+<*'> |
|
О7) |
|||||
|
|
|
- _ |
( — 0,5 р, |
|
при |
Н0, |
|
|
|
||
|
|
|
1 |
1 |
0,5 рЛ. |
при |
Я,; |
|
|
|
||
Д Л Я |
[Х2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
w (x ) = |
(2*4>2(t)x)-'i2e x p \ — xl2ty2(t)], |
* |
> 0 , |
(18) |
|||||||
где |
|
0 2 |
V I |
— отношение сигнал/шум; |
|
|||||||
|
|
^ ^B~f |
|
|||||||||
|
|
|
kl |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Фа СО = (6 |
I |
г» | l2Bu )2G2(bv)D (rt); |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
D (r,) = M (r,- A fr,)2; |
г ,= - Ц - f*(*)® (X)dt; |
(19) |
||||||||||
|
|
|
|
|
I |
•о 1 J |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
G(&v) — ^ |
|
awCos/&i |
|
— значение |
ДН |
в |
направле- |
|||||
|
k, 1 |
|
|
|
|
|
|
аы — B n jBkl. |
|
|||
нии иа источник мешающего сигнала; |
|
|||||||||||
Доказательство асимптотических свойств /(У ) осно вано на получении выражения, справедливого при дост а точно больших t,
t
l {Y) =6 J* STB~l (Y — V (ô0/Я,) - 65)dt +
0
+ - L 62^ y B - , s di _ ъ _|_42i |
(2 0 ) |
0
t
г д е rj, == (/) s» e j 5 TВ - ' X
0
х [ ( 0 - » с ) ^ ^ о | Я „ ) | л ,
^^ '/ | 2(0 = 62р2(П /2,
вкотором первые два члена, очевидно, образуют нор
мальную случайную величину (17), а функционалы rji, Ï|2 в широких случаях эргодичности определяющих их
процессов в силу центральной предельной |
теоремы [9] |
|||
асимптотически нормальны: |
|
|
|
|
|
[ ' Ш - 1'!Ч ~ Л ' ( 0 , 1 ), |
t + |
œ , i = |
l , 2 , |
где |
(t) = O(^_I+s) ,0 < S < ;i; |
'^(О |
определяется из (19). |
|
V . В заключение отметим, что структура алгоритма пространственно-временной обработки в виде ( 1 ) полу
чена для более широкого класса сигналов в отличие от [8 ]. Переход к алгоритму в виде (3) позволяет опре
делить структуру многоканального приемника для сла бого сигнала по отношению к мешающему сигналу. При этом исчезает необходимость формирования оценок па раметров мешающих сигналов для двух гипотез. Анало гичный подход к синтезу многоканальной обработки мо жет быть развит и для более сложных случаев, напри мер, с какой-либо иной неопределенностью в описании мешающего сигнала [8 ].
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
'1. Ширма» Я. Д . Статистический анализ оптимального разре шения.— «Радиотехника и электроника», 1961, № 8, с. 1237.
2. Фалькович С. Е. Оценка параметров сигнала. М., «Сов. ра
дио», |
1970. |
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Черняк В. С. Оптимальная система пространственно-времен |
|||||||||
ной |
обработки гауссовских |
случайных |
нолей. — В |
кн.: Труды |
|||||
V конференции по теории кодирования и |
передачи |
информации, |
|||||||
тезисы III, |
с. |
159. Москва — Горький, 1972. |
|
|
|
||||
4. |
Линдер |
Р. Ш., |
Ширяев |
А. Н. |
Нелинейная |
фильтрация диф |
|||
фузионных |
марковских |
процессов.— В |
кн.: |
Труды |
МИ |
АН СССР, |
|||
М., 1968, т. |
104. |
|
|
|
|
|
|
||
5. Миддлтон Д . Статистическая теория связи. М., «Сов. ра |
|||||||||
дио», |
1962. |
|
|
|
|
|
|
|
|
6.Гихман И. И., Скороход А. В. Стохастические дифферен циальные уравнения. Киев, «Наукова Думка», 1968.
7.Стратонович Р. Л. Принципы адаптивного приема. М., «Сов. радио», 1973.
8.Ширман Я. Д. Анализ временного и пространственно-времен ного разрешения при неизвестном параметре мешающего сигнала.— «Радиотехника и электроника», 1970, № 6, с. 1146.
9.Волконский В, А., Розанов Ю. А. Некоторые предельные теоремы для случайных функций.— «Теория вероятностей и ее при менения», 1959, т. IV, № 2, с. 186.
УДК 621.396.621.33
В.И. КУЛЕШОВ, H. Н. УДАЛОВ
ОВЛИЯНИИ ШУМОВ НА ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В СИСТЕМАХ ФАЗОВОЙ
АВТОПОДСТРОЙКИ ЧАСТОТЫ
Исследуется влияние широкополосного шума на время уста новления синхронного режима и его надежность в астатической системе и системе ФАПЧ с интегрирующим фильтром. Получены зависимости среднего времени достижения синхронного режима, дисперсии этого времени и надежности синхронного режима для астатической системы ФАПЧ от уровня шума в области парамет ров, представляющих практический интерес.
Введение. Системы фазовой автоподстройки частоты (ФАПЧ) часто попользуют для выделения сигнала из шума [1—3]. Выбор фильтра в цепи обратной связи оп ределяет фильтрацию помех в синхронном режиме. Большой интерес представляет влияние помех, дейст вующих на входе такой системы, .на ее динамические характеристики: время переходного процесса, полосу за хвата, надежность синхронного режима.
Цель дайной работы — исследование влияния широ кополосного шума на систему ФАПЧ в переходном ре
жиме, а также на ее поведение в синхронном режиме.
Подход к расчету среднего времени установления сихронного режима в стохастических системах ФАПЧ.
Задача установления сиихромого режима в системах ФАПЧ при действии помех в настоящее время полно стью не решена. Существуют различные методы оценки времени установления переходных процессов в системах ФАПЧ в присутствии шума [5—8 ].
Р. Л. Стратоновичем, Р. 3. Хасьминеким и Ю. А. Мит ропольским для стохастических систем второго порядка развит метод усреднения. Этим методом получено одно
мерное приближенное уравнение Фоккера— Планка (ФП) для энергии, характеризующей движение в ФАПЧ. Следовательно, для оценки времени вхождения системы ФАПЧ в синхронный режим можно использовать реше ние задачи о среднем времени достижения границы мар ковским процессом первого порядка [10]. Поясним под ход к решению этой задачи.
Нестационарное уравнение ФП для плотности веро
ятности энергии А в системе ФАПЧ W (А) |
в общем слу |
|
чае имеет вид [9] |
|
|
W(A) = ^ |
- ^ { ф 2 М ) W ( A ) } - |
|
- e ± |
{ 0 1(A)W(A)}. |
( 1 ) |
Здесь
— энергия, запасенная в системе ФАПЧ; <р — разность фаз колебаний подстраиваемого генератора и сигнала; F(cp) — нормированная характеристика фазового детек
тора. Точкой обозначено дифференцирование по безраз-
л
мерному времени t = e Q c t; 2 С — полоса синхронизма
системы ФАПЧ.
Коэффициенты <Pi(A), Ф2 (А), е и D - 1 определяются
параметрами системы и интенсивностью шума. Условие