книги / Сборник задач по физике

а) Определить натяжение Г каждой из двух

нитей, если масса

колеса вместе

с осью

т = 1000 а,

момент

инерции

относительно

этой

оси У= 2 5

• 103 г • слР и радиус оси г = 5 мм.

б)

Каково будет натяжение Г каждой нити, когда

колесо, опустившись до конца и продолжая вра­

щаться по

инерции, начнет

накручивать нить на ось

и

подниматься?

в)

Предположим, что доска,

к которой прикреп­

лены

поддерживающие

нити прибора, поднимается,

оставаясь

горизонтальной,

так

что

диск остаётся

на

неизменной

высоте.

Каково

натяжение

нитей?

®

4—31.

На

круглый

сплошной

цилиндр

А

(рис. 4— 16) навит шнур. Цилиндр положен

на два

параллельных стержня БВ, наклонённых к горизон­

ту

под углом

а =

30°, и

удерживается

в этом

по­

ложении

рукой.

Другой

конец

шнура

перекинут

Рис. 4—15.

через

неподвижный блок С, расположенный так, что

Б,

шнур параллелен стержням. К шнуру прикреплён

груз

масса ко­

торого равна

массе цилиндра,

умноженной

на

з т а ,

т.

е. такова,

будут

двигаться цилиндр и

груз, если

цилиндр

отпустить?

Трение

и момент инерции блока

считать ничтожно малыми.

©

4—32.

Стержень

ничтожной

массы,

дли­

ны /, с .двумя малень­

кими шариками пц и т.2

может

на

концах,

вращаться

около

оси,

проходящей

через

середину

стержня

пер­

пендикулярно

к

стерж­

ню.

Стержень

приводят

в горизонтальное

поло­

жение

и

отпускают.

Определить: а)

угловое

Рис. 4—16.

ускорение и силу да-

вления на ось

в

началь­

ный

момент

движения

стержня; б) угловую скорость и силу давления

на

ось

в

момент

прохождения через положение равновесия.

и длиной

0

4—зз. Деревянный стержень с массой /72= 1000 г

/ = 4 0

см может вращаться

около оси,

проходящей через его сере­

дину перпендикулярно к стержню. В конец стержня попадает

пуля

с

массой /«1 =

10 г, летящая перпендикулярно

к

оси

и к

стержню

со

скоростью

77 = 200 — .

Определить

угловую

скорость,

которую

евк

©

4— 34. Как

изменится угловая

скорость тела, вращающегося

без

трения

вокруг некоторой

оси,

если

температура повысится

от

0°

до

1°С?

Как изменится

при

этом

кинетическая энергия

тела?

©

4— 35. На

вращающемся столике, употребляющемся в физиче­

тянутых

руках на

расстоянии

= 150 см друг от друга две гири.

Столик

вращается, делая щ =

1 сек'1. Человек сближает гири до рас­

стояния / 2 = 80 с м ,

и число оборотов увеличивается до щ = \,Ь с е к ~ 1>

имеет

массу

//г =

2 кг. Момент инерции человека относительно оси

столика считать

постоянным.

©

4— 36.

Горизонтальный диск вращается вокруг вертикальной

вращения

На него

падает другой

диск с моментом инерции отно­

сительно той

же оси

и угловой

скоростью ш2. Плоскости дисков

параллельны,

центры — на одной

вертикальной

линии.

Нижняя по­

верхность

падающего

диска снабжена

шипами,

которые впиваются

в верхнюю

поверхность

нижнего

диска

и скрепляют диски в одно

целое.

а) Найти

угловую

скорость

получившейся

системы.

б) На сколько изменится общая кинетическая энергия обоих

дисков после

падения

второго

диска?

в) Чем объяснить изменение общей кинетической энергии ди­

сков?

А вращается

© 4— 37.

Диск

с ничтожным

трением

около оси,

проходящей

сквозь

его

центр

перпендикулярно

к его

плоскости и

закреплённой

на столе. К нему

касаются другим таким же диском В ,

ось которого

держат

в

руке.

При этом угловая скорость диска А

уменьшается,

а диска

В

увеличивается

в противоположном напра­

колеса в виде дисков с массой ~

каждый.

4

© 4— 39. Тела, упомянутые

в задаче 4— 38, скатываются

без

скольжения по наклонной плоскости, образующей угол а = 3 0 °

с го­

пройдут

путь

/ = 98 см?

с1=6

см, катится

© 4— 40.

Шарик, диаметр которого

равен

по полу

и

останавливается через / =

2

сек,

пройдя

расстояние

6 '= 7 0 см.

Определить коэффициент

трения качения,

считая его

постоянным.

®

4—41.

Шарик

лежит на горизонтальной пластинке. Пластинку

передвигают

с ускорением,

равным

а.

Коэффициент статического

трения скольжения

равен

[х,

коэффициент

трения

качения

равен

к.

а)

При каком условии шарик будет двигаться вместе с пластин­

кой с ускорением а?

б)

При каком условии

шарик будет

катиться

по

пластинке без.

скольжения?

0

4—42.

Пластинке дают

наклон и

помещают

на неё

шарик.

если

(х =

0,25?

О 4—43. Диаметр подшипника оси железнодорожного вагона

равен

27

см, диаметр колеса 180 см. Коэффициент трения в под­

вертикальной оси, делая

/2 = 1

сек~1. Вдоль

него

скользит со скоро­

стью т; = 50-^;

муфта,

масса

которой равна

//2=

100 г. Определить

свк

действующую на

муфту

силу.

момент,

если

брандспойт выбросил за

это

время т =

5

кг

воды.

О

4—50* Почему

монета, катящаяся

по

полу,

поворачивает в ту сторону, куда

наклонится?

© 4т-51. Волчок, состоящий

из

тя­

жёлого

диска,

площадь

которого

рав­

на

30

см*,

и

тонкой

лёгкой

спицы,

проходящей

через

центр

диска

и

пер­

тде

Р — сила

тяготения

между

материальными точками с массами

тг и

у — постоянная

тяготения и г — расстояние между точками.

2) Однородный

шаровой

слой

или

шар притягивает внешнюю

точку так, как будто его масса

сосредоточена в

центре. Внут­

реннюю

точку шаровой

слой

не

притягивает.

3) Планеты обращаются вокруг Солнца по

законам Кеплера (приблизительно); этим же зако­

нам

подчиняется

движение

спутников

вокруг

планет.

О 5— 1.

Какова сила

притяжения

Солнцем

массы т = 1 г, находящейся на поверхности Земли?

О

5— 2. Тело,

находящееся

на

поверхности

Земли,

притягивается

и

к

Земле,

и

к

Солнцу.

13 той точке поверхности Земли,

для

которой

Рис. 5—1.

Солнце

находится

в

зените,

эти

силы

имеют

©

б—4. Два твёрдых шара, плотности

которых равны

и Ц*,

находятся в жидкости с плотностью О0 вдали от границ жидкости.

При

каком условии

шары притягиваются друг к другу и при каком

отталкиваются?

равна т[} находится на рас­

0

5—5.

Шарик,

масса

которого

стоянии

а от

тонкого

однородного

стержня,

длина и

масса

кото­

рого равны I и пц (рис. 5—2). Определить силу взаимодействия

шарика

и стержня.

О

5—6.

Пренебрегая

изменением

веса

вследствие

вращения

Земли

и Луны,

вычислить,

сколько весил бы на поверхности

Луны

человек, на Земле весящий 72 кГ.

© 5—7. а) Начертить график, показывающий изменение напря­

жённости тяготения

в поле Земли

от

центра Земли до

расстояния,

равного 5 земным радиусам. По оси абсцисс откладывать расстояние

(радиус

Земли

принять

за

единицу);

по

оси

ординат — напряжён-

|

I

>

И-----------------------1--------------------- н----- О---- ч

Рис. 5*—2.

ность

тяготения. Припять Землю

за

однородный шар. Что даёт пло­

щадь, заключённая между графиком и осью абсцисс?

б)

Как изменится

график,

если

примять во внимание,

что плот­

ность

Земли увеличивается по мере приближения к её центру?

0

5—8. Внутри

однородного шара имеется сферическая полость.

Показать, что поле

тяготения

внутри полости однородно. Зная плот­

ность вещества шара и расстояние между центрами шара и полости (/),

найти

ускорение тел, движущихся в полости.

0

5—9. а)

Центр тяжести

корабля водоизмещением 10 000 т ш

к =

5 м

выше

центра

тяжести

вытесненной

им воды. На сколько

масса корабля разнится от массы вытесненной им воды?

б)

Какова

результирующая

сила, с

которой действуют друг на

друга

два таких корабля, находящихся на расстоянии 1 ли/?

О

5— 10.

Где

находится

точка,

в которой силы притяжения к

Земле и к Луне взаимно уравновешиваются?

©

5— 11.

а)

С какой скоростью упадёт иа Землю метеорит, ско­

рость которого относительно Земли вдали от Земли мала?

б)

Останется ли при этом железный метеорит твёрдым, если иа

его

нагревание

пойдёт

50%

выделяемой

при падении

метеорита

теплоты ?

0

5— 12.

На какое расстояние

от Земли удалилось бы тело, бро-

шейное

вертикально

вверх

со

скоростью х>0 =

- км

отсутствии

5-— при

воздуха? Масса

тела ничтожно мала по сравнению с массой Земли.

О

5— 13. Две

планеты

обращаются вокруг Солнца по

орбитам,

принимаемым приближённо за круговые с радиусами /?х=

150 - 10й /см

(Земля)

и /?.2= Ю 8 - 10° /см (Венера).

Найти

отношение

их

линей­

ных

скоростей

и

хь.

© б— 14.

Чему равна сумма кинетической и потенциальной энер­

гии планеты

с

массой

тъ обращающейся вокруг Солнца по эллипсу,

большая

полуось которого равна а? Рассмотреть положения планеты

в точках

её

орбиты с наименьшей и с наибольшей кривизной.

У к а з а н и е .

Наименьший

и наибольший

радиусы кривизны эл-

липса равны

Ь3

а-

, где а

,

эллипса.

—

и у

и о — полуоси

©_ 5— 15.

Сколько

времени падало бы на Солнце тело с расстоя­

ния, равного

радиусу

земной

орбиты?

__1тх

__ 2/лу ,

__2/лз

л'° — Ш

’

Уо~~ ш

’

г“ —

яли в случае

сплошных

тел:

__! хйт

___/ у&т %

__

/ Ыт

х о — т 5 Уо — т » — т ,

где т — масса тела.

3)

Если твёрдое тело находится в равновесии, то

а)

%РХ =

0;

Е / \ , =

0;

2 ^

=

0;

б) равны нулю суммы моментов сил относительно любой оси

взятой

на .теле

или

вне его.

В частности,

удовлетворяются

следующие

равенства:

%МХ = 0;

2 Л*у = °;

У>М2 = 0,

Где Мх, Му и М, — моменты

сил относительно осей X , У, 2Г.

Те

же

равенства

имеют

место

при равномерном пряхмолинейиом

движении тела. Можно пользоваться этими

равенствами и при дви­

жении 'с ускорением, если присоединить к реально действующим

силам

силы

инерции.

4)

Потенциальная

энергия

системы

точек,

находящихся

в поле

тяжести, равна

т^к,

где т — общая

масса

всех точек; к — высота

центра тяжести системы. Система тел стремится перейти в такое

положение,

при котором

центр

тяжести

занимает

более

низкое

положение.

О

6— 1. Определить равнодействующую:

а)

трёх

сил:

9

кГ,

8 кГ

и

12 кГ,

направленных

под прямыми

углами друг

к другу;

б)

трёх

сил

по

10 кГ каждая,

составляющих углы

по 60°

между

собой.

О

6— 2.

Каков

угол между

двумя

силами,

если:

а)

силы

равны

между

собой

и равнодействующая равна каждой

63 силы равны

между собой и

равнодействующая

в

1,5

раза

больше

каждой из

них?

одной из них и

в 2

раза

больше

в)

равнодействующая равна

200 Г

(рис. 6— 1). Определить

натяжение шнура, пренебрегая изме­

нением длины шнура при навешивании груза.

О

6—4.

Шар,

весящий Р = Ь кГ, опирается

на две плоскости,

образующие

угол,

причём левая

образует с горизонтом угол а = 35°,

а правая— угол (3 = 20° (рис. 6—2). Определить

силы,

с которыми

шар давит на плоскости.

О

6—5.

На каждое из стропил (АС и СВ на рис. 6—3) дей­

ствует

сила

тяжести крыши и стропил, равная

800 кГ. Стропила

удерживаются от раздвигания затяжкой ЕН, длина

которой в 1,5

раза меньше

расстояния между

концами стропил

(АВ)

и в

1,2 раза

/

2

,3

4

С

а)

»

о

/

2

Я

,

«••••о

с г т Ъ

;

}-нд ■

о - о

3&

4 XI3

'

д .

Рис.

6—4.

б)

Определить

положение

центра

тяжести

пластинки, имеющей

форму

осевого сечения

тела,

изображённого на рисунке 6—5.

© 6— 8. Определить положение

центра

тяжести фигуры

в виде

тонкого круглого диска

с радиусом

^ =

5

дм,

в котором вырезано

круглое

отверстие

с

радиусом

га =

3 дм,

г, =5 см

причём

центр

отверстия

лежит

на расстоя­

нии

1

дм

от

центра

диска

(рис.

6—6).

п = Юсм

®

6— 9.

Опреде­

лить

положение цент­

ра

тяжести:

а)

сплошного

ко­

ЛР=/5см

нуса;

б)

полого

конуса;

в)

половины

круг­

лого

диска;

г) половины сплош­

Рис. 6—5.

ного

шара;

Рис. 6—6.

д)

полой

полусфе­

рической

чаши.

©

6— 10. а) Показать,

что

при

отсутствии

внешних сил

центр

тяжести системы движется с постоянной скоростью.

б)

Показать, что при действии внешних сил центр тяжести системы

движется с ускорением,

определяемым соотношениями

%РХ =

тах,

%Ру =

тау\

У^Р- =

таг,

где т — общая масса

всех

точек

системы.

О

6— 11. Трое

рабочих

несут

металлическую плиту

в виде раз­

что

на долю

каждого приходится одна

-28-

и та

же тяжесть.

О

6— 12.

На

доске, положенной

на

козлы, стоит

человек весом

60 кГ.

Вес доски

80

кГ.

Размеры показаны

на

рисунке

6—7.

Определить

силы,

действующие

на

опоры.

0

6— 14.

Ферма сделана из железных стержней одного

в

того же сечения так, как показано

на рисунке 6—9. Опора

В

устроена

гак,

что она не несёт вертикальной нагрузки. Вес стержня

АВ равен

50

кГ. Определить силы, действующие на опоры А и В.

©

6— 15.

Нагружённая тележка

находится на горизонтальном

Оси

находятся

на высоте 20

см над полотном. Если тележка

не

движется, то силы давления на левую и правую оси тележки равны

соответственно:

100 кГ и 90 кГ.

а)

На тележку давят

с силой 4 кГ, приложенной на

высоте

б)

Каковы

силы

давления

на

оси

в случае,

если тележка дви­

жется

под

действием

той же

силы

с ускорением

0,1

и если

центр

тяжести тележки находится на высоте 61 см над полотном?

@

6— 16. Модель коленчатого вала, сделанная из железного прута

диаметром

1

см,

как показано

на

рисунке

6— 11, вращается в под­

шипниках

А

и В

с

частотой оборотов, равной 5 сек~А. Определить

силы давления вала

на

опоры: а) в момент, когда колена вала распо­

ложены вертикально; б) когда колена вала расположены горизонтально.

©

6— 17.

а)

У

стены

стоит лестница. Коэффициент

трения лест­

ницы

о стену

равен р.1 =

0,4; коэффициент трения лестницы о землю-

равен р.9 =

0,5. Центр тяжести лестницы можно считать находящимся

в середине её. Определить наименьший угол, который лестница

может образовать с горизонтом, не падая.

б)

Предположим, что лестница поставлена в таком положении,

верхнюю ступеньку?

см, сделанный из

©

6— 18. Тонкий

стержень длиной /= 1

0 0

дерева

плотностью

й = 0,8 — 3, подвешен

за

один из концов,

воды

на высоте к, равной: а) 30 см;

б) 70 см.

©

6— 19.

Какую работу надо произвести, чтобы повернуть на дру­

гую грань

а)

сплошной железный куб

весом 200 кГ;

б) полый куб,

наполовину наполненный водой? Вес

куба мал по сравнению с наполняю­

щей его водой. Ребро куба равно 1 лг.

©

6— 20.

Ящик

в форме куба

перемещают

на некоторое расстоя­

—

ние

один раз волоком, а другой

Рис. 6—13.

кантованием

(т. е. опрокидыванием

через ребро). Коэффициент трения

ящика

о

пол

при скольжении

равен

(л; трением при кантовании

©

6— 22.

Доска толщиной

й положена на круглый цилиндр ра­

диуса

/? так,

что её

центр

тяжести находится

над осью

цилиндра

(рис.

6— 13). Показать,

что

положение

доски является устойчивым,

пока

угол отклонения

а

удовлетворяет

условиям:

*

I 4- _

где [х — коэффициент

трения

доски о

цилиндр.

Показать,

что при

2/? доска

не может

быть

уравновешена на

цилиндре.