книги / Теория автоматического управления техническими системами
..pdfординату 20lgk, т. e. 46 дБ. Затем выбирают частоту среза желаемойЛАЧХ (ùep.По заданному процентному значению<w и по графику 0miX= =fj(Pm»x) находят Рmax, равное 1,25 отн.ед.,а по графику
ïmn=/i(Лпах) определяют 7’max=3J5n/ci)cp=0,3 с, откуда (®ср)7’тах=39,21/с;
Такимобразом, частота среза желаемой ЛАЧХдолжна |
находиться |
в |
||||
диапазоне 39^toCp^55. |
|
|
|
|
|
|
Частоту среза |
желаемой ЛАЧХвыбирают равной 40 1/с. После этого про |
|||||
водят среднечастотнуюасимптоту желаемой ЛАЧХс наклоном—20 дБ/дек. |
||||||
Затемопределяют |Pmin|=Рт«—1=0,25. На номограмме |
линий равных |
|||||
значенийР(со) |
(см. рис. 7.9) кривые с |
в |
индексам |
1,25 |
и—0,25, т. е. |
|
Рта—1*25и |
Pmin——0,25, вписывают |
прямоугольник, стороныкоторого |
||||
2Lmи 2vo. Врезультате по номограмме определяют значения: Lm»+15 дБ, |
||||||
у-»43°. далее сопрягают низко- и среднечастотнуюасимптоты желаемой |
||||||
ЛАЧХотрезком прямой, имеющимнаклон —40 дБ/дек. |
|
|
|
|||
Используя |
формулу (7.9), находимнаибольшее значение сопрягающей |
|||||
частоты(ù2, при которой ещу>ус. |
|
|
|
|
|
|
Среднечастотнуюасимптоту сопрягают с высокочастотной частьюЛАЧХ |
||||||
Lm[lFo]. На устойчивость системыи на ее качество высокочастотная асим |
||||||
птота влияет незначительно, поэтому для упрощения корректирующего уст |
||||||
ройства сопряжение осуществляю отрезкомпрямой с |
наклоном—40 |
дБ/ |
||||
/дек, а в дальнейшем желаемая ЛАЧХсовпадает с Lm[H70]. Проверку нали |
||||||
чия избытка фазы ус проводят с помощьюформулы(7.10). |
|
|
||||
Построенная желаемая ЛАХможет быть уточнена с использованиемно |
||||||
мограмм, приведенных далее. |
|
|
|
|
|
|
Пример (синтез последовательного корректирующего устройства). Пусть |
||||||
яеиэменяемая часть САР имеет передаточнуюфункцию(7.21) и построена |
||||||
желаемая ЛАЧХ, удовлетворяющая требуемымпоказателям качества |
(см. |
|||||
рис. 7.16). Из |
желаемой характеристики |
Ьш[И7ж] САР |
вычитаю характе |
|||
ристику Lm[tFo] и находят желаемуюЛАЧХпоследовательного корректирую |
||||||
щего контура |
(см. рис. 7.16). По этой ЛАЧХопределяют |
передаточную |
||||
функциюПКУв виде |
|
|
|
|
|
Электрическая схема пассивного корректирующего контура, соответствующая данной передаточной функции, показана на рис. 7.17.
а
Рае. 7.17. Электрический пассивный корректирующий контур
7.6. Номограммы для определения запаса устойчивости, показателей качества и коэффициентов ошибок САР по ЛАЧХ
ЛАЧХ Lm[H7] систем часто можно представить состоящими из следующих основных отрезков (рис. 7.18): CD (средне частотная асимптота) с наклоном —20 дБ/дек, пересекающий
делить четыре основных типа ЛАЧХ. Они имеют низко- и сред |
||||
нечастотные асимптоты с одним и тем |
же наклоном (—20 дБ/ |
|||
./дек) и отличаются друг от друга наклоном в интервале частот |
||||
(toi... cù2) |
(отрезок ВС на рис. 7.18) |
и |
в интервале частот |
|
(оз-- °°) |
(отрезок DE). Передаточные |
функции и наклоны |
||
асимптотических ЛАЧХ в указанных интервалах частот приве |
||||
дены в табл. 7.2. |
|
|
|
|
Каждая из типовых ЛАЧХ (см. табл. 7.2) полностью опре |
||||
деляется четырьмя |
параметрами: передаточным коэффициен |
|||
|
Рис. 7.18. Типовые ЛАЧХСАР |
|||
■ось частот |
в точке, |
соответствующей |
частоте среза юСр; АВ |
(низкочастотная асимптота) с наклоном —20v в децибелах на |
||
.декаду (где v —порядок астатизма); ВС |
с наклоном |
—40... |
... —60 дБ/дек (соединяет низкочастотную асимптоту |
с отрез |
|
ком прямой, пересекающим ось частот); |
DE (при |
высоких |
частотах). Высокочастотная часть ЛАЧХ мало влияет на ка чество системы и в первом приближении может не приниматься во внимание. Поэтому ЛАЧХ можно подразделить на ряд ос новных типов и для каждого из них составить номограммы, по зволяющие связать основные параметры ЛАЧХ с показателями качества САР. Номограммы составлены, для минимально-фазо вых систем и представляют интерес не только для анализа, но и для синтеза корректирующих устройств САР.
Далее рассмотрены лишь типовые ЛАЧХ минимально-фазо вых астатических систем 1-го порядка. При этом можно вы
том, или добротностью, k и сопрягающими частотами оц—\1Ти
|
Передаточны функции W(s) для типовых ЛАЧХ |
|
|||||
Тип |
Передаточная функция |
|
Наклоны, дБ/дек в интервалах |
||||
ЛАЧХ |
0...Ш1ffif.wCD,CD,... <0, ms...+co |
||||||
I |
k (TjS+ I) |
|
-20 —40 -20 |
—40 |
|||
s (7’1s+ l)(7’,s+l) |
|
||||||
II |
k (t2s+ 1)2 |
|
-20 |
-60 |
-20 |
-40 |
|
s(r1s+l)»(7,,s+l) |
|||||||
III |
k (t2s +1) |
|
-20 |
-40 |
-20 |
—60 |
|
s(Tls + l)(rts+l)2 |
|||||||
IV |
k (t.s+ 1)* |
|
—20 -60 -20 |
-60 |
|||
s(7V + l)2(7V-H)* |
|||||||
Каждому типу передаточной функции соответствует своя |
номограмма, |
||||||
позволяющая определять показатели качества, запас устойчивости иточность |
|||||||
системынепосредственно по виду типовых ЛАЧХ, заданных |
параметрами |
||||||
£i; û)cp; ooiAocp; (Оз/Wp. |
|
|
|
|
|
|
|
Для |
астатических САР 1-го порядка эти номограммыприведены, напри |
||||||
мер, в работе [19]; для статических иастатических САР 1-го и2-го порядка |
|||||||
имеются |
специальны альбомы[20]. Аналогичные номограммымогут быть |
||||||
построеныидля других типов ЛАЧХ.Кривые номограммыпредставляюсо |
|||||||
бойзависимости динамических показателей; <т; |
Грег; Шср/Ю; cocpCi; |
сосРгС2и |
|||||
у от относительной сопрягающей частоты(ûi/cùepпри различных фиксирован |
|||||||
ных значениях L\\ со3/соср (где о —перерегулирование, %; Грег—время пере |
|||||||
ходного процесса; у—запас устойчивости по фазе; |
Ci нСг—коэффициенты |
||||||
.ошибки, которые определяют точность системыпри медленно изменяющихся |
|||||||
управляющих воздействиях). Номограммыпостроеныдля значений Lu рав |
|||||||
ных 80; |
70; 60; 50; 40; 30; 20 дБ, изначений Юз/Шср, равных 1; 2; 4; 8. |
||||||
Способ применения номограммдля определения перечисленных динами |
|||||||
ческих показателей, соответствующих какой-либо конкретной |
ЛАЧХ, отно |
||||||
сящейся |
к одному из четырех типов (см.табл. 7.2), заключается в |
следую |
|||||
щем:1) определяют тип рассматриваемой ЛАЧХивыбирают соответствующую |
|||||||
номограмму; |
(ù|/û)ep; |
шз/шер; |
Шернпри |
помощи |
|||
2) находят параметрыЛАЧХL\\ |
|||||||
кривых, приведенных в номограмме, |
определяют |
динамические показатели. |
|||||
Пример. Допустим, что имеется ЛАЧХII типа |
(рис.7.19) с параметрами |
||||||
£—60; ©i/ü)cp=0,04; <вз/е)ср—2; v=l. |
|
|
|
|
|
|
|
Сначала выбирают номограмму для v=l с отметками £=60 иoj3/a»Cp= |
|||||||
=2. На |
осн абсцисс (coj/ooep) отмечают точку |
0,04, ииз нее проводят пер |
|||||
пендикуляр до пересечения с кривыми номограммы. Врезультате получают |
|||||||
искомые |
динамические показатели: <7=45%; ТрШср/10=0,75; о)СрС|=0,025; |
||||||
<|)2=1/^2» 0)3—1/Тз. Однако удобнее пользоваться совокупностью |
|||||||
следующих четырех параметров: ординатой ЛАЧХ U при со= |
=©i; частотой среза ©ср и относительными сопрягающими час тотами û)|/o)cp и 00з/й>ср*
•ИсР2Сг=2,2; у^58°.
Если значения параметров ЛАЧХотличаются от имеющихся в номограмме, то динамические показатели могут быть определеныпо кривымномограммы лри помощи интерполяции.
Рис. 7.19. Определение динамических показателей системыпо номограмме:
а —ЛАХ11типа; б —лист номограмм(кривые; 1—пришсС,; 2—при ti>c*C»; 3-%прио; 4—приГа с/10; 5—приу)
Следует отметить, что номограммычасто можно применять не только в случае передаточных функций (см. табл. 7.2), имеющих кратные полюса и нули, но и в случае передаточных функций, не имеющих кратных полюсов и нулей. Однако необходимо, чтобыпорядок числителя и порядок знаменателя рассматриваемой исоответствующей типовой передаточной функции были одинаковы.
Так, например:
номограммой, построенной для ЛАЧХII типа, можно пользоваться в случае системс передаточными функциям вида
W(s)= |
k (TiS+1)(t4s + 1) |
(7.22) |
s(7’iS+ 1)(7'2s+ I)(7's5+1): |
|
|
виданомограммой III типа —в случае системс передаточными |
функциями |
|
W |
(Tts+1)(Г,s+1) (7V+1): |
(7-23> |
номограммой |
IVтипа —в случае системс передаточными функциями вида |
|
м_____ fe(T,S+ l)(t«S+ l)____ |
(7.24) |
|
W~s{TlS+1)(Tts+1)(Tss+1)(Tts+1)• |
||
Правило |
переходов от передаточных функций (7.22)—(7.24) |
к переда |
точнымфункциямтабл. 7.2 состоит в том, что две соседние постоянные вре мени Ti и 7\+i заменяют двумя одинаковыми постоянными времени, опреде ляемыми по формуле
VTi,Ti+1.
Ошибка в ЛАЧХ, которая получается при замене двух соседних неоди наковых постоянных времени (7\ и 77+j) одной постоянной Ti,i+i, при 1/7<+1<4/Г( не превышает 2 дБ.
Номограммой можно также пользоваться в тех случаях, когда вместо двух апериодических звеньев с одинаковыми постоянными времени имеется одн колебательное звено. Ошибка при этомбудет уменьшаться с убыва ниемкоэффициента затухания |кколебательного звена.
Контрольные вопросы
1. Сформулируйте задачу синтеза корректирующего устрой ства САР. Что представляет собой квазиоптимальная переход ная функция системы?
2. Дайте определение желаемой ЛАЧХ. (Почему при этом можно не учитывать соответствующую ЛФЧХ?)
3. Какова связь между частотной характеристикой разомкну той системы и вещественной частотной характеристикой замкну той САР?
4. Какова последовательность процедур при синтезе после довательного корректирующего устройства? Корректирующей местной обратной связи?
5. Сформулируйте особенности синтеза комбинированного корректирующего устройства (последовательного КУ и КОС).
6. Какие используют аппаратные средства для технической реализации КУ в САР?
7. Какова структура номограммы для определения запасов, устойчивости, показателей качества и коэффициентов ошибок САР?
8. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ
Существенным отличием нелинейных систем от линейных с точки зрения передачи и преобразования сигнала управления является зависимость «мгновенного передаточного коэффици ента безынерционного нелинейного элемента, входящего в со став нелинейной САР, от значения входного сигнала. Эта осо бенность не допускает применения рассмотренных ранее методов расчета линейных САР к нелинейным системам. Впо следних возможно также возникновение специфического авто колебательного режима работы.
В данном разделе рассматриваются специальные методы анализа нелинейных систем, а также методы определения пара метров автоколебаний [10, 20J.
8.1. Нелинейные системы. Типовые нелинейные характеристики
САР, содержащие звенья, динамику которых определяют нелинейными дифференциальными уравнениями, относят к не линейным системам, включающим элементы с типовыми
нелинейными характеристиками, описываемыми зависимостью *ВЫХ f(*Dx)t
где Хвх —входной сигнал; Хвых —выходной.
Статические характеристики типовых нелинейностей приве дены на рис 8.1. Могут быть и различные сочетания этих харак-
*0ш
и
Рис. 8.1. Статические характеристики типовых не линейностей САР:
а—Ллейная двухпоэиционная (однозначная); б—релей ная трехпоэицнонная (однозначная); в —релейная с гис терезисом; г—линейная с насыщением; д—релейная двухпознцнонная (неоднозначная или петлевая); е —ха рактеристика типа «люфт»; ж—характеристика типа «идеальныйдиод» (детектор); э —характеристика типа «модуль»; и—линейная характеристика с зонойнечув
ствительности
теристик. К нелинейным САР относят также и релейные систе мы, содержащие элементы с релейными характеристиками. Мо менты времени, при которых происходят размыкание и замыка ние системы, заранее не известны. Они зависят от внутренних свойств системы. Физические процессы в САР описывают диф ференциальными уравнениями с переменными коэффициентами, но эти коэффициенты —функции регулируемой величины, а не времени t.
Нелинейные САР обычно представляют в виде структурной |
|
схемы (рис. 8.2), для получения которой выполняют следующие |
|
операции: |
|
Линейная |
I I |
Нелинейная |
|
часть |
часть |
системы |
системы |
Рис. 8.2. Структурная схема нелинейной САР
составляют дифференциальные уравнения для всех звеньев системавтоматического регулирования;
проводят линеаризацию тех звеньев, где это допустимо
(в результате звенья будут разделены на линейные и нелиней
ные); линейные звенья объединяют в один блок (линейная часть);
анализируют систему одним из методов нелинейной теории автоматического регулирования.
Для анализа нелинейных систем автоматического регулиро вания в основном применяют методы: фазовых траекторий; при-
пасовызания; гармонической линеаризации; фазовой границы устойчивости и др.
8.2. Метод фазовых траекторий
Фазовая плоскость —это плоскость, на которой по двум координатам хну откладывают какие-либо две переменные, характеризующие динамику САР, например отклонение регули
руемой величины х и скорость: х^у^ \dx)I(dt).
При изображении процесса на фазовой плоскости уравнение
2-го порядка удобно свести к системе двух уравнений 1-го по |
||
рядка: |
|
|
■fr” Л(*.»); |
|
|
%-=/г(х.у). |
|
|
где fi и /2 —в |
общем случае нелинейные функции координат. |
|
Чтобыизобразить процесс на фазовой |
плоскости, исключают |
|
время, для чего |
второе уравнение этой |
системы делят на пер |
вое: |
|
|
dy ft (*, у) |
• |
|
йх ~/, (х, у) |
|
Врезультате получают нелинейное дифференциальное уравне ние, для которого общих методов точного решения не сущест вует. В каждой задаче приходится изыскивать частный метод: решением уравнения будет некоторая функция y=F(x), графи ческое изображение которой на фазовой плоскости называют фазовой траекторией (или фазовым портретом системы регу лирования).
Изображение процесса на фазовой плоскости обеспечивает достаточную наглядность. Однако рассмотрение ограничено только такими системами, динамика линейной части которых может быть описана уравнением 2-го порядка. В тех случаях, когда уравнение системы имеет более высокий порядок, приме няют многолистные фазовые плоскости.
Изображение на фазовой плоскости основных процессов ре гулирования. Рассмотрим фазовые портреты некоторых вре менных процессов.
Рис. 8.3. Периодические 'незатухающие колебания ®САР: а—временная функция х“/(0: б—фазовыйпортрет системы
1. Периодические незатухающие колебания (с постоянными амплитудой и частотой) (рис. 8.3). На фазовой плоскости их изображают в виде некоторой замкнутой кривой или замкнутой фазовой траектории. Каждому периоду колебаний системы соответствует прохождение изображающей точкой М всей кри вой А, В, С, D, Е фазовой траектории. Если колебания сину соидальные, то фазовая траектория имеет вид эллипса (см.рис. 8.3) и ее описывают уравнениями
x(t)=asln(ùti
=—a©cosart,
где <а—2п/Т —круговая частота (здесь Г —период колебаний); |
|
а и аш—полуоси эллипса по осям х и у соответственно. Если |
|
колебания не синусоидальные, то замкнутый контур траектории |
|
отличается от эллипса. |
|
2. |
Затухающий колебательный процесс (рис. 8.4). Его изо |
бражают на фазовой плоскости в виде спиралевидной сходя щейся фазовой траектории. Когда наступит та же фаза колеба-
Рис. 8.4.Затухающий колебательный процесс: |
|
а—функция |
б—фазовыйпортрет системы |
ний, что и в начальный момент времени, точка Мокажется на расстоянии, меньшем, чем хНач.
3. Расходящийся колебательный процесс (рис. 8.5). Его
|
Рис. 8.6. Расходящийся колебательный процесс: |
|
|
а —функция х“7«); 6—фазовыЛпортрет системы |
|
изображают на фазовой плоскости в виде спиралевидной рас |
||
ходящейся траектории. |
(рис. 8.6). Имеют |
|
4. |
Затухающие апериодические процессы |
|
на фазовой плоскости траектории, сходящиеся в |
начале коор- |
|
Рис. 8.6. Затухающие апериодические процессы: |
|||
а-графики:(/—6)функций |
|
]—1,2,...,6; б—фазовые портреты(/'—б') систем |
||
|
|
описываемых функциямиgj=f(t) |
|
|
динат: А—начальные значения функций д |
j~1, 2,...6; |
|||
В|, Вв—максимальные и В3В4 —минимальные значения функ |
||||
ций, имёющих экстремумы; С3 и С6—нулевые значения знако |
||||
переменных функций; В/, Be' и В3', В\ —отображения макси |
||||
мумов и минимумов на фазовой плоскости; С3' и Се —отобра |
||||
жения нулевых значений. |
имеют на фазо |
|||
5. |
Расходящиеся |
апериодические процессы |
вой плоскости фазовые траектории, изображенные на рис. 8.7. Правило построения фазовых траекторий. Фазовые траекто рии строят по заданным уравнениям динамики САР. В верхней
Рис. 8.7. Расходящиеся апериодические процессы:
а—графики (1—4) функциидс((); б—фазовые портреты(/'—4')
половине фазовой плоскости (где у>0) изображающая точка всегда движется слева направо, в сторону увеличения х; в ниж ней половине фазовой плоскости (где у<0)—справа налево. Это правило используют для расстановки стрелок вдоль фазо вой траектории.
На оси х, которая разделяет верхнюю и нижнюю половины фазовой плоскости, у=0, dx(dt=0 (т. е. скорость изменения координаты х равна нулю); фазовая траектория пересекает ось. х под прямым углом. По полученным фазовым траекториям можно судить о динамических свойствах САР.
При анализе фазовых траекторий выделяются особые точки. В этих точках не существует определенного направления каса тельной к фазовой траектории, т. е. имеет место неопределен ность вида
dy_ dx O’"
В особых точках фазовые траектории не пересекаются друг с другом, а сходятся к этим точкам или выходят из них. Особые точки являются точками равновесия системы.
Для нелинейных САР могут быть выделены, например, слу чаи, когда:
1) система имеет элемент с зоной нечувствительности и на сыщением. Статическая характеристика такого элемента изо бражена на рис. 8.1,6. Установившемуся состоянию равновесия на фазовой плоскости соответствует целая область возможных состояний равновесия (рис. 8.8). Особая точка превращается в особый отрезок прямой АВ. Его длина зависит от размера зоны нечувствительности и от насыщения;
2) поведение системы характеризуется расходящимися про цессами, но до определенных пределов. Система неустойчива в «малом», амплитуда расходящихся колебаний ограничена.