книги / Теория автоматического управления техническими системами

V

N (s) С{s) G(s)+ B(s) M(s) F (s) + Л4„ fs)

(3.20)

Л

D~(s)B (s)-fC(s)/V(s)~-------

Если

из

уравнений (3.19) исключить функции

Я (s) и X(s)

и выразить эти уравнения относительно E(s), то

,ogn

р/~\ —D (*) в(Д) О(s)—B(s) M(s) F (s)—М„ (s)

*

D(s) B(s) + C(s) N(s)

Разделив

все

члены

уразнений (3.20)

и

(3.21)

на

D (s)В (s)

получим

ХФ = 1+ WIs) G W+ l + lP(s) F

+ 1+

(!)'•

(3-22)

£ w = r r i « 0 (s) - r F r k /r<s) - , - r ^ ’

(3-23>

где

C(s)N{s)

M(s)

MH(s)

W(s)=

VH(s) =

D (s) B (s)

K(S)= D($) ’

O(s) B(s)

Первое слагаемое в

правой части выражений (3.22) и (3.23)

характеризует собой эффект управляющего воздействия g(t);

второе —эффект возмущающего воздействия

f(t);

третье сла­

гаемое—эффект начальных условий. В случае нулевых началь­

ных условий формулы (3.22) и (3.23)

могут

быть

переписаны

в следующем

виде:

*(s)=<D(s)G(s)+y(s)F(s);

гдеE(s)=d>t(s)G(s)—Y{s)F(s),

V(s)

W(s) .

(3.24)

r(s) = 1+r(s)

Ф(*)= 1+ W(s) ’

(3.25)

Если возмущающее воздействие

то X(s)=<D(s)G($)

X

(s)

определяемая выраже­

и 0(s)=^-^

, T. e. функция O(s),

нием (3.24), является передаточной

функцией замкнутой САР

по отношению к управляющему воздействию g(t). Если управ­

ляющее воздействие #(0—0, то Я(s)=У(s)F(s) и

Y(s)=*X(s)/

IF(s), т. e. функция

Y(s)

представляет

собой

передаточную

функцию замкнутой САР по отношению к возмущающему воз­

действию f(t).

Функция

Фе (s)=

gj^->

определяемая

(3.25),

называется

B(p)r{t)=N(p)g(t)

или В (s)R (s)—N (s)G(s).

(3.26)

Если уравнение (3.26) разрешить относительно R {s) и

резуль­

тат подставить в уравнение для объекта (3.16), то для

разомк­

нутой системы

V

,

N (s) C(s)

ЛРW—D(*) t

T в(s) D (s) G (S).

Если возмущающее воздействие f(/)=0, то

Xp(s)

N(s) С(s)

= W(s),

(3.27)

G(s)

B(s) D(s)

Типовые звенья с различными передаточными функциями ха­

рактеризуются определенным процессом, возникающим при из­

менении входного сигнала

(воздействия). Для сравнения вре­

менных характеристик этих

звеньев принято рассматривать

переходный процесс при скачкообразном

изменении

входного

сигнала на одну единицу (при нулевых

начальных условиях),

т. е. при единичном

ступенчатом

воздействии. Функцию, опре­

деляющую изменение переменной

на выходе звена

при этих

условиях, называют

переходной

функцией звена. Она может

При анализе различных свойств САР вводят в рассмотрение

понятие типовых линейных звеньев как некоторых

составных

Частотные

характеристики

Xi(t)

типовых звеньев

могут быть оп­

ределены

из

соответствующих

дифференциальных

уравнений

(передаточных

функций),

а

так­

же экспериментально.

видов

Можно

указать семь

Xг

типовых звеньев:

усилительные

(безынерционные),

апериодиче­

x2(t)

ские (инерционные), колебатель­

ные, интегрирующие,

дифферен­

цирующие 1-го порядка,

диффе­

ренцирующие 2-го

порядка,

за­

паздывающие.

звено. Воспро­

Усилительное

изводит входной

сигнал

без

искажения и запаздывания, но с

Рис. 3.8. Временныхарактеристи­

изменением

масштаба

(увели­

ки усилительного звена:

чивая его или уменьшая).

Пе­

а —входное ступенчатое

ооэдсПстнне;

редаточная

функция

усилитель­

б —переходная функция

ного звена

W(s)=k.

Зависимость между выходной и входной величинами: X2=kx\.

При подаче на вход усилительного звена единичного ступенча­

того воздействия

X\(t)= \[t) сигнал xz{t) на его выходе

изме­

няется мгновенно

(рис. 3.8). АФХ

определяется

выражением

W(j<û)=k и изображается точкой на действительной оси комп­

лексной плоскости.

(инерционное)

звено

описывается

диффе­

Апериодическое

ренциальным уравнением 1-го порядка:

■kxx,

(3.29)

где Х\ —величина на входе звена; лг2—на выходе.

Уравнению

(3.29) соответствует передаточная функция

где k —передаточный коэффициент

(3-3°)

(для нормированной пере­

даточной функции 6=1); Т —постоянная времени.

U\

на

входе

На рис. 3.9,а входной

величиной

является

напряжение

RC-фильтра, выходной —напряжение

U2на его выходе. На рис

3.9,б вход­

нойвеличиной является давление газа в магистрали Pu выходной —давление

газа в резервуаре Р2.На рис. 3.9,в входной величиной является температура

жидкости Т|, выходной —температура х2тела, опущенного в жидкость.

Переходная функция h(t) устойчивого апериодического звена

для случая, когда х\ в

(3.30) представляет собой единичное сту­

а

I

Mi

rj(t)

t +

f

W

I L __ J L *

I Вен-

I/лш»

Рис. 3.9. Примерыапериодических звеньев:

закалки

а—электрическийRC-фильтр;

б—резервуар с сжатымгазом; в—процесс

детали в жидкости

«

*

Рис. 3.10. Временны характеристики

апериодического

звена:

а —входное ступенчатое

воздействие; б —переходные функции устой­

чивого эвена {!) инеустойчивого (2)

Частотные характеристики апериодического

звена

могут

быть получены из выражения для передаточной функции

(3.30)

путем формальной замены s аргументом /о:

^

- -ттгггг= ÿ ÿ èrf е~У

г“'

<3-31)

Г«2-^ -+ 2 |к7-,,%-+*!=<!*1.

(3.32)

W(s)= TK2s2+2|КГKs+1

(3.34)

*<»>- tJss +1

•

(3'39>

Система, имеющая передаточнуюфункциювида (3.39), называется

консер­

вативной; такая система не рассеивает энергиюив ней протекаю незату­

хающие колебания.

Когда коэффициент £к<0, то выходные колебания с течениемвремени

возрастаю. Такое звено является неустойчивымколебательнымзвеном.

Частотные характеристики устойчивого колебательного звена

имеют вид

-/ arctgЪктк<*

Ц7(угп)=—

k

(3.40)

f

*(«)-- arc‘g т§Й&г-

АФХзвена (рис.

3.14)

начинается

jv(w)

на

действительной

оси

в

точке k

(jmm0

к

при

<а=0. При

частоте

со-»-оо кри­

вая

подходит к началу

координат,

'N.

b)-0?(J(co)

касаясь

действительной

оси.

Вы­

/

ходной гармонический

сигнал

при

частоте,

стремящейся

к

бесконеч­

ности,

отстает

от

входного

на

180°.

звено.

Диффе­

Интегрирующее

Рис. 3.14. АФХколебательного

ренциальное уравнение

этого

зве­

на имеет вид

звена

-71-- кХ\.

(3.41)

W(s)=^,

(3.42)

Рис.3. 16.Временны характеристики интегри-

Рис. 3.17. АФХинтегри­

рующего звена:

рующего звена

а—входное ступенчатое воздействие; б—переходные

функции: /—приAi—1,2—прий2“10

Частотные характеристики интегрирующего звена ’(3.42) при

S=j(ùl

Г(/с)=А.е

(3.43)

ВСАР интегрирующее звено выполняет роль астатического

элемента. Порядок астатизма системы зависит от числа инте­

грирующих звеньев в прямой цепи контура регулирования.

Дифференцирующее (форсирующее)

звено 1-го порядка

описывается уравнением

*г=ь[*Чг+х<}

(3.44)

Л(<)=%«(()+[!]}.

(3-46)

где Ô(0 —дельта-функция.

(3.46) показан на рис. 3.18,а.

График переходной функции

WU(ù) =k ]/т2о)2-f-1eyarctBTtû.

(3.47)

Н{а)=кУШ+Т,

(3.48)

0(ш) =arctgT<o.

звена

1-го

порядка

(3.49)

АФЧХ дифференцирующего

(рис.

3.18,6) —прямая, параллельная

мнимой

оси

и начинающаяся

на действительной оси в точке К при частоте ю=0.

Идеальному дифференцирующему

звену

соответствует передаточная

функция W{s)=ks, которая может быть получена

из

уравнения (3.44), если

в его правой части принять jci=0. Пример

такого

звена —тахогенератор

постоянного тока (рис. 3.19,а), если рассматривать

установившийся

режим

Xj—n(t)

a

F

j

Рис. 3.19. Примерыдифференцирующих

звеньев

1-го порядка

угол поворота 0 вала

якоря

его работы. Входной величиной ххявляется

тахогенератора, а выходной Хг—напряжение

UTT.Это

напряжение

пропор­

ционально угловой скорости Q=dQ/dt якоря тахогенератора. Поэтому, со­

гласно уравнениюUrT=kTrdQldt, передаточная функция тахогенератора

r "<s>=w-=*”s-

сигнала

обладает электриче­

Свойством дифференцирования входного

ский RC-фильтр (рис. 3.19,6), имеющий передаточнуюфункцию

ЕЛзых(s)__ 7s

W(s)= б^вх (s)

7s+ I ’