книги / Теория автоматического управления техническими системами

выходе трех параллельно соединенных звеньев при ступенчатом

воздействии go(0 формируется прямоугольная знакопеременная

функция w(t), имеющая в системе

управления

инерционным

объектом в соответствии со вторым законом Ньютона размер­

ность ускорения. Первый

интеграл

от

w(t)

при нулевых на­

чальных условиях представляет собой

треугольную функцию

о(/) —закон

изменения

скорости

движения

инерционного

объекта; второй интеграл от до(£) является

искомой реакцией

x(t) оптимальной по быстродействию системы W0pt(s). Процесс

x{t) —оптимальный в смысле монотонности и минимума значе­

ния времени

переходного процесса

TStt=Tminпри

указанных

ограничениях на значение ускорения w(t).

В период разгона 0<t<Tmin/2 (рис. 7.3), когда ускорение

w=d2x/dt2объекта сохраняет максимально возможное значе­

ние Дотах, переходный процесс по перемещению определяют вы­

ражениями

•«(0=~2wmax^2* о

^ Тт\й/2\|

(7.2)

x(t)=0;

*<0.

J

Переходный процессдля всех значений лс'(0* включая период тор­

можения 7’min/2s^<7\nin, может быть составлен

из следующих

трех парабол

[(рис. 7,4): 1 —опре­

деляется

выражением

(7.2)

для

всех />0;

2 —сдвинута

по оси t

вправо на Тшп/2 и имеет постоян­

ную по значению вторую производ­

ную —2эдтах;

3 —сдвинута вправо

Рис. 7.4. Представление кривой

на 7mmи имеет по модулю значе­

ние второй производной, т. е. штах.

оптимального переходного про­

Выражение

для

оптимального

цесса тремя параболами

переходного процесса

можно

пред­

ставить в виде

•«opt (0= у ^тах*2• 1(*) -

®тах (* - ^ r j ’ 1 ~

+

+|^шох(^-7’т1„)2-1(^-7’т1п),

(7.3)

где 1(/), 1^/—Tjniij и 1(t—Tmln) —единичные

ступенчатые

функции с соответствующими сдвигами. Предел

функции

•«opt (0

\\Шx:0pt (£) =-«opt (00)=

min»

тервале разгона 0</,)a3r<7’min/2 ускорение инерционной нагруз­

ки имеет постоянное

максимальное

положительное значение

+®тах. Переходные

процессы по

скорости v и координате х

определяют выражениями:

Выражение go(0~const характеризует ступенчатое управляю­

щее воздействие, которое нужно приложить к астатической си­

стеме (7.1) с оптимальными характеристиками, для того чтобы

получить переходный процесс вида

(7.3).

Х(%»*■= )

V{t)dt=±-Wmax*2-

На интервале

О

имеем

торможения Tmin/2<tTOpu<Тт1п

ветственно:

^mln

V(ty,TopMS=

^щах^»

^ ^max (0&~ (^maxТт\п/У)

^mln^2

X(*)tтори

^mln

5

■o(t)dt= (wmKTL/8)-wwt1/2.

^mlnI2

Минимальное время TW переходного процесса, соответству­

ющего оптимальной системе (7.1), имеющей оптимальные ча­

стотные характеристики,

зависит от значения

управляющего

ступенчатого воздействия go{t), или начального рассогласова­

ния—см. формулу (7.4). Поэтому оптимальную частоту среза

системы нужно определять

для ступенчатого

управляющего

(кривая 3). Система станет устойчивой и обеспечит заданнуюточность регу­

лирования. Это может быть

реализовано

при

помощи корректирующего

устройства.

АФХ,показанная на рис. 7.5,б (кривая 1) должна соответствовать устой­

чивой систем. Однако система не имеет достаточного запаса устойчивости и

кривая пересекает окружности вещественной круговой диаграммыс боль­

шим значениям индексов Ре. Это означает, что переходный процесс

в та­

кой систем будет колебательным. Уменьшение

передаточного

коэффициен­

та k не может существенно уменьшить склонность системык колебаниям. Но

если при помощи корректирующего устройства скорректировать форму АФХ

так, как это показано на рис.7.5,б (кривая 2),т.е. создавая положительный

сдвиг фазыв интервале частот ©i ...©2. то можно

обеспечить

достаточный

запас устойчивости и качественны показатели системы.

Пусть САР имеет АФХ1-го рода (кривая 1, рис. 7,5, в). Требуется, что­

бысистема не имела установившейся ошибки при подаче на ее вход воздей­

ствия в виде постоянной скорости. Для этого

необходимо, чтобы

АФХ

разомкнутой системыпри частотах, стремящихся к нулю, проходила

вдоль

отрицательного направления

не мнимой, а вещественной оси

(кривая 2),

что достигается введениемв систему дополнительного интегрирующего звена.

Получимсистему с астатизмом2-го порядка, которая не обладает требуемой

устойчивостью.Поэтому необходим скорректировать АФХсистемытак, как

показано на рис. 7,5, в (кривая 3).

способы

коррекции

В автоматике применяют следующие

динамических характеристик САР:

(корректирующее устрой­

1) последовательную

коррекцию

ство включают последовательно с усилительно-преобразующим

устройством и объектом регулирования);

устройство

2) параллельную коррекцию (корректирующее

включают параллельно

усилительно-преобразующему устрой­

ству);

Рис. 7.6. Структурная схема САР с последователь­

ным корректирующим устройством и

корректиру­

ющей обратной связью

функциями ИМ$) и

соединенные элементы с передаточными

Wm(s); последовательного корректирующего устройства (ПКУ)

с передаточной

функцией №d(s); корректирующей обратной

связи (КОС)

с передаточной функцией Z(s), охватывающей

одновременно: можно учитывать лишь некоторые из них.

Преимуществом ПКУ является то, что они могут быть реа­

лизованы в виде простых пассивных

или активных RC-филь­

тров на серийных или заказных микросхемах. Перечислим недо­

статки ПКУ-'

существенно

снижается

1)

эффективность их действия

вследствие непостоянства параметров и характеристик

основ­

хам и шумам.

Теперь перечислим преимущества'КОС:

1)

КОС уменьшают зависимость динамических свойств

САР

при изменении параметров и характеристик элементов,

щим устройством связан с понятием желаемой ЛАЧХ разомкну­

той системы. От этой характеристики зависит качество переход­

ного процесса в пределах заданной области

допустимых зна­

чений первичных показателей ТРег=Тп.пи о.

Использование

данного метода ограничено классом линейных САР и инерцион­

ристик САР, отвечающих требованию получения Ттщв соответ­

ствии с выражением (7.4), сопряжена

со значительными труд­

ностями. Такая реализация часто и не является необходимой,

так как в ряде случаев, по ТЗ на систему, допускаются моно­

тонные переходные процессы, а время

регулирования больше

Ттщ. Множество переходных процессов, соответствующих

Рис. 7.7. Типовая

аппроксимирован­

ная

вещественная

характеристика

Усредненные графики

Ятнп(<и) системы

и

Ошах=

функций Tmax=fi(Pmaх)

max)

приведены

на

рис. 7.8,а,б. Эти функции

не зависят

от порядка

характеристического

уравнения системы, а

приве-

Если вещественная частотная характеристика Р(ш) замкну­

той системы близка по форме к трапецеидальной

(см. рис. 7.7),

то время переходного процесса оценивают неравенством

, >■*рег \ ,

(7.6)

САР с учетом заданных v и k. То есть формирование желаемой

ЛАЧХ начинают с низкочастотной

асимптоты

(объектаили не­

изменяемой части системы). Желаемая ЛАЧХ при

частотах,

меньших первой

сопрягающей частоты, имеет наклон —20v

(в децибелах на декаду), а при частоте ш, равной 1рад/с, име­

ет ординату 20 lg£ (в децибелах).

2. По заданному в ТЗ значению Omax, по графику функции

Отах=/г(Ртах) (см. рис. 7.8,a), a

также по указанным в под­

рисуночной подписи значениям х, %а и Яопределяют

соответ­

ствующее значение Ртах вещественной характеристики замкну­

той системы. Значение |Pminl находят по приближенной формуле

\Рmini Ртах

1.

(7.7)

ТЗ на проектируемую САР при данной постановке задачи

синтеза включает следующие данные: степень астатизма и до­

бротность; допустимое значение

времени

регулирования

Трег maxi допустимое значение (в процентах) перерегулирования

amaxî максимальное ускорение регулируемой величины при за­

данном начальном рассогласовании..

Выбор желаемой ЛАЧХ осуществляют по правилам связи

между ЛЧХ разомкнутой системы и вещественной частотной

характеристикой САР замкнутой системы —см. формулы (6.11),

(6.13) и др.

определения желаемой ЛАХ

может быть, в част­

Порядок

ности, следующим.

астатизма v и до­

1. Исходя из требуемых по ТЗ степени

бротности £=№'(s)|s=o системы, согласно

выражению (7.5),

определяют

(строят) ЛАЧХ объекта или неизменяемой части

мы, реализующей квазиоптимальные переходные процессы, вы­

бирают из соотношения

(flcP<rmax)^

®срopt»

соответствующая

заданному

где

шсР(гтах) —частота среза,

(допустимому) по ТЗ времени

регулирования;

£ocpopt—частота

среза оптимальной, в смысле выражения (7.4), САР:

Шср opt=2/7’mIn.____

оптимального

переходного

Здесь

Тт\п=2

Vgo/o'max —время

процесса.

по

кривой

Гтах=/1 (Ртах)

Частоту среза ооСр(7-тах>находят

при значении Ртах, определенном в п. 2

(см. также рис. 7.8).

где (ùi —сопрягающие частоты, меньшие того значения ш, при

котором определяют значение фазы 0; h и /2—число сопряга­

ющих частот, при которых наклон увеличивается или умень­

шается на 20 дБ/дек.

В формуле (7.8) частоты

сопряжения,

превышающие частоту среза, не принимают во внимание, так

как обычно среднечастотная асимптота желаемой ЛАЧХ зани­

мает значительный интервал частот (порядка декады и более).

Проверку можно также проводить путем

построения фазовой

характеристики, например при помощи шаблонов.

сопрягают с

Среднечастотную

асимптоту желаемой

ЛАЧХ

высокочастотной частью .логарифмической амплитудной харак­

теристики (областью

малых параметров) так, чтобы в том ин­

тервале частот, в котором справедливо неравенство

избыток фазы ч был не менее ^с.

Проверку выполнения этого условия выполняют по прибли­

женной формуле

-(=я+е(ю)=я-^-<7ср- 2 -£-•

(7-10)

г—1 г

где ÿcp —наклон среднечастотной асимптоты

ЛАЧХ

(при на­

клоне, равном —20 дБ/дек, <7=1); т —число сопрягающих ча­

стот Шер, удовлетворяющих условию Шг>0ср.

7.

Строят высокочастотную асимптоту желаемой ЛАЧХ так,

чтобы она мало отличалась от высокочастотной асимптоты не­

изменяемой части

системы. На устойчивость

и качество систе­

мы этот участок ЛАЧХ влияет незначительно.

На этом процедура формирования желаемой ЛАЧХ синтези­

руемой САР завершается.

Если среднечастотная асимптота сопрягается с низкочастот­

ной асимптотой, а также с высокочастотной частью

желаемой

ЛАЧХ, следует

обращать внимание на то, чтобы желаемая