книги / Теория автоматического управления техническими системами
..pdfРис. 8.30. Определение устойчивости предельного цикла
нейшим развитием амплитудно-фазового частотного критерия устойчивости линейных систем. Вместо точки —1; 0/, которую не должна охватывать АФЧХразомкнутого контура системы, если замкнутая линейная система устойчива, для гармонически линеаризованной системыслужит характери стика —l/W„(an<ù), которая не должна охватываться АФЧХлинейной части ^л(/©), чтобы колебания в замкнутой системе затухали.
Для анализа устойчивости нелинейных САР могут быть применены ЛАЧХи ЛФЧХ. Вэтом случае, согласно соотношению(8.9), должны быть использованы два одновременно действующих условия:
2016[ГлйШ),=201г|-*^^|;
|
|
г |
I |
1 |
|
(8 0) |
аггГл(y<D)=arg L |
Wn (ап; а>) J* |
|
|
|||
Соотношения |
(8.10) |
означают, |
что гармонически линеаризованная система |
|||
находится на границе устойчивости, если при частоте ©=ci)a пересекаются |
||||||
ЛАЧХ |
|
|
|
|
|
|
20lg\WJl (J<ù)\ и 20\g\-M(Wn(an\ со))|. |
|
|||||
а также пересекаются ЛФЧХarg Wn(j(û) н argf—l/WH(an<ù)]. |
||||||
Для определения |
устойчивости автоколебаний, а также |
параметров а» |
||||
и <Da удобно использовать фазовуюграницу устойчивости (ФГУ). Эту гра |
||||||
ницу строят |
следующим |
образом. На ЛАЧХлинейной части 201g|WA(j(ù) \ |
||||
системы накладывают |
логарифмические |
амплитудные |
характеристики |
|||
201g|—1/W„(an; со) |, полученны для нелинейного звена на некотором mhoj |
||||||
жестве значений амплитуды а„ |
при п=1, 2, 3... Затем на ЛФЧХлинейной |
|||||
части (рл=arg WA(j(ù) |
наносят |
вычисленны при тех же значениях апдля |
||||
нелинейного звена ЛФЧХ<p„=arg[—l/lFu(an; <*))]. Точки пересечения харак |
||||||
теристик 201g|Wjtijiù) I и |
201g|—1/W„(a„; со) | по вертикали сносят на соот |
|||||
ветствующие |
по значениям ап характеристики фи(со). Кривая, проведенная |
|||||
через эти точки пересечения, будет фазовой границей устойчивости. Построе |
||||||
ние ФГУпоказано на рис. 8.31. |
|
|
|
|||
Вточках пересечения ФГУс ЛФЧХлинейной части гармонически линеа |
||||||
ризированная система находится на границе устойчивости. Частоту соа возни |
||||||
кающих в такой системе колебаний определяют непосредственно по абсцис |
||||||
сам этих точек, а амплитуду ап—интерполяцией значений а„, указанных на |
||||||
характеристиках 201g|—l/Wn(an; ©)|. На |
рис. 8.32, например, значения а» |
|||||
определяют интерполяцией аз и а*. Амплитуда аа может быть представлена и в относительных значениях а.
Рис. 8.31. Построение фазовой границыустойчивости
Рис. 8.32 Интерполяция значений ап
Для выполнения рассмотренного ранее условия существования устойчи вых автоколебаний при пересечении характеристики 201g|fl^(/co) | с характе ристикой 201g|\/WH{an\ œ)|, взятой при аа+Да„, фазовая характеристика линейной части должна быть выше ФГУ, а в точке пересечения, полученной при аа=—Да,—ниже ФГУ, поэтому предельный цикл при частоте ш,' не устойчив, а при частоте <оа —устойчив.
n ооеньев с типовыми нелинейными характеристиками эквивалентный комплексный коэффициент усиления является функцией только амплитудыа«, иего определяют по соотношениям (8.10). При этом
| |
(ап) 1=У [q (ап)Г + l?i&п)\4’ |
|
|
||
?H(«„)=arg [-WJâiïl=arg[wi.(«„)']~ I80°- |
|
||||
20 IgJ —WlJjîïfi|=20lg VIff(а«)Р +lîi (a»)b |
(811) |
||||
fc(e,)-.rdg[-î^]-I80*. |
|
(8.12) |
|||
Соотношения |
(8.11) и (8.12) показывают, что в случае типовых |
нелинейных |
|||
характеристик для определения ФГУна ЛАЧХи ЛФЧХлинейной части си |
|||||
стемы достаточно нанести семейство горизонтальных прямых, |
параметром |
||||
которых будет амплитуда ап. При однозначных нелинейных характеристиках |
|||||
ФГУпредставляет собой отрезок прямой, лежащей на линии значений фаз, |
|||||
равных —я. |
|
|
|
|
|
|
Пример. Рассмотрим систему с нелинейной характеристикой типа насы |
||||
щения (рис. 8.33). Приведенные коэффициентыгармонической линеаризации |
|||||
[10, 20): |
|
|
|
|
|
g(a)=l. |
а<1; |
|
|
|
|
5-(5j=4(arcSln i +y | / l - ^ ) . |
c>U |
|
|||
где |
а —относительная |
амплитуда на входе |
нелинейного элемента {а=й/Ь, |
||
b —величина |
линейного |
участка статической_характеристики. |
Зависимость |
||
Lm„ от а (1<Г<10), т. е. Lm„(a) =-201g<7(a)=-2,2+101ga также приве дена на рис. 8.33.
Рис. 8.33. Зависимость LmHот а для статической характеристики насыщения
На рис. 8.34 показана процедура расчета нелинейных САР для трех ти пов Wn(j(ù), когда линейная часть САР устойчива, неустойчива и условно устойчива. Очевидно, что ФГУсовпадает с отрезком^линии ф=—я, ограни
ченнымсправа частотой среза <оср. При увеличении о амплитудные характе ристики нелинейной части перемещаются вверх, значит ФГУ необходимо заштриховать сверху [20].
Если САР без учета насыщения устойчива (ЛЧХлинейной части обозна ченына рис. 8.34 как ЬтЛ1и <рЛ|), то нелинейная характеристика типа насы щения не может ухудшить степень устойчивости системы, так как <рЛ1 не пересекает ФГУ.
Если линейная часть САР неустойчива (характеристики Ьшл2и <рл2), то характеристика фл2пересекает ФГУ, переходя из заштрихованной области в незаштрихованную. Всистеме возникнут автоколебания с частотой о>2о соответствующей точке пересечения фл2линейной части с ФГУ.Относительная амплитуда автоколебаний ai=14,5.
Наконец, если линейная часть САР условно-устойчива (характеристики Ьтдз и флз), то при наличии элемента с насыщением в_САР возникнут авто
колебания на частоте Шзос очень большой амплитудой а2=40 (см. рис. 8.34). Точкапересечения ЛФЧХс ФГУпри частоте ©аз соответствует неустой чивому предельному циклу —автоколебаний с такими параметрами в САР
не существует.
Контрольные вопросы
1.Дайте определение нелинейной САР. Охарактеризуйте основные методы анализа нелинейных САР.
2.В чем заключается сущность метода фазовых траекторий?
3. Постройте фазовую траекторию |
системы, содержащей |
одно из звеньев (их характеристики |
показаны на рис. 8.1) и |
инерционное звено. |
|
4.Что такое устойчивый (неустойчивый) предельный цикл системы?
5.Какой режим называется автоколебательным? Какими параметрами характеризуются автоколебания?
6. |
В чем заключается сущность |
анализа нелинейных САР |
методом гармонической линеаризации? |
||
7. |
Как определить в нелинейной |
системе, имеющей устой |
чивый предельный цикл, |
частоту и амплитуду автоколебаний? |
8. В чем заключается |
сущность анализа нелинейной САР |
методом фазовой границы устойчивости? |
||
9. |
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ДЕТЕРМИНИРОВАННОГО |
|
|
ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ |
|
Невозобновляемые ресурсы Земли |
(уголь, нефть, вода, лес |
|
и т. д.) |
вследствие развития техники |
начинают убывать. В со |
временных теории и технике автоматического управления при дают большое значение проблеме оптимального управления, ре
шение которой указывает пути экономии этих ресурсов. К чис лу оптимизационных задач можно отнести минимизацию массы
горючего для полета самолета или ракеты. Отношение затрат
топлива, необходимого для доставки полезного груза, к массе
этого груза обычно весьма велико. Поэтому определение траек
тории, обеспечивающей достижение заданной области простран |
|
ства (т. е. цели управления) с минимальными |
затратами, яв |
ляется чрезвычайно актуальной проблемой |
теории и техники |
управления. Так, например, при проектировании системы управ ления химического или атомного реактора стремятся решить оптимизационную задачу, состоящую в получении максимальной
производительности реактора.
Для расчета эффективности любой системы управления су ществует множество решений, и проблема управления заклю чается в том, чтобы выбрать «наилучшую» совокупность этих решений. Однако предварительно необходимо: а) определить цель управления, выраженную целевой функцией (или крите рием оптимизации), позволяющей найти количественный эффект любого решения; б) выбрать модель для анализа и определения
эффективности принятого решения; в) изучить все состояния среды функционирования объекта, влияющие на прошлое, на стоящее и будущее процесса управления.
При решении задач оптимального управления используют идеи вариационного исчисления, принцип максимума, а также динамическое и математическое программирование.
9.1. Постановка задачи оптимального управления
Задачу оптимального управления |
в общем |
случае можно |
|||
сформулировать следующим образом (рис. 9.1). |
|
||||
|
I----------------- 1 |
|
|||
|
1 |
Сис/пела |
1 |
|
|
|
1 |
граллелш |
1 |
|
|
|
1 |
услоЗай |
1 |
|
|
Цель |
1 |
4 |
F |
1«• |
|
1 |
|
||||
рлраб/гглал |
|
УраЗлелал |
|
|
|
(лрашрий |
|
|-N |
|
||
улраблгллл)- |
|
âaxattavecxoâ |
|
||
|
cuc/ne/tAf |
r V |
|
||
фрлхциолал 3 |
|
|
|
||
|
i |
F |
F |
i1 |
|
|
|
Слетела |
i |
|
|
|
i |
i |
|
||
|
j |
uc/JUf/uoepaaave/fииaaü |
| |
|
|
|
! |
|
|
i |
|
|
I |
задачи |
|
I |
|
Рис. 9.1. Схема |
оптимального управления |
||||
Даны: 1) цель |
управления, |
математически представленная |
|||
в виде некоторого |
функционала или критерия |
управления; |
|||
2) уравнения системы |
(обычно в виде уравнений состояния); |
||||
3) система граничных условий в начальный и конечный момен ты времени; 4) система ограничений, которым должны удов летворять переменные состояния и управления. Требуется най ти вектор управления, при котором критерий цели управления имеет экстремум (т. е. минимум или максимум). Математиче ская формулировка задачи оптимального управления состоит в следующем.
Предположим, что управляемый динамический объект опи сывают системой дифференциальных уравнений:
х=/(х, и, *); х(*0)=х° |
(9.1) |
на интервале времени (/о, *«)*. При этом векторы |
состояния х |
и управления и могут изменяться лишь в некоторой допустимой области, т. е.
х(06Х; u(/)6LI, |
(9.2) |
гдеX, U —заданные множества.
* Ввыражении (9.1) и далее функции вида /(х. и, /) в общем случае являются векторными.
Необходимо найти такой вектор оптимального управления и*, чтобы он обеспечивал экстремум некоторого функционала (це левой функции или критерия управления):
(9.3)
т. е. переводил систему из начального х(/0)=х0в новое состоя ние, расположенное внутри области FK\(хк) |>0, и удовлетворял
ограничениям на векторы |
состояния х(/) и управления и(/), |
которые могут быть представлены в виде выражений (9.2) или |
|
системы неравенств: |
|
Gi(x, u)>0; G2(х, u)=0. |
(9.4) |
Следует подчеркнуть, что оптимальное управление в ряде случаев может |
|
и не существовать и что обычно трудно утверждать заранее, существует ли |
|
оптимальное решение для данной конкретной задачи. Поэтому часто проще |
|
решить задачу, если это вообще возможно, и тем самы установить, что оп |
|
тимальное управление существует. Кроме того, решение задачи нахождения |
|
оптимального управления, за исключением ограниченного числа случаев, мо |
|
жет быть неоднозначным. |
для решения задачи опти |
Найдем необходимые условия |
|
мального управления. Эти условия дают локальный оптимум. Но если найдены все эти оптимумы, то оптимальное управле ние, соответствующее глобальному оптимуму, можно найти, выбрав среди локальных оптимумов такое управление, для ко
торого функционал |
(9.3) имеет, например, |
наименьшее мини |
мальное значение. Таким образом, в точке |
глобального опти |
|
мума управление и* минимизирует функционал /: |
||
/*= jj F[X*. |
Iх’ ('«>• *к1< |
|
|
|
(9.5) |
при всех uGU, для которых хбХ.
9.2. Вариационное исчисление и современные задачи теории автоматического управления
Оптимизация САУ возможна при определении главной цели в виде минимизируемого функционала1или целевой функции (критерия оптимизации).
1Если каждой функции x(t), принадлежащей некоторому множеству функций х, (x(OGX), отвечает некоторое число У(х(0), то говорят, что на множестве Xзадан функционал.
Для каждого режима технологического процесса или этапа движения подвижного объекта обычно можно указать главную цель управления. Помимо этого, процессы управления должны удовлетворять ряду условий. Так, например, самолет или кос мический аппарат необходимо вывести в заданную точку про странства, в заданное время, с заданной точностью, израсходо вав при этом минимальное количество топлива.
Одна из особенностей проектирования оптимальных САУ со стоит в том, что систему в ряде случаев нельзя охарактеризо вать одним критерием. Поэтому процесс проектирования часто представляет собой упорядоченную последовательность оптими зационных задач и сводится к нахождению оптимального де терминированного управления. Рассмотрим задачу расчета оп тимальной траектории или оптимальной программы при помо щи классического вариационного исчисления. Эта задача формулируется следующим образом.
Даны: 1) цель управления, представленная в виде некото рого функционала или критерия цели управления; 2) уравне ния системы; 3) граничные условия в начальный и конечный моменты времени. Требуется найти вектор управления, при ко тором критерий цели управления имеет экстремум (т. е. мини мум или максимум). Пусть управляемый объект, согласно си
стеме (9.1), описывают на временном интервале (/ь t2) |
вектор |
ным дифференциальным уравнением |
|
x=f(x, u, f), |
|
где |
(9.6) |
х$R"; u6Rm; |
х —вектор состояния (выходные переменные, xGRn); и —век тор управления (переменные управления, ueRm); t —независи мая переменная (реальное время функционирования системы).
Вариационное исчисление не учитывает ограничений, кроме условий (9.6), которым должны удовлетворять переменные со стояния и управления.
Будем считать, что область допустимых управлений и есть
множество всех ограниченных непрерывных функций |
и(/) из |
(*г. h)- |
|
Введем скалярный критерий качества • |
|
и |
(9.7) |
1= \ Л(х. и. 0*+ф[х(У, Ы. |
Первое слагаемое в выражении (9.7), характеризующее ка чество управления на всем интервале (tu t2), называется инте гральной составляющей. Второе слагаемое характеризует точ ность в конечный (терминальный) момент времени t2. Функции /о(х, u, t), qp[x(/2), *2] являются действительными и называются подынтегральной и терминальной частями функционала /.
Задача оптимального управления—отыскание такого детер минированного управления и (О, чтобы функционал / достигал, например, минимального значения. Конкретизация выражений /(х, и, f), f0(x, u, t) и q>[x(*2) tzl входящих в (9.6) и (9.7), по рождает различные типы задач синтеза управления. Функцио нал вида (9.7) можно назвать классическим, так как он используется в классических задачах вариационного исчисления, а именно:
1) в задаче Лагранжа—подынтегральная и терминальная части выражения (9.7):
/о(х, и, |
ф[х(*2), 01=0; |
(9.8) |
2) в задаче Майера: |
|
|
fo(х, и, 0=0; ф[х(0), 0]^0; |
(9.9) |
|
3) в задаче Вольца: |
|
|
fo(х, и, 0=^0; ф[х(/2), /2]=^0. |
(9.10) |
|
Кроме перечисленных особый интерес представляет и задача на максимальное -быстродействие технической системы.
Задача Лагранжа. Рассмотрим сначала интегральный функ ционал вида
I2
(9.11)
который является частным случаем критерия (9.7) при выпол нении условий (9.8).
Задача управления по минимуму критерия (9.7) связана с оптимизацией САУ по отношению к некоторому интегралу ти па (9.11). В очень многих процессах управления, встречаю щихся на практике, отклонения выходной переменной от неко торого требуемого значения являются нежелательными. В одних случаях вычисляют среднее значение этого отклонения или интеграл (9.11), представляющий собой, например, прибыль; в других случаях эффект усредняют таким образом, чтобы полу чить представление об ухудшении качества продукции (убы ток). Иными словами, особый интерес представляет среднее от клонение в течение определенного интервала времени, поэтому задача системы управления состоит в том, чтобы обеспечить ми нимум интеграла этого изменения в течение заданного интерва ла времени. Задачу о минимуме функционала (9.11) традицион но называют задачей Лагранжа.
Задача Майера. В этом случае, согласно условиям (9.9), ми нимизируемым является функционал, определяемый только тер минальной частью (9.7), т. е.
/—ф[х(0), *2]=min.
Например, для системы управления ЛА, описываемой уравне нием
x=fo(x, и, 0.
можно поставить следующую задачу—задачу Майера: опреде лить управление u(/), tx<t<t2 так, чтобы за заданное время полета достичь максимальной дальности при условии, что в конечный момент t2ЛА совершит посадку, т. е. x(f2)=0.
Задачу Майера можно интерпретировать как задачу управ ления по минимуму времени переходного процесса, или как за дачу перевода объекта (процесса) из заданного начального со стояния х,, в желаемое конечное х1г за минимальное время, что обеспечивается вектором допустимого управления u(f).
Проектирование систем управления конечным состоянием основано |
на |
|||||
том положении, что если даны начальные условия для системы, описывае |
||||||
мой дифференциальными уравнениями, то при отсутствии возмущений можно |
||||||
предсказать ее поведение в будущем. Желаемое конечное состояние дости |
||||||
гается непрерывным управлением и |
прогнозом конечных условий. |
Таким |
||||
образом, желаемые конечны значения выходны переменных в системе при |
||||||
водят к требуемы значениям, если |
даже имеются |
возмущения. |
Принцип |
|||
управления конечным состоянием применяют при проектировании, например, |
||||||
систем посадки самолетов, управляемых ракет ит. д. |
Всистеме |
посадки |
||||
самолета прогнозируют и доводят до желаемых значений скорость снижения |
||||||
и высоту в определенный момент времени,соответствующий моменту посадки. |
||||||
Задачу управления конечным состоянием можно |
сформулировать |
как |
||||
задачу определения такого вектора допустимого управления и, при |
котором |
|||||
за данный интервал времени Тсистема переходит из |
начального (хь |
*i) |
в |
|||
такое состояние, при котором одна |
(или некоторая |
совокупность) |
перемен |
|||
ная состояний принимает возможно большее или возможно меньшее значе |
||||||
ния, а остальные переменны состояния имеют фиксированные значения |
в |
|||||
физических допустимых пределах. Иначе говоря, систему управления конеч |
||||||
нымсостоянием проектирую таким образом, чтобыона имела желаемую |
||||||
реакциютолько в один-единственный момент времени, а в остальные моменты |
||||||
се реакция может быть произвольной в физически допустимых пределах. |
||||||
Задача Больца. Сводится к задаче минимизации критерия |
||||||
вида (9.7) при условиях (9.10). Можно показать, что |
задача |
|||||
Больца приводится к задаче Майера [6].
Задача на максимальное быстродействие. Данную вариаци онную задачу не относятк числу классических. Термином «вари ационные» объединяют такие задачи, в которых минимизируе мым функционалом является время, т. е.
(9.12)
при f0{x, и, *) = 1, <р[х(/2), ^1=0.
Предположим, что концы фазовой траектории управляемо го объекта фиксированы. Тогда задачу на быстродействие формулируют следующим образом: определить управление и(/). которое переводит объект из состояния Xi в состояние х2 за минимальное время.