книги / Теория автоматического управления техническими системами

Р(ш)«Я(о))= 2 г 1((в).

i-l

Этой сумме соответствует переходная функция h(t) системы,

являющаяся линейной комбинацией функций М0> т. е.

П

А(9=2 *'(*)•

(б-20)

/«=1

частотная характеристика

Так, например, вещественная

P{(ù) (см. рис. 6.5) может быть аппроксимирована отрезками и

заменена суммой трех типовых

трапеций (рис. 6.6): трапеция

Рйс. 6.6

Трапецеидальны

Рис. 6.7.

Составляющие

частотные

характеристики,

Xri(t) и переходная функция

полученны при

аппрокси­

x(t) САР

мации

кривой

Р(о>)

Вкачестве примера рассмотримопределение переходной функции САР,

имеющей в разомкнутом состоянии передаточнуюфункциювида:

_

300 (0,6s+1)

Логарифмическая амплитудная ифазовая хаарктеристики, построенны по1

этому уравнению,приведенына рис.6.8.

Пользуясь

номограммой,

определимвещественнуючастотнуюхаракте­

ристику Р(ш)

(рис. 6.9,с, непрерывная

кривая).

Аппроксимируем

кривую

P((ù)

прямолинейными

отрезками. При

этомразбиваемчастотнуюхарак­

теристику на

трапеции

I—IV. Находимпараметрыкаждой

трапецеидаль­

ной характеристики

(см. табл,

на рис. 6.9,6).

Определим

по

таблице

/^-функций переходны функции,

соответствующие каждой

из трапеций

(табл. 6.2; рис. 6.10). Суммируя

ординатыэтих

переходны

характеристик

(в функции £действ)>находим, согласно

выражению(6.20), искомуюпере­

ходнуюфункциюh(t) САР.

Таблица 6.2

Значения составляющих кривой переходного процесса

‘действ-

*табл

А

^действ”

**

I

=<Г/®л

I трапеция

(х=0,2)

III трапеция

(х=0,5)

0

0,000

0,0

0,000

0,000

0,000

0,000’

1

0,371

0,5

—0,052

0,461

0,033

—0,124

2

0,682

1,0

-0,095

0,831

0,067

-0,224

3

0,895

1,5

-0,125

1,061

0,1

-0,286

4

1,008

2,0

—0,142

1,141

0,133

-0,308:

5

1,042

2,5

—0,146

1,117

0,167

-0,301

6

1,037

3,0

-0,145

1,051

0,2

-0,284

8

1,020

4,0

—0,143

10

0,966

0,267

—0,261

10

1,030

5,0

—0,144

0,982

0,33

—0,265

12

1,024

6,0

—0,143

12

0,997

0,4

—0,269

15

1,006

7,5

-0,141

15

1,005

0,5

—0,271

20

0,995

10,0

—0,139

20

0,995

0,67

—0,268.

25

0,995

12,1

—0,139

25

1,000

0,833

—0,27

II тратеодия (х=0/

IVтрапеция

(х=0,!

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0

0,625

1

0,461

0,016

—0,046

0,432

0,089

1,188

2

0,831

0,033

—0,083

0,785

0,178

1,532

3

1,061

0,05

—0,106

1,013

0,268

1,676

4

1,141

0,066

-0,114

1,110

0,355

1,688

5

1,117

0,083

—0,112

1,112

0,446

1,612

6

1,051

0,1

—0,105

1,068

0,536

1,506

8

0,966

0,133

—0,097

10

0,998

0,714

1,500

10

0,982

0,167

-0,098

0,994

0,893

1,492

12

0,997

0,2

-0,1

12

0,988

1,072

1,494

15

1,005

0,25

—0,100

15

0,991

1,34

1,518

20

0,995

0,333

—0,099“

20

1,004

1,786

25

1,000

0,416

—0,100

25

0,999

2,235

1,508

I

f-

XV)

г-

1

МММ

¥9

Рис. 6.10. Составляющие Xi(/)—*♦(Опереходной

функции

ифункция x(t) системы W(s)

6.4. Вычисление переходного процесса в САР при помощи ЭВМ

Современные средства вычислительной

техники позволяют

определять переходные процессы САР в автоматическом режи­

ме, т. е. без непосредственного участия

проектировщика. Рас­

смотрим два способа такого вычисления.

1-й способ. Заключается в применении численного интегрирования диф­

ференциальных уравнений, соответствующих замкнутой системе,

и состоит

в выполнении таких последовательных операций

(рис. 6.11,а):

1)

ввод передаточного коэффициента системы, постоянных времени и

коэффициентов демпфирования,

соответствующих

передаточной

функции

W(s) разомкнутой системы;

отношения

двух

полиномов:

представление ИР(s)

в виде

т+1

м1-*

,

М(s)

2

1=\

WW~ N(s) ~

2 ais

’

где то и

л—степени

1=1

числителя

и знаменателя

разомкнутой

си­

полиномов

стемысоответственно (т<п);

замкнутой

системы (при

единич­

2)

вычисление

передаточной функции

ной OOÇ):

W(s)

iM(s)

M(s)

х

Ф(5) =1+1Рф- N(s) -

п+1

2

а15

f-i

Рис. 6.11. Блок-схемыпрограммывычисления переходны процессов:

а—сиспользованиемчисленного интегрирования уравнения системыв пространстве состоя­

ния;

б—сиспользованиемвещественнойчастотнойхарактеристикиР\и )

где

1.

à._-]e* + 0i; 1= 1, т+ I_

|

ai; l=m +1»л+ 1J

3) переход к уравнениям в пространстве состояний рнда

х(/)=Ах(0+ Ви(0.

(6.21)

х(0=[*,(0. *.(0.

0

.

и

Г

о

1

0

0

0

1

0

0

6

Д/1

■ Ц

д.

_ Д»

_Д» .

_ Дл+1

Дя+1 ~~an+t

Дл+1

4) численное интегрирование системыуравнений (6.21)

при

нулевых

начальных условиях и u(/)=I(f)î

5)

вычисление переходного процесса по формуле

т+1

A(f)=S 6i*i(О»

i-1

(6.21).

тде Ь{—коэффициенты, определяемые из уравнения

функции

Отметим, что если известно выражение

для

передаточной

замкнутой

системыФ(з), то

переходный процесс

может

быть

вычислен

разложениемэтой передаточной функции на элементарны слагаемы с по­

следующимсуммированиемфункций, являющихся оригиналами от состав­

ляющих <D(s). Однако такой подход требует вычисления корней знаменателя

Ф(з), что

при

высокомпорядке системыможет

привести

к

существенным

погрешностям.

2-й способ. Вкачестве исходной информации используют значения ве­

щественной частотной характеристики P((ù). Вэтомслучае можно предло­

жить несколько алгоритмов определения переходны процессов.

Первый алгоритм(рис. 6.11,6) базируется

на методе

трапецеидальных

частотных

характеристик и на его разновидностях.

Проектировщик про­

водит аппроксимациюР(<и) трапециями, задавая в качестве исходной ин­

формации для ЭВМзначения <■),- при которых изменяется наклон аппрокси­

мирующей ломаной линии и соответствующие ординатыPi. Все остальные,

т. е. наиболее трудоемкие, операции выполняют на ЭВМв соответствии с

методом трапецеидальных характеристик. Программа

использует

таблицы

/^-функций, постоянно хранящиеся в памяти.

Такой

подход

позволяет

создать

быстродействующие

программы для

вычисления

и

построения

переходны процессов, однако требует большого объема

памяти ЭВМ.Точ­

ность вычисления зависит от точности аппроксимации и шага таблиц, что

тоже связано с объемомпамяти ЭВМ.

Второй алгоритмсостоит в непосредственномвычислении выражения

2 F P(<ù)

о

метод Фило­

для данных значений t. Вэтомслучае удобно использовать

на для интегрирования так называемых осциллирующих функций, т. е. функ­

ций вида

/(со) sinсо/. Исходнуюинформациюберут

из

таблицы значений

Pi=P(о,)

[20],

соответствующих дискретнымзначениям

частотысос, i—

=1,п. Для построения одной точки переходного

процесса

а

s

Рнс. 6.13. Структурные схемыСАР угловой

скорости вала турбины:

а —упрощенная схема; 6—преобразованная схема

с еднннчноПобратнойсвязью

вий к понятию обобщенных частотных характеристик.

позво­

Частотный метод анализа качества регулирования

зывается, что по свойствам вещественной частотной характери­

стики P((ù) системы автоматического регулирования

можно

судить о качестве регулирования без вычислений интеграла и

переходной функции. Рассмотрим некоторые из этих

свойств.

1. Достаточно близким переходным процессам соответствуют

Эту формулу особенно широко используют на практике. Ока­

всем интервале частот от 0 до +оо. Достаточно ограничиться

областью существенных частот (или полосой

пропускания).

Начиная с частоты ы„, имеет место соотношение