книги / Теория автоматического управления техническими системами

и исследовать его корни Хк (6=1, 2,..., п). Ляпунов доказал две теоремы, которые позволяют исследовать все некритические случаи.

Теорема 1. Если вещественные части всех корней Хк харак­ теристического уравнения (5.9) 1-го приближения отрицательны, то невозмущенное движение асимптотически устойчиво незави­ симо от членов разложения выше 1-го порядка малости.

Теорема 2. Если среди корней Хк характеристического урав­ нения (5.9) 1-го приближения найдется по меньшей мере один

с положительной вещественной частью, то невозмущенное дви­ жение неустойчиво независимо от членов разложения выше 1-го порядка малости.

Акъхк*с течением времени непрерывно возрастает и стремится к бесконечности. В этом случае х также стремится к бесконечно­

сти и система неустойчива. Если À*<0, то член Ак№ с тече­ нием времени стремится к нулю, т. е. затухает.

Пусть один из корней Хг_—комплексный, тогда всегда суще­ ствует сопряженный с ним %г:

Яг—ос-|-/Р; Хг—а—/р. В этом случае

Аге%г*+ Аге>г‘= Аге?* з1п(р*+ф).

Если сс>0, то имеют место колебания с частотой р и нараста­ ющей амплитудой, т. е. движение неустойчиво. При а=0 получим незатухающие колебания —система находится на гра­ нице устойчивости. Если а<0, то амплитуда колебаний с тече­

нием времени уменьшается и колебания затухают. Отсюда мож­ но сделать следующие выводы:

если все вещественные части корней характеристического уравнения отрицательны, то динамическая система устойчива (рис. 5.1):

ная, то об устойчивости невозмущенного движения по первому

нулевых корней, а вещественные части остальных корней отри­ цательны, то говорят, что система нейтрально устойчива. Этот случай называют критическим, и для определения устойчивости системы необходимо специальное исследование нелинейных чле­ нов разложения.

5.2. Критерии устойчивости линеаризованных САР

Вычисление корней характеристического уравнения не пред­ ставляет труда для уравнений 1-й и 2-й степеней. Что касается общих выражений для корней уравнений 3-й и 4-й степеней, то они громоздки и практически мало удобны. Следует отметить отсутствие общих выражений для корней в уравнениях более высоких степеней. Поэтому важное значение приобретают пра­ вила, которые позволяют определить устойчивость системы, ми­ нуя вычисления корней. Эти правила называют критериями устойчивости. Они позволяют в ряде случаев не только устано­ вить, устойчива система или нет, но и выяснить влияние тех

или иных параметров, а также влияние структурных изменений на устойчивость системы. Существуют различные формы крите­ риев устойчивости. Однако математически эти формы эквива­ лентны, так как определяют условия, при которых корни харак­ теристического уравнения находятся в левой части комплексной плоскости.

Критерии устойчивости классифицируют на алгебраические и частотные. Критерии, которые позволяют определить, устой­

чива ли система, с помощью только алгебраических процедур над коэффициентами характеристического уравнения, называют алгебраическими. К ним относят критерии устойчивости: Рауса, Гурвица, Шур-Кона и др. [2, 19, 20]. Алгебраические критерии для систем, описываемых уравнениями выше 4-й степени, дают1 возможность определить лишь устойчивость системы при задан­ ных численных значениях коэффициентов уравнения. Но за­ труднительно с их помощью ответить на вопрос: как изменить параметры системы, чтобы сделать ее устойчивой?

Частотный критерий устойчивости, впервые сформулирован­ ный Найквистом, был применен для исследования устойчивости

САР А. В. Михайловым в 1936 г. Кроме трго, последний сфор­ мулировал другой частотный критерий, получивший название критерия устойчивости Михайлова. Достоинством частотных

критериев является их наглядность, а также возможность ис­ пользовать частотные характеристики, полученные эксперимен­ тально, когда не известны дифференциальные уравнения систе­ мы или ее элементов. Критерий устойчивости Михайлова целе­ сообразно применять тогда, когда размыкание системы не при­ водит к заметному упрощению задачи.

Об устойчивости замкнутой системы судят по частотной ха­ рактеристике разомкнутой, и в этом случае применяют крите­ рий устойчивости Найквиста—Михайлова. Кроме того, частот­ ные критерии устойчивости дают представление и о качестве процесса регулирования.

5.3. Алгебраические критерии устойчивости

Критерий устойчивости Рауса. Этот критерий формулируют следующим образом: если система автоматического регулиро­ вания описывается линеаризованным характеристическим урав­ нением вида (5.10), то для того, чтобы система была устойчива (т. е. все корни уравнения имели отрицательные вещественные части), необходимо и достаточно, чтобы все элементы столбца 1 табл. 5.1 для данного уравнения были одного знака.

Если а„>0, то все элементы столбца 1табл. 5.1 должны быть положительны.

Таблицу (алгоритм) Рауса (см. табл. 5.1) составляют сле­ дующим образом: в строку 1 вписывают коэффициенты уравне­ ния (5.10) с индексами (а„, а„-2, а„-4, ...); в строку 2 —коэф­ фициенты уравнения с индексами (ап-ь а„-з, an-s,... ); в строку

Согласно критерию Рауса, необходимым, и достаточным ус­ ловием устойчивости являются соотношения

Сц-ап>0; cn=>an-i>0) Ci3>0;... ; cit я+1>0.

Этим неравенствам, как следует из (5.12), эквивалентны нера­ венства вида

ап> 0; Д,>0; Д2>0;..... Дя>о.

Таким образом, критерий Гурвица формулируют следующим образом: для того чтобы система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство'а„>0, а определи­ тели Гурвица Д], Д2,..., Д„ были положительны.

Для характеристических уравнений высоких степеней поря­ док определителей возрастает, и практическое вычисление их обычным путем становится громоздким.

Необходимые, но недостаточные условия устойчивости за­ ключаются в том, что в случае уравнения /i-го порядка все коэффициенты ап, а„_ь ..., а0должны быть положительны и ни один из них не должен равняться нулю.

Рассмотрим характеристические уравнения и условия устойчивости для динамических систем, порядок которых не превышает пяти:

—аха£аг—а0а3:а4—a02asz—а,гд42>0.

Для п=2 условиемустойчивости является лишь положительность коэф­ фициентов характеристического уравнения. Для п=3, п=4, п=5 положи­ тельность коэффициентов характеристического уравнения недостаточна. Кро­ ме того, коэффициентыдолжныудовлетворять дополнительным неравенствам.

Рис. Б.2. Корни характеристического уравнения системы: а—расположение корнеЛ; б—модуль ифаза нектора X/

равна модулю комплексного числа, т. е. |Я(|, а угол, образо­ ванный вектором с положительным направлением действи­ тельной оси,—аргументу или фазе комплексного числа А,-, т. е. argA(. Векторы {X—А<), входящие множителями в D(X), прове­ дены из точек Xi к точке А.Каждый из этих векторов является разностью двух векторов, соответствующих Xи Х{ (рис. 5.3). Если принять А—/©в D(X), то

D(j(ù)=an(j(ù—Ai) (у©—X2) • • ■(/со—A„). где ©—круговая частота (см. раздел 3.3.).

Рис. 5.3. Элементарный вектор (Я-Я<)

Концы элементарных векторов будут находиться на мнимой оси в точке Я=/о (рис. 5.4). Модуль этого вектора равен про­ изведению модулей элементарных векторов и а„:

\D(j(ù)\=an\j(ù—ki\\j(ù—\2\ ... I/o—Яп1>

a аргумент или фаза его равна сумме аргументов элементар­ ных векторов:

arg£(/cù)=arg(/0—M)+arg(/o—Я2) + • • •

...+arg(/o—Я„).

Направление вращения вектора против часовой стрелки принимают за положительное. Тогда при изменении о от —оо до +оо каждый элементарный вектор (/©—Я<) повернется на

уравнения /}(Л)=0.

При изменении частоты ©от —оо до +оо вектор £>(/©) на

комплексной плоскости опишет своим концом кривую, которая называется характеристической кривой, или годографом век­ тора /)(/©).

Уравнение характеристической кривой определяют под­ становкой Я=/© в многочлен D(X) и последующим разделе­ нием действительной и мнимой частей:

£)(/©)=а„(/©)"+а„-1(/©)я-,+... +ai(/©)+a0;

D(j(ù)=w(©)+/u(©), где

U(©) =ÜQ—a2(Û2+Û4©4—..., о(©)=al(ù—a3©3+as©—...

Действительная часть «(©) является четной функцией, а мни­ мая часть и(©) —нечетной функцией частоты ©, т. е. и(—©) = =ц(©), и(—©)=—о(©). Поэтому для отрицательных значе­

ний ©

D (—/©)=и(©)—jv (©).

Отсюда следует, что характеристическая кривая симметрич­ на относительно действительной оси для +© и —©. При по­ строении характеристической кривой можно ограничиться лишь

положительными значениями ©от 0 до °о. При этом угол по­

теристической кривой (при изменении частоты от 0 до +оо(

устойчивой системе. При п—1изменение аргумента равно я/2, при п=2 изменение аргумента равно л и характеристическая кривая проходит через два квадранта, и т. д.

(n=1...5)

На рис. 5.7 приведена характеристическая кривая для

менении ©от 0 до со будет обходить в положительном на­ правлении п квадрантов и система устойчива, если ц(0)>0, t>(0)=0 и уравнения ц(©)=0 и ü(©)=0 имеют все действи­ тельные и перемежающиеся корни, т. е. если между каждыми двумя соседними корнями о(©)=0 лежит корень уравнения u(œ)=0 или между двумя соседними корнями w(©) находится корень уравнения и(©)=0.