книги / Теория автоматического управления техническими системами

Рис. 5.18. Выделение областей устой­ чивости, £>[1], D[2], ДЗ]—области, соответствующие различным значе­ ниямкорией

Контрольные вопросы

1.Дайте строгое определение устойчивости динамической системы (САР) по Ляпунову. Что такое критерий устойчиво­ сти?

2.В чем достоинства и недостатки алгебраических и частот­ ных критериев устойчивости САР?

3.В чем состоит смысл принципа аргумента?

4.Сформулируйте и проиллюстрируйте на примерах частот­ ные критерии Михайлова и Найквиста, используя АФХ.

5.Сформулируйте и проиллюстрируйте частотный критерий устойчивости Найквиста с использованием ЛЧХ.

6.Что такое запасы устойчивости по модулю и фазе? Что они характеризуют?

7.Что такое полоса пропускания системы?

8.Как построить области устойчивости САР в плоскости одного параметра? Что дает проектировщику САР выделение областей устойчивости?

6.АНАЛИЗ КАЧЕСТВА ЛИНЕЙНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ

Задача анализа качества процесса регулирования заклю­ чается в нахождении ряда показателей, характеризующих пе­ реходную функцию системы и называемых первичными показа­ телями качества. Их удобно использовать при составлении тех­ нического задания на проектируемую САР.

В данном разделе рассмотрены методы определения пока­ зателей качества регулирования. Основное внимание уделено

6.1. Методы анализа качества САР

Качество САР или качество регулирования являются обоб­ щенными показателями системы, характеризующими: во-пер­ вых, переходный процесс; во-вторых, статическую точность си­ стемы при некоторых типовых воздействиях; в-третьих, точность

повые (тестовые) воздействия, являющиеся наиболее неблаго­ приятными или характерными для данной САР (например, сту­ пенчатые функции: единичные; дельта-функции; воздействия,

за САР, функционирующих при случайных управляющих и воз­ мущающих воздействиях, будут рассмотрены далее.

Качество регулирования при детерминированных воздейст­ виях можно оценивать: непосредственно, т. е. по эксперимен­

тальным или расчетным кривым переходного процесса в САР; косвенно, т. е. по каким-либо динамическим характеристикам или параметрам системы. Оценки, полученные непосредственно по кривой переходного процесса САР, называют прямыми (пер­ вичными) показателями качества, а оценки, определяемые дру­ гими способами —косвенными показателями.

Вычисление переходных процессов с математической точки зрения сводится к отысканию общего решения неоднородного дифференциального уравнения, описывающего физические про­ цессы в САР при заданных начальных условиях и воздействиях, а также к анализу влияния изменения параметров системы на вид этого решения. Следует отметить, что аналитическое реше­ ние уравнений требует вычислений корней характеристического уравнения и определения произвольных постоянных, связь ко­ торых с конструктивными параметрами системы для уравнений выше 3-го порядка установить трудно. Поэтому применяют при­ ближенные методы определения переходных процессов, не тре­

бующих, так же как и при анализе устойчивости, непосредст­ венного решения дифференциальных уравнений. При анализе качества САР необходимо установить, находится ли переход­ ный процесс внутри области допустимых по техническому зада­ ниюзначений или выходит из нее.

Основные методы определения переходных процессов и ана­ лиза качества линейных САР: 1) частотный; 2) корневого годо­ графа (распределения и траектории нулей и полюсов переда­ точной функции системы); 3) логарифмического корневого го­ дографа; 4) интегральных оценок. Рассмотрим их.

графоаналитическим, не требующим вычисления корней. .При

использовании частотного метода анализа переходных процес­ сов исходными данными могут быть частотные характеристики, которые определяют из эксперимента, без использования диф­

ференциальных уравнений всей системы в целом или отдель­ ных ее элементов. Этот метод позволяет: а) проводить полный анализ динамики, а также решать многие вопросы синтеза корректирующих устройств или регулятора САР; б) учитывать особенность САР, заключающуюся в том, что анализ систем в разомкнутом состоянии обычно проще, чем в замкнутом; в) осу­ ществлять анализ устойчивости, качества, а также переходных процессов и систем любого порядка (как одно-, так и многокон­ турных, содержащих не только сосредоточенные, но и распреде­ ленные параметры); г) решать вопросы анализа и синтеза си­ стем при непрерывно изменяющихся воздействиях.

2. Метод корневого годографа. Основан на связи между расположением нулей и полюсов передаточной функции системы в замкнутом и разомкнутом состоянии и на изучении их пере­ мещения на плоскости s при изменении параметров системы. Если в процессе проектирования САР были получены характе­ ристики переходного процесса, не соответствующие предъявляе­ мым техническим требованиям, то изменением положения кор­ ней характеристического уравнения можно изменить показате­ ли качества. Метод корневого годографа позволяет проанализи­ ровать, как меняются корни уравнения при изменении от -—<»до +оо линейно-входящего параметра системы, и показы­ вает, как нужно изменить эти корни для получения требуемых характеристик.

3. Метод логарифмического корневого годографа. Основан на анализе свойств замкнутой системы по логарифмическим комплексным частотным характеристикам разомкнутой систе­ мы, т. е. характеристикам, построенным для комплексных зна­ чений аргумента s=o+/cù в выражении для передаточной функ­ ции \P(s).

4. Метод интегральных оценок. Использует определенные интегралы по времени от функции регулируемой величины или ошибки. При этом для косвенных интегральных оценок обычно не требуется знания корней характеристического уравнения. Он может быть отнесен к аналитическим методам, хотя во многих случаях требует значительных числовых расчетов. Этот метод эффективен при использовании электронных вычислительных машин.

Из перечисленных методов только частотный позволяет про­ водить оценку прямых (первичных) показателей качества (вре­ мя переходного процесса, значение перерегулирования, число перерегулирований). Остальные методы дают лишь косвенные оценки качества (например, степень устойчивости, показатель колебательности и т. п.).

6.2. Частотный метод определения переходных функций линейных непрерывных САР

щимся с течением времени к постоянному установившемуся значению, можно охарактеризовать при помощи некоторых па­ раметров, называемых первичными показателями качества САР. В частности, при ступенчатом воздействии и нулевых начальных условиях переходный режим системы характеризуется следую­ щими показателями качества (рис. 6.1):

Рис. 6.1. Определение показателей качества САР

а) установившимся значением лгуСт=х(°°) (т. е. статическим отклонением регулируемой переменной x{t), которое определяет статическую ошибку (точность) системы

8уст==ХВх—Хуст, б) временем регулирования ТР(т. е. временем переходного

процесса Тая), которое характеризует быстродействие системы.

Время Гр определим как наименьшее значение интервала вре­ мени tp—to, отсчитываемого от начала приложения воздействия /0до момента tp, после которого

Ix{t)-Xycrl^A»

переходных процессов минимально-фазовых систем, т. е. систем с минимально-фазовыми или «левыми» передаточными нулями

граммного обеспечения ЭВМ.

Связь между частотными характеристиками замкнутой си­ стемы и переходным процессом. Связь между частотным и вре­ менным пространствами имеет в теории автоматического регу­ лирования фундаментальное значение, так как на этой основе

возможно решение различных задач анализа и синтеза систем.

Математической основой для частотного метода определения и анализа переходных процессов является преобразование

Фурье. Оно позволяет получить на основании дифференциаль­

ных уравнений с учетом начальных условий и приложенных к системе воздействий (или с использованием экспериментальных

где xn(t) —нерегулярная часть функции x{t), которая при Н-оо является расходящейся, или периодической, функцией, либо по­ стоянной величиной; R,(a) и Sr(©) —обобщенная вещественная и мнимая частотные характеристики процесса, получающиеся, если преобразование Лапласа для функции X-(s) при s=/© представить в виде

*r(/®)=*r(®)+/S,(®).

Здесь Xr (s) —регулярная часть функции X(s), т. е. когда все полюсы ее расположены в левой полуплоскости и limj:r(9=0.

Формулы (6.1) и (6.2) можно переписать в виде

Если Rr{<ù) совпадает с вещественной частью#(©) выражения X(/со), а 5г((о) —с мнимой частьюS(<o), то обобщенны частотные характеристики определяют следующим выражениями:

R(©)=P(a)i>»(w)-Q(©)Q„(ш)+Рв(©); 5(и)=Р(со)Q,(©)-fQ(со)рв(хо)+Qh(и),

где Р(ы) и Q(<o)—вещественная и мнимая частотные характеристики си­ стемысоответственно; />,(©) и Q«(со) —вещественная и мнимая частотные характеристики воздействия; Рп(<о) и Qn(со)—вещественная и мнимая частотные характеристики начальных условий.

При единичном ступенчатомвоздействии g(t)=l(t) инулевых началь­ ных условиях функциями R((ù) и S(at), входящим в формулы(6.7) и (6.8), являются собственны вещественная />(<в) и мнимая Q(o>) частотные харак­ теристики замкнутой системы. Типовые вещественная Р(а) и мнимая Q(<o) частотные характеристики САР с единичной обратной связьюпоказанына

Рис. 6.3. Типовые вещественная (а) и мнимая (б) частотные характеристики САР с единичной обратной связью

рис. 6.3. Функция x(t) в выражениях (6.7) и (6.8) представляет собой пере­ ходнуюфункциюh(t) системы. Поэтому формулы(6.7) и(6.8) примут вид

Определение вещественной и мнимой частотных характери­ стик замкнутой системы по ЛЧХ разомкнутой системы. Взаим­ ную связь между АФЧХ замкнутой и разомкнутой САР опреде­

Как было показано ранее, АФЧХ разомкнутой системы №(/ю) •может быть представлена соответствующими амплитудной H((ù) и фазовой 0(©) частотными характеристиками следующим образом:

Геометрическое место точек Р(©)=const=РСсогласно (6.14) определяют уравнением

Нг (и) +Н (a)cos 8 (а) _р

(W) +Ш(to) cos 0 (ш) + 1~

Точно так же геометрическое место точек в соответствии с вы­ ражением (6.15)

Номограммы можно построить: в соответствии с выражени­ ем (6.16)—для определения вещественной частотной характе­ ристики замкнутой системы [18, 20]; в соответствии с выраже­ нием (6.17)—для мнимой. Эти номограммы строят в коорди­ натах фаза —амплитуда, т. е. в следующих единицах отсчета: град —по оси абсцисс, дБ —по оси ординат. Параметры Р и Qномограмм—безразмерные. На номограммы наносят точки,, соответствующие значениям амплитудной характеристики L{(ù)] разомкнутой системы (в дБ) и фазовой характеристики 0(g)) (в град) для выбранной частоты ©<, и определяют веществен ную P((ù) и мнимую Q(©) частотные характеристики, соответст­ вующие частоте со,-.

Определение вещественной Р(©) и мнимой Q(co) частотных характеристик замкнутой системы по логарифмическим ампли­ тудной А(ш) и фазовой ср(со) частотным характеристикам замк­ нутой системы. При вычислении переходных процессов в САР в случае, когда возмущающее воздействие может быть приложе­ но в любой точке системы, а также для системы с неединичной обратной связью, вещественную и мнимую частотные характе­ ристики P((ù) и Q{(ù) следует определять по частотным харак­ теристикам замкнутой системы:

Р(а>) пользуются номограммой, вычисленной по формуле (6.18), при определении мнимой частотной характеристики Q(co) —

номограммой, вычисленной по формуле (6.19). Эти номограммы

построены в координатах фаза —амплитуда замкнутой системы Фи LA соответственно. Параметры Р и Qномограмм —без­ размерные.

Имея зависимость LA(<ù) от ф(ш), построенную на кальке в масштабе номограммы, и наложив ее на номограмму, можно

найти вещественную и мнимую частотные характеристики замк­ нутой системы.

Пересечение кривой LA(ш) =/[ф(о))] с кривой номограммы Реили Qe при заданной частоте ш=©, означает, что при со=

щихся при достаточно больших значениях времени t к посто­ янному значению, которое в частном случае может быть нулем.

Рассмотрим задачу вычисления переходной функции (пере­ ходной характеристики) САР, т. е. задачу нахождения переход­ ного процесса как реакции системы на единичное ступенчатое воздействие.

Первый шаг при вычислении переходной характеристики по формуле (6.9) или (6.10) заключается в нахождении веществен­ ной P(<ù) или мнимой Q((ü) характеристики системы. Различные варианты задания и способы определения функций Р(ш) и

ми характеристиками. Метод может быть реализован либо на ЭВМс графическим дисплеем в диалоговом режиме, либо с ис­ пользованием обычных графических средств.

Типовая трапецеидальная частотная вещественная характе­ ристика. Эта характеристика (рис. 6.4) определяется следующи­ ми параметрами: высотой г0; интервалом равномерного пропу­ скания частот ©d; интервалом пропускания частот ©п. Отноше-

ние ©d/©n=x характеризует наклон боковой стороны типовой

Так, например, если r0=5, ©d=15, ©„=20, то x=©d/©„= =0,75; по таблице Мфункций для х=0,75 находим значения