книги / Теория автоматического управления техническими системами
..pdfгде I—единичная (п, п) матрица:
'1 0 . .. СП 0* •.1 ... 0
0 0 .. !..
Аналогично лолучим следующее решение неоднородного век торно-матричного уравнения (4.7):
t
х (t)= еА'х(0)+ ^ еА('-т)Ви(т) dx, |
(4.14> |
о |
|
где матричная функция еА*может быть представлена в виде ряда, т. е.
е«=1+ А<+^Г-+...+-ТГ-+..
сходящегося при всех конечных значениях t. |
(4.7) при и(/)= |
|||
Общим решением |
однородного уравнения |
|||
=0, описывающем свободное |
колебание |
системы, является |
||
Хс.в(0=1еА‘х(0). |
|
свободные |
|
(4.15) |
Функцию, определяющую |
колебания линейной |
|||
системы с точностью до постоянной |
|
|
||
[Фп(0 |
... Ф\n(i) 1 |
|
(4лб> |
|
<р(о=еА'= ; |
: |
|
|
|
ЬФл! (0 |
... ФпЯ(*) J |
|
|
называют переходной, или фундаментальной, матрицей. В раз |
||
вернутой форме уравнение (4.15) имеет вид |
|
|
Г*1 W1 |
ГФп(0 ... Ф.Л01р1(0) |
|
U (oJ |
Ф«(о]и(р) |
|
откуда |
|
|
х<(0 —Ф«Х1 (0)+ф<2х2(0)+ ... +<р<пхп(0)= |
(4.17) |
|
(0+*»(*)+-..+*««(0 (г—1......п). |
||
Очевидно, |
что выражение (4.17) описывает изменение |
i-й со |
ставляющей вектора состояния x{(t), вызываемое начальными условиями х<(0), а каждый из членов правой части выражения
*у(0'-ф«(*)^(0).
представляет собой изменение i-й составляющей вектора со стояния xt(t), вызываемое /-м начальным условием.
Следовательно, каждый из элементов ф„(/) переходной матрицы q>(0 можно рассматривать как реакцию i-й перемен-
lit
ной состояния при х*(0)='1(*) и при нулевых начальных зна чениях всех остальных переменных состояния.
Выражение (4.14) с учетом матрицы (4.16) можно пред ставить также в виде суммы общего и частного решения:
х(0=ХСп(0+Х»ып(0==ф(0Х(°)t +
+/ф(^—т)Ви(т)^т, (4.18)
о
где хвып(0—реакция системы |
на вектор |
управления и(т); |
t |
управляемого |
перехода, т. е. |
Ь(^)=/ф(/—т)В^т—матрица |
||
о |
|
|
при учете решения (4.14) |
|
|
q>(t—т)=еА(,_т).
Составляющая хвын(£) является частным решением диффе
ренциального векторно-матричного уравнения (4.7).
Методы вычисления переходной матрицы. Вычисление пере ходной матрицы ф(/) линейной системы в случае, когда мат рицы А и Вне зависят от времени, можно выполнить одним из следующих трех методов.
1-й —метод разложения в ряд. Переходную матрицу мож но представить в виде бесконечного ряда
кЧг . \чз ?(*) =еА'= 1+А г + ^ + ^ + ...
Ограничившись конечным числом членов ряда и произведя их суммирование, найдем приближенное выражение для ф(/).
2-й —метод, основанный на определении собственных зна чений матрицы. Применяя к уравнению (4.16) преобразование Лапласа, получим
O*(s)=L{Ç(0}=L{eA‘}=[sI—А]-1,
где Ф* (s) —изображение переходной матрицы (см. (4.22)) и, следовательно,
Ф(0=1-1{[^1-А]-1}. |
(4.19) |
Определение ф(0 сводится к вычислению собственных значе ний матрицы А.
Пример. Пусть необходим вычислить переходную матрицу системы, уравнения которой имеют вид
Х\=Х2
х2=—Ьх\—ах2. Втаком случае
результате обращения этой .матрицл получим
Ф* (s)=[si—А]-1=s (s+а)ь [ —fis]-
Пусть матрица Аимеет действительны и различные собственны значения Я1==—-j +y Yas—46 ; Я2=—у —Уа8—46,
где л2>46.
Тогда переходная матрица системы
»(<>=£-,'ф*(*>1=7г=?ГХ |
е~Хг*—е-я,/ 1 |
Г(?v,—a)e~Xli—(Я,—д)е“Л,(/) |
|
Х[ Ь(е-я.('>__е-МО |
Х ^ - Х ^ ] |
3-й —метод, основанный на теореме Сильвестра. Предполо жим, что имеется некоторая функция f{А) от матрицы А, ко торую можно представить в виде степенного ряда:
СО /(А)= 2 е*А*.
где А—квадратная матрица размерностью (л, л) с л —раз личными собственными значениями Я;.
Тогда, согласно теореме Сильвестра,
п
/(a i=i где
/+1
Вчастном случае, когда /ЧА)=Ф(/)=еА‘,
имеем Я
*<0= 2*V f<xi)- /=1
Пример. Предположим, что уравнения линейной системыимеют вид x\=xi—Зх2;
X2=Xi—X2. Вэтом случае
[’7х _71х]-о
или Я*+2=0, так что корни Я,=УУ2 ; Яг=—/У2 . Имеем матрицу перехода
ям (4.7) и (4.8), выраженным в переменных состояния, полу |
||
чим |
|
|
Y*ifrcx*$+X(°)+BU(S):} |
(4.20) |
|
откуда,"исключая^X(s) иполагая”х(0)==0ГнайделУ~ " |
“*-^=а" |
|
Y(s)=C(sI-A)-1BU(s). |
(4.21) |
|
Матрицу |
|
|
Ф(s)= С(si—А)-1В, |
|
(4.22) |
устанавливающую связь |
между векторами выхода Y(s) и |
|
входа U(s), называют |
матричной передаточной |
функцией |
(МПФ) многомерной системы.
Если система имеет только один вход u{t) и только один |
|||
?(0=/ (A)=eA'=2 eVFM> |
|
||
причем |
i=i |
|
|
Ч ! |
=?]• |
|
|
Согласно Ю.Ту* |
|
|
|
F (Х,)= |
A+JV2 1 |
A-/Vjl |
|
п у г ■; f(X2)= |
J2V2 |
|
|
Такимобразом, |
|
|
|
»«)= |
|А+УУГЦе^'.-|А-/ VTlle-im |
|
|
FÿF |
|
||
=(cosУГ<)I+(y=.smУГ()A=cos/Г< [J j| + |
|
||
9(0- |
cosV2 ^+ -^==sin V2 ^ —Tÿ==sln/2 * |
|
|
|
1 sln УTt |
cos V2 —y ^ sIn^ |
t |
|
V2 |
|
|
|
4.2. Матричная передаточная функция |
|
|
Применяя прямое преобразование Лапласа к |
уравнени |
выход y(t), то матрицы В и С в уравнениях (4.20) превраща ются в скаляры, которые обозначим через b и с соответствен-
*Ту Ю.Современная теория управления. С.64—65.
Поэтому для одномерной системы |
|
ф<*>=гЩ=с(*1- А>''6' |
(4-23> |
Из формул (4.21), (4.22) видно, что для определения пере |
|
даточной функции системы по уравнениям |
(4.7), (4.8) состоя |
ния требуется обращение матрицы (si—А). В случае высокой
размерности матрицы А это может представить определенные трудности.
Один из способов решения задачи основан на так называе мом алгоритме Леверье.
Пусть
(si—А)_1= ‘ф~|(s)R(s),
где
ijj(s)=sn+fln-iSn_,+ ... +aiS+a0;
R(s)=sn-1I-fsn_2Ri+• • - +R«-i.
Тогда ai и Ri можно вычислить по следующим формулам: АХ=А-*а„.1= —spurAj Ri= А|+ ап_хI; Аг=ARi~>Дд-2——~2spurA2->R2==А24-CLn-^\
Ап1 = AR„>2-^°\——n—isPur^л-i R/i-i= А.л_14-Oil;
A„=ARn! —Q>q'=: —■ spurAn—>- R„=0.
Таким образом,
®W=STF) 2 CR'BS""' (i-0)
Пример. Рассмотрим линейнуюдинамическуюсистему, описываемуювек торнымуравнением:
|
|
|
Г4 2"| |
|
|
|
|
|
|
Имеем |
|
[ |
0 —1 |
01 |
|
Г1 0 |
01 |
||
|
|
|
|||||||
|
|
|
-1 —2 -2 +2 |
0 10 ; |
|||||
[ |
2 —10-1 |
1 |
о |
oj |
1 |
Lo 0 |
ij |
||
|
|
Г |
|
0 21 |
|||||
|
—1 |
0 —2 ; AÎ=AR1= |
|
—2 |
10 |
; а»-*'—1; |
|||
|
1 |
0 2] |
Г |
О |
L 2 -1 0j |
||||
|
|
Г1001 |
0 |
|
21 |
|
Г2 0 01 |
||
R#=Aj+(—1) I 0 10 1=1 |
2 |
0 |
|
0 |
; AS=AR,= 0 2 0 ; |
||||
|
|
Loo ij |
L 2-1 - ij |
|
L002J |
Следовательно, |
|
|
|
|
1 |
|
|
>(s)=:ij) (s) [CIBs*+ CR^s+CR2B]; |
|||
|
|
|
Г1 0 O'] Г4 2'| |
ф |
s3+2s-—s—2 ([3 I 2] |
ОI 0 111 3 s2+ |
|
О0 1I L2 lj |
|||
♦ i n a H ' i - l i |
n H J . l * } |
||
4>W=s,_^'_,_-2-{[i7 n]JÎ +[ 29 ?]S+[ il 2]}' |
|||
ПолучимМПФсистемы |
35 (—0,93s2+ 1,14s + 1) |
||
ф(*)= |
—65s2+80s+70 |
||
s3+2s2—s—2 |
~~ 0,5s3+s2—0,5s—1 * |
Решение обратной задачи —определение уравнений состоя ния по заданной передаточной функции, в особенности для мно гомерных систем, связано с более существенными трудностями.
4.3. Управляемость и наблюдаемость
Предыдущий этап развития теории автоматического регули рования, до широкого использования в ней понятия переменных
состояния, был связан с описанием САР при помощи перемен
ных вход —выход. Этот способ описания удобен для решения задач прикладной математики и4автоматики. Однако развитие
метода переменных состояния показало, что метод вход —вы ход имеет и существенные недостатки. Они связаны в основном
с понятиями управляемости и наблюдаемости, которые не учи тывались в рамках данного метода.
При получении передаточной матрицы сложной многомерной системы по передаточным матрицам или передаточным функци ям ее подсистем или элементов возможно сокращение полюсов или нулей, оказывающих существенное влияние на динамику системы. Пренебрежение этим фактором при расчете систем уп равления, как показывает опыт, может привести к ошибочным
результатам. |
|
|
Состоянием системы x{t) можно управлять, изменяя вектор |
||
входа u(f), а наблюдать состояние |
системы |
можно, измеряя |
вектор выхода y(t). В связи с этим |
возникает два вопроса, |
|
имеющих кардинальное значение для теории |
автоматического |
управления.
1. Можно ли, выбрав соответствующим образом входы и(0> перевести объект управления из некоторого произвольного со стояния x(f0) в другое произвольное состояние х(^)?
2. Можно ли, наблюдая вектор выхода у(/) в течение доста |
||
точно долгого промежутка времени, определить начальное со |
||
стояние объекта х(^0)? |
|
|
Ответ на первый вопрос связан с понятием управляемости, а |
||
ответ на второй вопрос —с понятием наблюдаемости. |
||
Определение понятий управляемости и наблюдаемости. По |
||
нятие управляемости связано с возможностью приведения си |
||
стемы в заданное состояние с помощью входных или управляю |
||
щих воздействий. Понятие наблюдаемости —с |
возможностью |
|
определения переменных состояния по результатам измерения |
||
выходных переменных. |
|
|
Вкачестве примера, поясняющего эти понятия, рассмотрим |
||
линейный объект, описываемый уравнениями |
состояния (рис. |
|
4.4): |
|
|
Х\=Хй |
|
|
х2= —х2—и] |
|
|
хг= —2хз+и; |
|
|
Х\=—Зх4—2и; |
|
|
у=х1+х3+0,5х4. |
|
|
Как это |
видно из рис. 4.4, переменная Х\, которой соответствует |
|
полюс Х=1, не соединена со входом, и поэтому вход и не мо |
||
жет влиять на ее изменение во времени. Такую переменную со |
||
стояния |
называют неуправляемой. Переменная х2 (полюс Х= |
|
= —1) |
не соединена с выходом, и поэтому невозможно опреде |
лить переменную х2.Такую переменную состояния называют не наблюдаемой.
Рис. 4.4, Структурная |
схема |
САР с |
однимнеуправляемы |
(А.=1) |
и одним |
ненаблюдаемы (А.=—1) полюсами
Управляемость. Более общее определение управляемости заключается в следующем. Состояние [х0, *о] называют управляе мым, если можно найти момент времени t\ (£i>*o) и вход и(/), переводящий систему за интервал времени (fo, ft) из состояния [х0, to] в состояние [0, /1]. Если любое состояние хбХ является i\>U, любых заданных состояний х0и Xj существует управле-
мым в момент времени 70- |
|
Можно дать и такое определение. Систему называют полно- |
|
етью управляемой, если для любых моментов |
времени to и tu |
*!>/, любых заданных состояний х0и xt существует управле |
|
ние u (О, (/о<*<*0, переводящее начальное |
состояние х0в |
•конечное хь
Судить о том, является ли система управляемой по виду ее уравнений состояния, в общем случае (за исключением одно мерной системы) очень трудно.
Однако если уравнения системы
x=Ax4-Bu; 1 |
(4.24) |
||
У=Сх |
J |
||
приведены к канонической форме |
|
||
x=Ax+Bti; 1 |
(4.25) |
||
У=Сх; |
J |
||
|
где А—диагональная матрица, то судить об управляемости си стемы можно, исходя из следующего.
Запишем уравнения (4.25) в развернутой форме:
х\ = + 2 Ъ\1Щ |
|
1=1 |
|
m |
|
* 2 = ^ + 2 |
(4.26) |
хп~ ^пхп+ 2 bnîùl |
|
1=1 |
|
Эти уравнения показывают, что управляющие |
воздействия «î |
не будут оказывать какого-либо влияния на переменную xJf если от
2v<=°. /■=1
т.е. если все элементы /-й строки матрицы В равны нулю. Следовательно, все те канонические переменные состояния
х, которые соответствуют нулевым строкам матрицы В, являют ся неуправляемыми. Это означает, что изменение этих перемен
ных происходит независимо от управляющих воздействий щи
целиком определяется начальными условиями, а также внеш ними возмущениями.
Таким образом, система (4.24) является управляемой, если
матрица В не содержит строк, все элементы которых равны ну лю.
форме (4.25), определяются следующей теоремой (или критери |
|
ем), полученной Р. Калмаиом: необходимое и достаточное усло |
|
вие для управляемости системы (4.24) заключается в том, что |
|
бы матрица |
(4.27) |
Q=[B, АВ, А2В, .... An-«B] |
|
имела ранг п. |
некоторого v</i, |
Часто матрица (4.27) имеет ранг п для |
|
т. е. |
(4.28) |
rangQv=rang[B, AB...... Av_1B]=n. |
|
Условия управляемости для системы, описываемой уравне |
|
ниями (4.24), не требующими их приведения |
к канонической |
Наименьшее значение v, при котором имеет место равенство (4.28), называют показателем управляемости.
Из критерия управляемости (4.27) |
видно, что управляемость |
|
определяется свойствами матриц А и |
В. При этом он остается |
|
справедливым |
и для дискретной системы, если ее уравнения |
|
представить в |
виде |
|
x*+i=Axfc+Buk. |
|
Наблюдаемость. Как было показано в рассмотренном ранее примере, переменная х2является ненаблюдаемой, так как она не соединена с выходом. Но для управления необходимо распо лагать сведениями о всех текущих значениях вектора состояния. Поэтому возникает вопрос: при каких условиях, наблюдая век торы выхода и входа, можно найти переменные состояния?
Систему (4.24) называют наблюдаемой, если по данным из мерения или наблюдения векторов у(t) и и(/) на конечном ин тервале времени t0^t^t\ можно однозначно определить началь ное состояние х(to). Систему (4.24) называют полностью наблю даемой, если все ее состояния наблюдаемы в любые моменты времени.
Предполагая, что уравнения системы приведены к нормаль ной форме, рассмотрим уравнение связи между вектором выхо дау и вектором состояния х:
(4.29)
где
Уравнение (4.29) в развернутой форме имеет вид
У\ (*)= 2 |
с^хк (0= спхх+ ... + bjXij+ ... + сихп; |
|||
Аг=1 |
|
|
|
|
/I |
|
(0= С-лАГ! + . . . + djXj+ . . . + |
|
|
»<(<)-2 |
|
|
||
ft=i |
|
|
|
|
Ур (О 2 |
|
CPkX(0— |
+ • • • Hr ^р/^-уН" • • ♦Н~СркХц' |
|
Из этих уравнений следует, что переменная |
может быть |
|||
определена по переменным уи у2, ...» ур, если коэффициенты |
||||
для (t=l, 2, ..., /?) |
не все равны нулю. Другими словами, |
*;■является наблюдаемой переменной, если элементы /-го столб ца матрицы Сне все равны нулю, или линейная стационарная система является наблюдаемой, если матрица выхода С не со держит столбцов, элементы которых равны нулю.
Условия наблюдаемости в общем случае, когда уравнения (4.20) не приведены к канонической форме, определяются сле
дующей теоремой: необходимые и достаточные условия для пол |
|
ной наблюдаемости состоят в том, чтобы матрица |
(4.30) |
R=[CT, АТСТ, (АТ)2СТ, ..., (АТ)П-1СТ) |
имела ранг п.
Из выражения (4.30) видно, что наблюдаемость определяет ся свойствами матриц А и С. Так же как и в случае критерия управляемости, если матрица R имеет ранг п для некоторого liCn, т. е.
rangR„=rang[CT, АТСТ, ..., (Ат)"-1Ст]=п,
то наименьшее ц, при котором имеет место равенство (4.30), называют показателем наблюдаемости.
Дуальность критериев управляемости и наблюдаемости. Очевидная аналогия между критериями управляемости и на блюдаемости позволяет сделать вывод об их дуальности.
Назовем два объекта S и S* дуальными, если они описыва ются соответственно уравнениями
* Й +ВИ:) |
(«I) |
о*. z=Arz+C7u; |
(4.32) |
*w=B7z. |
Из уравнений (4.27) и (3.30) —(4.32) видно, что если 5 управ ляема в *о, то S* наблюдаема в to и наоборот.
Таким образом, наблюдаемость одной из систем можно про верить анализом управляемости дуальной ей системы.