книги / Теория автоматического управления техническими системами

9.3. Типовая вариационная задача оптимального управления

Приведем для примера одну из типовых задач оптимально­ го управления, решаемую с использованием принципа вариа­

ные условия х(^|), время окончания переходного процесса U и функционал качества в 'форме (9.3), т. е.

tt

/ = ^ /0(х, и, <)Л+ф[х(<а), Ч-

Образуют вспомогательный критерий качества / прибавле­ нием к (9.7) системы дифференциальных уравнений (9.6) с не­ которыми множителями, совокупность которых представляют

вектором M0=[M0 ...Я„(/)]т: 7=ф[х(*2), *2] +

где функции f0(x, u, t) и /(х, и, /) —функции, определяемые из выражений (9.7) и (9.6) соответственно.

Интегрируя по частям второе слагаемое в правой части кри­ терия (9.13) и учитывая (9.14), получим

t»

7=ф[х(<2), с2]+^[Я(х,и. x,t)-xr(t)k(i))d(=

tt

= <р[х(/2). у+^[Я(х, u, X, t)+‘Xc(t)x(t)\dt-

-X(t2)x(t2+ XT(tl)x(tl).

Пусть u (t) —вектор оптимального управления, который обеспечивает минимум функционала I (или /), a x(f) —опти­

мальное решение, т. е. реакция системы x(/)=f(x, u, t) на воздействие оптимального управления u(t).

Рассмотрим вариацию Ы функционала /, соответствующую вариациям векторов и(/) и х(/), имея в виду, что вариации бх(/)

х(<)=/(»«. 0;

при граничных условиях x(/j)=

Из гамильтониана (9.14) следует, что частная производная дЯ/дХ,=»/,(х1, и, О,

а функции Я|(0 при t= 1, ..., п традиционно обозначают через ф,(/). Поэтому систему из2л уравнений (9.18) обычно записы­ вают в следующем виде:

*w -5 £

(9.19)

дНdu_ 0.

Для того чтобы критерий / достигал локального минимума, не­ достаточно выполнения третьего условия системы (9.19); необ­ ходимо также, чтобы вторая производная функционала / при ре­ шениях системы (9.19) была неотрицательна для всех значений ôu(£), т. е.

ЬЧ>0.

Таким образом, решение задачи оптимального управления сводится к решению нелинейной системы уравнений 2п-го по­ рядка (9.19), причем для вектора состояний x(f) заданы усло­ вия в начале интервала (tu £2), т. е. в точке to, а для сопряжен­ ного вектора ф(0 заданы условия на конце интервала (f0, /к), т. е. в точке tk. Такого рода задачи называют двухточечными

краевыми.

Сложность решения вариационной задачи в форме системы (9.19) заключается именно в том, что граничные условия для векторов x(t) и ф(0 заданы на различных концах. Поэтому та­ кие задачи решают при помощи численных методов.

В случае линейной задачи с квадратичным критерием, рас­ смотренным в подразделе 9.5, эти трудности в значительной мере снимаются. Задача сводится к решению уравнения Риккати (9.32) по заданным условиям на конце интервала t=tk и получению оптимального закона регулирования (9.36), спра­ ведливого для любых начальных условий.

Для решения нелинейных двухточечны краевых задач обычно применяют ту или инуюитеративнуюпроцедуру, основаннуюна выборе некоторого бо­ лее или менее произвольного решения, которое должно удовлетворять сле­

дующим условиям: уравнениям состояния; сопряженным уравнениям; ограни­ чениям как на управление, так и на состояние; граничным условиям. Это исходное решение, обычно не удовлетворяющее перечисленным условиям, за­ тем используют для улучшения результатов, т. е. для получения следующего решения, более близкого удовлетворениюнеобходимы условий оптимально­ сти, и т. д. (т. е. до тех пор, пока не будет получено решение, удовлетво­ ряющее имс требуемой степеньюточности).

9.4.Приведение задачи оптимального управления

куравнению Гамильтона—Якоби

Предположим, что функции F и Fit, входящие в функционал (9.3) или (9.5), являются гладкими, т. е. непрерывными и диф­

ференцируемыми функциями. Пусть

В уравнении (9.20) левая часть не содержит и (0- Действи­ тельно, если оптимальное управление найдено с учетом ограни­ чений (9.4), то минимум функционала (9.3), т. е. /*[х(/), Z], уже от него не зависит.

Пусть t\= t-\-№, тогда, разлагая правую часть (9.21) в ряд Тейлора, получим

7*[х(*М1= min {MF[x{t+ aM), u(Z-faAZ), (Z+ aA*)]+ и(М+д*)

+/*[x<<M]+ [^[x(*),<)]T-£ a i+

+<]4<+ °(Д<)г}, 0<о<1, откуда при Д/-*0, найдем

ж - (X.u, t)+ [^1]Т/(X, и*. <)}• (9-22)

Обозначим через и* управление, ' минимизирующее правую часть (9.22), тогда

Граничное условие для уравнения (9.3) имеет вид /*[х(4), /k]=F[x(Zk)].

Уравнение (9.23) называется уравнением Гамильтона—Якоби.

9.5. Квадратичный критерий качества. Линейный объект

Рассмотрим теперь задачу оптимального управления для частного случая линейного объекта и квадратичного критерия, которую часто называют задачей аналитического конструиро­ вания оптимальных регуляторов (АКОР). Пусть уравнения объекта имеют вид (рис. 9.2):

-№

Рис. 9.2. Структурная схема оптимальной системы, реа­ лизующей квадратичный критерий

где х(£)—n-мерный вектор состояния; и(/)—m-мерный вектор управления; A (t) —непрерывная матрица [пХп]\ В(/) —непре­ рывная матрица [пХт]. Критерий качества регулирования

где Q(/) —симметричная, неотрицательно определенная весовая матрица [пХп]\ R(/) —симметричная положительно определен­ ная3 матрица [mXm]; F* —неотрицательно определенная мат­

рица [nXnf.

Требуется: найти вектор управления и, при котором функцио­ нал (9.25) имеет минимум; определить значение /*=min/.

Смысл этого квадратичного функционала можно пояснить следующим образом: выражение

/к

( xTQxdt

является мерой нормы ||х|| вектора x(t), т. е. мерой его колебательности в процессе регулирования; выражение

V

^uTRu<rt

аКвадратичнуюматрицу Мназывают положительно (неотрицательно) определенной, если скалярная величина uTMu положительна (неотрицательна) для всех значений вектора и, отличающихся от нуля.

является мерой количества энергии, используемой для управ­ ления; выражение

XkTFkxk

характеризует норму Нхк|| вектора x(f), т. е. отклонение от уста­ новившегося значения на конце интервала регулирования.

В некоторых задачах нужно стремиться к тому, чтобы все эти три значения были возможно меньшими. Поэтому задача оптимального регулирования состоит в минимизации функцио­

нала (9.25).

Предположим, что, в соответствии с критерием (9.25), яв­ ляющимся квадратичной формой, выражение для /*[х(0> t] так­ же можно представить в виде квадратичной формы

u(0

Последнее выражение можно преобразовать в виду

хтРх= —min [(u-j-R^3TPx)TR (и+ R~IBTPx)+

и

+ хт(Q- PBR-‘BTP+ РА+АТР)х].

Если матрица R является положительно определенной, то вы­ ражение (9.31) имеет минимум яри

u*(0=-R-4*)BT(0P.(0x(0,

т. е. когда выражения в первых двух скобках в формуле '(9.31) обращаются в нуль. Но тогда

хтрх=—xT(Q—PBR-»BTP+PA+ATP)x.

Полученное уравнение справедливо для всех x(t), поэтому

Уравнение (9.32) является матричным нелинейным дифферен­ циальным уравнением Риккати. Граничные условия можно опре-

*k]=XT(*)Fkx(/k),

откуда, учитывая формулу (9.26), найдем

xT(*k)P(/k)x(*k)-xT(fk)Fkx(*k), следовательно,

P(/k)=Fk.

Если Fk=0, то P(/k)i=0.

Согласно (9.26), оптимальное значение I* критерия (9.25)

Выражения (9.32) и (9.33) остаются справедливыми для любого начального значения t, т. е.

Формулы (9.34) и (9.35) -представляют собой решение постав­ ленной задачи оптимизации.

Равенство (9.34) можно переписать в следующем виде:

где

Анализ выражения (9.36) позволяет сделать следующие вы­ воды:

1) закон регулирования (9.36) приводит к структурной схеме с ОС, так как вектор улравления непосредственно зави­ сит от вектора состояния х(/);

2)закон регулирования (9.36) является «кинематическим»,

ане «динамическим», так как в нем не содержатся производ­

ные или интегралы от х; 3) закон регулирования (9.36) даже в случае объекта и кри­

терия с постоянными параметрами содержит -матрицу К(/)* за­ висящую от времени. Следовательно, замкнутая система регу­ лирования является системой с переменными параметрами;

4) основные трудности задачи оптимизации —необходи­ мость решения матричного уравнения Риккати и выбор весо­

вых матриц Q и R;

5) решение характеризует свободные колебания системы. Заметим, что решение задачи оптимизации ранее было по­ лучено в предположении, что внешние задающие (или управ­

ляющие) воздействия отсутствуют.

Рассмотрим задачу оптимального регулирования для слу­ чая, когда интервал оптимизации 7=/k—10 бесконечен. Эта за­ дача имеет решение только в том случае, если система, пол­ ностью управляема:

Вэтом случае установившееся решение Р является решением нелинейного алгебраического уравнения

РА+АТР-РBR-1BTP+Q=0.

Таким образом, матрица К не зависит от времени только в том случае, если оптимизациюпроводят на бесконечном интервале, объект регулирования стационарен и весовы матрицыRи Q, входящие в критерий (9.25), не зави­ сят от времени. Для этих условий можно сформулировать критерий устойчи­ вости замкнутой оптимальной системырегулирования. Уравнения для такой системылегко получить подстановкой закона (9.34) в уравнение (9.24):

х=(А—BR-1BTP)x,

и критерий устойчивости заключается в следующем.

Замкнутая система регулирования асимптотически устойчива, если пара [A, DJ полностьюнаблюдаема, где D—любая матрица, удовлетворяющая условию

DDt=Q,

аквадратичная форма хтРх является функцией Ляпунова.

9.6.Оптимальные ПИ-регуляторы

Вподразделе 9.2 был дан метод расчета линейных опти­ мальных регуляторов с обратной связью по вектору состояния. Такие регуляторы позволяют свести к нулю с течением времени

влияние на выход объекта ненулевых начальных условий или кратковременных импульсных воздействий. Однако в случае по­ стоянных или медленно изменяющихся входных воздействий такие регуляторы не могут обеспечить равенство нулю откло­ нений регулируемых величин от заданных значений. Для того чтобы они удовлетворяли такому требованию, закон регулиро­ вания должен содержать не одну, а две составляющие, одна из которых зависит от вектора состояния, а другая—от интеграла вектора состояния. Такие регуляторы называют пропорциональ­ но-интегральными, или ПИ-регуляторами.

где S —положительно определенная; R. и Q —неотрицательно определенные симметричные матрицы.

Предположим, что начальное значение управления и(£0) = =и° задано. Необходимо найти управление и*, минимизирую­ щее этот критерий.

Введем новые переменные