книги / Теория автоматического управления техническими системами

Уравнения состояния этой подсистемы имеют вид

й - к г - ж ы а - y-ю, »|[;:J

Вобщем случае многомерная система может быть декомпо­ зирована на четыре подсистемы (рис. 4.7): управляемую и не­ наблюдаемую 5ь управляемую и наблюдаемую S2, неуправляе­

мую и ненаблюдаемую 53, неуправляемую и наблюдаемую S4. Наличие связей между подсистемами определяется из следую­ щих соображений: если Si —ненаблюдаема, то она не может воздействовать на S2и S4, которые наблюдаемы; если S3— неуправляема и ненаблюдаема, то на нее не могут воздейство­ вать подсистемы Si и S2, которые управляемы, и т. д.

Уравнения состояния системы (см. рис. 4.7) в общем случае

у=[0 С, ОС4] [х„ X, хс xj.

Для того, чтобы система была наблюдаемой и управляемой, она должна состоять только из подсистемы 5г.

4.4. Значение понятий управляемости и наблюдаемости в ТАР

Рис. 4.8. Представление структурной схемы рис. 4.4 в виде двух последовательно со­ единенных подсистем

ных подсистем с передаточными функциями

^1(5)=“(5+1)(5 +2) •

_ 5+1

Wi(S)= (5+3) (5-1) • Передаточная функция системы

w ($)____ (s-ms+i)

WlW_(5+I)(5+2)(5+ 3)(5-l)* или (если провести сокращения)

1Fi(s)=-(5 +2)(s+3) *

Однако такое сокращение полюса и нуля при s=s*=±l возможно лишь теоретически, так как не учитывает образование диполя системы(рис. 4.9). Если этот диполь расположен в левой полуплоскости вблизи точки —а, то

Рис. 4.9. Нули и полюса системыв ле­ вой и правой комплексных полуплоско­ стях

внутренняя неустойчивость системыможет привести: к аварии, когда не­ устойчивая переменная достигнет определенной амплитуды; к появлениюэф­ фекта насыщения из-за выхода системыиз линейной зоны.

!--------------- 1

L.

позволяет устранить этот недостаток.

Рассмотрим САР с обратной связью(рис. 4.10), состоящуюиз управ­ ляемой S| и неуправляемой S2подсистем. Уравнения системыв разомкнутом состоянии:

Х1=А,х,+Вц|+К2Х2;

х2=А2х2;

у=С,х1+С2х2.

Учитывая, что e=g—у, уравнения системыв замкнутом состоянии имеют вид 124

При этом ее характеристическое уравнение имеет вид det[si—A,+BICI]det[sl—A2] =0.

Корни этого уравнения описывают динамику управляемой части замкнутой системы(первый сомножитель) и неуправляемой части разомкнутой системы (второй сомножитель).

Таким образом, введение обратной связи не повлияло на динамику не­ управляемой части. Каналогичному выводу можно прийти иотносительно ненаблюдаемой части.

4.5. Управляемость и наблюдаемость соединений подсистем

вия управляемости и наблюдаемости при параллельном и после­ довательном соединении двух подсистем, а также при соедине­

а

б

Рис. 4.11. Соединения подсистемSa и S&: а—параллелыюс, 6—последовательное

обходимые идостаточные условия для управляемости (наблюдаемости) си­ стемыS состоят в том, чтобыобе подсистемыбыли управляемы (наблю­ даемы).

Последовательное соединение подсистем. Для того чтобы система S, являющаяся последовательным соединениемподсистемS„ и Sb (рис. 4.11,6), была управляемой (наблюдаемой), необходимо, но недостаточно, чтобы обе подсистемыS„ иS* были управляемы(наблюдаемы).

Если Sa иSb управляемы (наблюдаемы), то все неуправляемы (нена­ блюдаемые) модыS возникают о Sb(в 5в).

Пусть S неуправляема и ненаблюдаема несмотря на то, что Sa иSb управляемыи наблюдаемы.

"*le=—^Ю+Uiî

Xib=—2*1-{-н1Ь—и2ъ\ уха=Х\а\

У2а—Х\а, У\=ХХЬ.

Тогда уравнения системы5 имеют вид:

у,=[0 1]Х.

из которых видно, что система 5 неуправляема и ненаблюдаема. Соединение подсистемс обратной связью.Структурная схема многомер­

ной САР показана на рис. 4.12. Обозначимпоследовательное соединение под-

управляемы (ненаблюдаемые) модыS являются неуправляемыми (ненаблю­ даемыми) модами Sc(So) и возникают в So.

Во всех трех рассмотренных случаях п=па-\-пь,

^1» »• •» Ьл=к\а, ••**hnaa\

Покажем практическое значение понятий управляемости и наблюдаемости. Так, например, при имитационном моделирова­ нии проектировщики, полагаясь на устойчивость каждой из под­ систем и, в то же время, наблюдая неудовлетворительное по­ ведение всей системы в целом, иногда делают вывод, что это объясняется явлением насыщения в интеграторах, и стремятся его устранить, заново масштабируя переменные. Это, естествен­ но, не помогает, и возникает ложный вывод, что неправильно функционируют сами интеграторы. Но их замена опять не при­ водит к положительному результату. Избежать лишних затрат времени поможет только предварительный анализ свойств под­ систем, входящих в состав САР.

У—(0 с2 ОС4] [Х] х2Хз х*]7-

Таким образом, Ф(в) совпадает с МПФ, описываемой урав­ нениями

х2—А22X2-f-В2и; у==С2х2.

Следовательно, матричная передаточная функция представляет собой только управляемую и наблюдаемую части системы и не содержит информации о неуправляемой и ненаблюдаемой ча­ стях. Это указывает на то, что переход от заданной МПФ ®(s)

к эквивалентной форме описания в переменных состояния дол­ жен быть корректным.

Прежде всего необходимо найти тройку матриц (А, В, С), причем так, чтобы

®(s)=C(sI—А)-1В.

чтобы, во-первых, тройка матриц (А, В, С) удовлетворяла урав­ нению (4.35), а во-вторых, система должна быть управляемой

и наблюдаемой, т. е. чтобы матрица С имела минимальную раз­ мерность (задача минимальной реализации). Выполнение пер­ вого условия несложно, а второго —связано с определенными трудностями.

Контрольные вопросы

1.Что такое переменные состояния динамической системы?

2.Какова физическая (математическая) сущность понятия состояния системы?

3.Что такое переходная матрица САР? Каков физический смысл элементов матрицы перехода?

4.Какие существуют способы вычисления элементов матри­ цы перехода САР? Как из матричной передаточной функции системы получить передаточную функцию САР с одним вхо­

дом и одним выходом?

5. Что такое наблюдаемость и управляемость?

5. АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ ЛИНЕЙНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ

Одной из основных задач ТАР является исследование дина­ мических процессов, протекающих в системах регулирования и управления. САР всегда подвергается действию внешних воз­ мущающих сил, которые могут вывести ее из состояния равно­ весия. Если система устойчива, то она противостоит внешним возмущениям: будучи выведенной из состояния равновесия, снова возвращается к нему.

С технической точки зрения требование к устойчивости си­

стемы является более жестким, чем при математической поста­

новке задачи. Техническое задание (ТЗ) на устойчивость систе­

мы предусматривает не только саму устойчивость, но и времен­

5.1. Понятия и определение устойчивости по Ляпунову Устойчивость САР —одно из основных условий ее работо­

А. М. Ляпуновым. САР соответствует система дифференциаль­ ных уравнений, которая может быть приведена к виду [19]

уравнения (5.1).

Хк(хи х2,..., *п) =К,(*!+#!*;... ; хк+уп*).

По терминологии Ляпунова, уравнения (5.6) называют урав­ нениями невозмущенного движения динамической системы.

При t—to переменные хк принимают свои начальные значе­ ния, которые называют возмущениями. Каждой заданной систе­ ме таких возмущений отвечает однозначное и непрерывное ре­ шение

Xk=Xh{xl0t *20...... *»0, t)

уравнений (5.5). Это решение называют возмущенным движе­ нием системы.

Исследования Ляпунова по устойчивости движения позволя­ ют судить об основных свойствах возмущенного движения, не прибегая к интегрированию уравнений (5.5), и рационально рас­

считывать регулятор САР.

Если окажется, что при определенной настройке регулятора решение (5.6) будет устойчивым, то система регулирования сама, без постороннего вмешательства, изберет режим невозму­

щенного движения. Если же решение (5.6) будет неустойчивым, то такого установившегося режима получить нельзя. При сколь

угодно малых возмущениях хьо система будет от него удаляться. Вбольшинстве задач теории автоматического регулирования

функции Xk(xu Х2,.. •, Хп) допускают разложение в степенные ряды, сходящиеся в некоторой Я-окрестности начала коорди­

нат (5.6):

п

где aks (k, s—1, 2..... ri) —постоянные линейные части разло­ жения, а функции Fk не содержат членов ниже 2-го порядка ма­ лости. На практике судят об устойчивости решения (5.6), рас­ сматривая вместо уравнения (5.7) лишь уравнения 1-го прибли­ жения

ния (5.8).

Ляпунов все случаи исследования уравнений (5.8) разделил

на некритические и критические.

К первым относят случаи, в которых вопрос об устойчивости

(неустойчивости) невозмущенного движения однозначно реша­ ют на основании исследования уравнений 1-го приближения

(5.8) . Чтобы обнаружить эти случаи, следует составить харак­ теристическое уравнение системы