книги / Теория автоматического управления техническими системами
..pdf
|
Рис. 3.28. Кривые отклонений точных |
|
|
||
|
ЛАЧХот асимптотических неустойчи |
|
|
||
|
вого |
колебательного |
звена |
|
|
|
4,=1,0 |
0,8 0J5 0,4 |
о,г è,K=o,i |
|
|
-150 |
V .3 = T = t= fc -L |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
-поV |
|
%о |
|
ю,о |
|
|
|
|
|
Тсо |
|
Рис. 3.29. Семейство ЛФЧХнеустойчивого колебательного звена |
|||||
Характеристики (3.71) и (3.72) приведенына |
рис. 3.30. Сдвиг |
фазы, созда |
|||
ваемый интегрирующим звеном, не зависит от частотыи равен |
(—я/2). |
||||
Дифференцирующее звено |
1-го порядка. ЛАЧХиЛФЧХдифференци |
||||
рующего звена 1-го порядка имеют вид |
|
|
|
||
Lm;(to)==201gVV©2+l; |
|
|
|
(3-73) |
|
0(ш) =arctgT<ï>. |
|
|
|
|
(3.74) |
Если выражения (3.73) и (3.74) сравнить |
с соответствующим |
выраже |
|||
ниям (3.61) и (3.62) для апериодического |
звена, то при т=Т |
они отли |
|||
чаются друг от друга лишь знаком. |
|
|
|
||
Рис. 3.30. ЛАЧХL(«o) и ЛФЧХ0(«со) интегрирующего звена
Следовательно, кривые ЛАЧХи ЛФЧХдифференцирующего звена яв |
|
ляются зеркальным отображением кривых тех же характеристик апериоди |
|
ческого звена относительно оси частот |
(см.рис.3.31). |
Цш),дБ |
в(ш),9 |
|
|
Рис. 3.31. ЛАЧХ!(©) и ЛФЧХ8(ю) |
дифференцирую |
|
||
|
|
щего звена 1-го порядка |
|
|||
|
Дифференцирующее звено 2-го порядка. ЛАЧХиЛФЧХдифференци |
|||||
рующего звена 2-го порядка при k=\ определяют с помощьюформул |
||||||
|
Lm(©)=20 lg V(1—Td2ffla)2+ (2£dTdco)*; |
|
|
(3.75) |
||
|
9 (a»)=arctg |
|
с соответствующими |
(3.76) |
||
ми |
Если сравнить формулы(3.75) и (3.76) |
формула |
||||
(3.65) и (3.66) для устойчивого колебательного звена, то при |
ха=Тк и |
|||||
|
|
они отличаются друг от друга лишь знаком. Поэтому кривые Lm(©) |
||||
и 0(<о) для дифференцирующего звена 2-го порядка могут быть получены |
||||||
как |
зеркальное отображение |
относительно |
оси |
частот соответствующих |
||
кривых |
колебательного звена |
(см. рис. 3.25 |
и |
3.26). Поэтому |
во втором |
|
случае |
при пользовании табл. 3.2 следует изменить знак поправок. |
|||||
|
Запаздывающее звено. Логарифмические частотные характеристики за |
|||||
паздывающего звена определяют с помощьювыражений |
|
|||||
|
Lm((ù)=0; |
|
|
|
|
|
9(<о)=—То©.
Рис. 3.32. ЛФЧХзапаздывающего звена
ЛАЧХзапаздывающего звена совпадает с осьючастот, а ЛФЧХпоказана на рис. 3.32.
При определении логарифмических частотных характерис тик типовых звеньев САР предполагалось, что k=\. Если пе редаточный коэффициент звена кФ\%то, например, для аперио дического звена
Г(/щ)=А/(1+Г/0) и L(co)=201g*-201g V'F<ü*+1.
Таким образом, полученную ранее ЛАЧХ для k=\ следует пе реместить параллельно самой себе на величину 20Ig£ вверх или вниз в зависимости от значения k: если £>1, то вверх (так как 201gÆ>0); если k<\, то вниз (так как 201gfc<0).
Рассмотренные логарифмические частотные характеристики типовых звеньев используют в ряде систем автоматизированно го моделирования при расчете САР и САУ, реализованных в виде пакетов прикладных программ для персональных и уни-
S,iSв(ш),*
Рис. 3. 33. Шаблоныдля построения ЛФЧХапе риодического звена
версальных ЭВМ. Такими пакетами являются, например, СС,
СИАМ, ФАЗЕР и др. [21].
При выполнении расчетов САР с использованием графо аналитических и графических методов, основанных на логариф мических частотных характеристиках, применяют специальные шаблоны. На рис. 3.33 показаны, например, шаблоны для по строения ЛФЧХ и поправки для апериодического звена. Анало гичные шаблоны могут быть получены и для ЛЧХ других динамических звеньев.
3.7. Приближенный способ вычисления и построения логарифмических частотных характеристик одноконтурных систем
Общее выражение для передаточной функции разомкнутой одноконтурной системы можно представить аналогично выра
жению (3.57): |
Т1 |
|
ИД |
|
|
П klП (TiS+ 1) П (t^S2+2t,dltdlS + 1) |
(3.77) |
|
W (s)=^-^------------ -------------. |
||
sv П(Tts+1)п (r^s*+2lklTklS+ 1) |
|
|
где П —знак произведения; v —число интегрирующих звеньев
в прямой цепи системы. |
|
|
|
|
Если обозначить 1лп(ш)=201g| JP(/<o) I, то выражение (3.77) |
||||
можно записать в виде |
|
|
|
|
« |
д |
_____ |
|
|
Lm (си)= 2 1лп£,+У]Lm J/t^cd2+1 |
+ |
|
||
/-1 |
î-i |
|
|
|
jn_ |
a2)2+(2^т„,ш)! - |
|
|
|
+ 2 Lm /(1 - |
|
|
||
P |
|
|
|
|
—vLmû)—2 Lm VT№ +Ï- |
|
|
||
a |
|
|
■ |
(3.78) |
- 2 Lm V{1-ТигТ+(2и,Т„ч>)г |
||||
Выражение (3.78) показывает, что ЛАЧХ одноконтурной систе мы может быть получена в результате суммирования ординат ЛАЧХ типовых звеньев, входящих в ее состав.
Правила построения ЛАЧХ одноконтурной системы:
1) определяют сопрягающие частоты ш,=1/xi; ©2=1/т2; .
... и т. д. и отмечают их вдоль оси частот lg©;
2) проводят низкочастотную асимптоту ЛАЧХ Lm(©), ко торая представляет собой при ©<©i прямую с наклоном,
—20v дБ/дек,
где V—порядок астатизма системы, или число интегрирующих
звеньев.
Эта прямая или ее продолжение при частоте ©=1 должны иметь ординату 201g k (где k= П —передаточный коэффи
циент разомкнутой системы из выражения (3.77)) ; 3) после каждой из сопрягающих частот ©1наклон асимп
тотической частотной характеристики Lm(©) изменяется по сравнению с тем наклоном, который эта характеристика имела до рассматриваемой сопрягающей частоты ©,, в зависимости от того, какому звену принадлежит сопрягающая частота. Наклон изменяется на: —20 дБ/дек, если сопрягающая частота принад
лежит апериодическому звену; —40 дБ/дек в случае колеба тельного звена; +20 дБ/дек в случае дифференцирующего звена
1- |
го порядка; +40 дБ/дек в случае дифференцирующего звена |
|
2- |
го порядка; |
таблиц |
|
4) уточняют вид Lm(©) при помощи кривых или |
|
поправок. |
ЛАЧХ, |
|
|
Следует отметить, что высокочастотная асимптота |
|
т. е. часть ЛАЧХ при частотах, больших наивысшей сопрягаю
щей частоты, должна иметь наклон —20 (п—т) в децибелах
на декаду (где п —порядок знаменателя; т —порядок числи
теля передаточной функции (3.77) разомкнутой системы).
Выражение для ЛФЧХ соответствующей передаточной функ |
|
ции (3.77) разомкнутой системы имеет вид |
|
0(ш)= - V-g-- 2 |
arctg7>- 2 a r c t g + |
+ 2 arctg т,©+ 2 |
arctg2UiXf ^ |
ЛФЧХ одноконтурной системы, так же как и ЛАЧХ, может
быть определена в результате сложения ординат фазовых ха рактеристик типовых звеньев, входящих в ее состав.
Для приближенного построения фазовых характеристик
звеньев удобно пользоваться номограммами и приближенными формулами.
Чтобы построить графики ЛАЧХ и ЛФЧХ при помощи ЭВМ, |
|
по оси абсцисс откладывают логарифм частоты |
©в линейном |
масштабе, в результате чего в отношении lg© |
градуировка |
шкалы вдоль этой оси оказывается равномерной. Разметку оси абсцисс обычно выполняют не по значениям lg©, а по соответ ствующим им значениям самой частоты ©, поэтому градуиров ку шкалы в отношении ©получают неравномерной. При постро ении графиков ЛАЧХ (3.78) по оси ординат откладывают в ли
нейном масштабе увеличенные в 20 раз значения логарифма |
|||||||||
модуля в децибелах, а |
при построении ЛФЧХ (3.79) —значе |
||||||||
ния фазового угла в градусах. |
|
|
|
|
|
||||
ЛАФХ строят |
либо |
на полулогарифмической, либо (чаще) |
|||||||
на миллиметровой бумаге. На последней удобно принять сле |
|||||||||
дующие масштабы: по оси абсцисс: 1дек—50 мм; по оси ор |
|||||||||
динат: 1дБ —2 мм, 1град —1мм. |
|
в логарифмический |
|||||||
Пересчет линейного масштаба оси абсцисс |
|||||||||
выполняют с помощью табл. 3.3. (При |
построении логарифми- |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 3.3 |
|
|
Пересчет линейного масштаба оси абсцисс в логарифмический |
|
|||||||
0), С-1 d,мм|(I). с-1 |
*“ |
к |
d,мм | |
|
d,мм |
с».С"1 d,мм |
|||
1,0 |
0,00 1| 1,6 |
1 |
к |
32,60 |
I 7,50 |
43,70 |
|||
10,20 |
2,25 |
17,60 |
4,50 |
||||||
1,1 |
2,06 |
1,7 |
11,51 |
2,50 |
20,00 |
5,00 |
35,00 |
8,00 |
45,00 |
1,2 |
3,95 |
1,8 |
12,75 |
2,75 |
21,80 |
5,50 |
37,00 |
8,50 |
46,40 |
1,3 |
5,70 |
1,9 |
14,40 |
3,00 |
23,80 |
6,00 |
39,00 |
9,00 |
47,70 |
1,4 |
7,30 |
2,0 |
15,05 |
3,50 |
27,20 |
6,50 |
40,50 |
9,50 |
48,80 |
1,5 |
8,80 |
2,1 |
16,20 |
4,00 |
30,00 |
7,00 |
42,20 |
10,00 |
50,00 |
Обозначения: ©—значение частот по оси абсцисс; d —расстояние по ■осиабсцисс, соответствующее данной частоте.
ческих частотных характеристик при принятых масштабах
удобно пользоваться шаблонами [18, 20].) |
|
|
|
||
Для перевода натуральных чисел в децибелыи наоборот пользуются |
|||||
номограммой (рис. 3.34). |
|
|
|
|
|
Вычислими построимлогарифмические частотные характеристики одно |
|||||
контурной системы(рис. 3.35). |
|
|
|
|
|
Пусть необходим построить логарифмические частотные характеристи |
|||||
ки одноконтурной САР, имеющей передаточнуюфункциютипа (3.77): |
|
||||
-, |
______20 (35+ I)2 |
|
|
|
|
w{S)~s(10s +1)* (0.2s+1)(0.04s+1)* |
бумаге, |
которую подготав |
|||
Построение выполняют на миллиметровой |
|||||
ливают соответствующимобразом. |
|
|
|
|
|
Определяют сопрягающие частоты, обратные по значениюпостоянным |
|||||
времени системы, с-1: |
|
|
|
|
|
м,=1/10=0,1; ©2=1/3=0,33; |
|
|
|
|
|
<03=1/0,2=5; ©4=1/0,04=25. |
|
|
|
|
|
Сопрягающие частотыотмечают на оси частот. |
|
|
которая |
имеет |
|
После этого строят низкочастотнуюасимптоту ЛАЧХ, |
|||||
наклон —20 дБ/дек, так как система является |
астатической 1-го порядка |
||||
(число интегрирующих звеньев v=l). Эта прямая должна быть проведена |
|||||
так, чтобыее продолжение при частоте ©=1 |
имело |
ординату 20 lg |
|||
=26 дБ. |
|
|
|
апериодическим |
|
Далее, ввиду того что частота ©i принадлежит двум |
|||||
звеньям, наклон асимптотической ЛАЧХизменяют на —40 дБ/дек. Винтер |
|||||
вале ©|...©2асимптотическая ЛАЧХимеет наклон —60 дБ/дек. При часто |
|||||
те ©=ш2начинает влиять эффект двух дифференцирующих звеньев с оди |
|||||
наковыми постоянными времени. Поэтому наклон асимптотической |
ЛАЧХ |
||||
изменяют на +40 дБ/дек и в интервале <Ог—“з этот наклон делают равным |
||||
—20 дБ/дек. При частотах, больших о)3, вследствие |
влияния |
апериодического |
||
эвена с постоянной времени Тх=0,2 с наклон |
становится |
—40 дБ/дек, а |
||
для û)>(ù4 асимптотическая ЛАЧХбудет иметь наклон —60 дБ/дек. |
||||
На рис. 3.35 приведенытакже кривые поправок для соответствующих |
||||
типовых звеньев. Их суммирование с асимптотической характеристикой дает |
||||
точнуюЛАЧХразомкнутой системы. Тамже |
приведеныпостроенны по |
|||
шаблонамфазовые характеристики типовых звеньев, |
входящих в систему |
|||
0(Cû)«I, 8(û))d, 0(û))nj, 0(û))a4, 0(û>)H. |
|
|
|
|
ЛФЧХвсей системыполучают путем суммирования ЛФЧХ типовых |
||||
звеньев этой системы. |
|
асимптота ЛАЧХимеет |
||
Следует отметить, что здесь высокочастотная |
||||
наклон, дБ/дек: —20(n—m) =—20(5—2) =—60, где |
т—порядок числите |
|||
ля; л—порядок знаменателя передаточной функции разомкнутой системы. |
||||
ЛФЧХ при частоте, стремящейся к |
бесконечности: |
|||
ЛАЧХ разомкнутой САР может быть разбита на следую
щие три характерных участка (рис. 3.36).
1. Область низких частот. Этот участок находится а облас ти частот, меньших первой сопрягающей частоты. Вид ЛАЧХ
здесь определяет порядок астатизма и статическую точность системы. Для статических систем ЛАЧХ представляет гори зонтальную прямую, отстоящую от оси частот на 201g k, для
ту 201g k. Если система имеет астатизм v-порядка, то наклон1 прямой должен быть —20 v дБ/дек.
2. Область средних частот. Вид ЛАЧХ в этой области опре деляет в основном запас устойчивости и качество САР. Вэтом; интервале находится частота среза системы шСр, характеризу ющая время переходного процесса при достаточных запасах устойчивости. Область средних частот заканчивается частотой
©а.3. Область высоких частот (gïb...°°). Этот участок может быть назван интервалом малых параметров. Он содержит соп рягающие частоты, пренебрежение которыми не оказывает су щественного влияния на вид логарифмической характеристики в интервале средних частот, т. е. на динамику системы.
3.8. Преобразование структурных схем САР
Правила преобразования структурных схем облегчают опре деление передаточных функций сложных САР и дают возмож ность привести многоконтурную систему к эквивалентной одно контурной.
Пример I. Пусть система состоит из двух последовательно включенных элементов с передаточными функциями W:(s) и №2(s) (рис. 3.37). Первый на
X
1 t—
1----(7/5;K
-------Hüb
Рис. 3.37. Пример эквивалентного преобразования структур ной схемыСАР
этих элементов охвачен рядом параллельных обратных связей с передаточ |
||||||
нымифункциям Z^s), Z2(s),..., Zn(s). |
|
параллельно соединенных |
||||
Так как передаточная |
функция |
нескольких |
||||
элементов может |
быть представлена |
как |
сумма |
передаточных |
функций |
|
этих элементов, то |
схема на рис. 3.37,а может быть преобразована |
в схему |
||||
на рис.3.37,б, где |
|
|
|
|
|
|
Z(s)s=Z1(s)+Z2(s)+...+Z„(s). |
tF.(s), |
охваченного обратной |
связью |
|||
Но передаточная функция |
элемента |
|||||
2(s),имеет вид |
Wrjs) |
|
' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Wn (*)=l+Wl{s)Z(s) • |
|
|
|
|
||
или |
|
|
|
|
|
|
e _______ |
wi(s) |
_____ _ |
|
|||
WU(S): 1+Wl (s) [z,{s)+ Za (S)+ ... +Zn (S)J' |
|
|||||
Такимобразом, двухконтурная система заменяется одноконтурной, ко |
||||
торая состоит |
из последовательного соединения элементов Wu(s) |
и lvj(s) |
||
(рис, 3.37,в). |
Передаточная функция |
системыс разомкнутой |
обратной |
|
связьюимеет вид: |
______ |
Wl (s) Ws (s)_______ |
|
|
W(s)=Wu (s) W2(s)—j j_Wi(s) [Zj(s)+z,(S+ ...+Za (s)* |
||||
Пример 2. Схема |
многоконтурной |
(четырехконтурной) САР |
показана |
|
на рис. 3.38,а. Передаточная функция |
î^«(s) элемента ^(s), охваченного |
|||
отрицательной обратной связьюZA{s) |
|
|
||
|
WA(s) |
|
|
|
w«(s)=l+W4(s)Zt(sr
При этомчетырехконтурная система может быть сведена к трехконтурной систем (рис.3.38,6).
Далее последовательно соединенны структурные элементыс передаточ ными функциям W3(s) иWA(s), охваченны обратной связьюZ3(s), могут быть заменены эквивалентным структурным элементом с передаточной функцией
33( ,_ 1+г,(з)Гз(з)1Гм(э)*
или
w (s)_______ Ws(s)WA(s)______
33''}~1+ZA(s) WA(s) +Z, (s) Wt (s) WA(s)'
Вэтомслучае трехконтурнуюсхему можно свести к двухконтурной |
|
схем (рис. 3.38,в), которая в своюочередь может быть приведена к одно: |
|
контурной схем (рис. 3.38,г). |
|
Для схемы, показанной на рис. 3.38,г, передаточная функция |
|
W»м |
W*(s)Wat(s) |
t^S)~l + Zi(s)Wi{5)Wi3(s)- |
|
_ |
. W2(5) Ws (s) WA(s)___________ |
1+Z4(s) WA{s) +Z, (s) W(s) WA{s)+Zt(s) \ХГг (s)W3(s)WA{s)'
Передаточная функция всей системыс разомкнутой главной обратной •связьюимеет вид
W(s)=Z1(э)\Г,(s)Wtî(s)=
_________ 2i (*) (s) Wj(s) Wt(s) WA(s)________
1+ZA(s)IF4(s)+Z,(s) Wt(s) WA(s)+Z2(s) Wi (s) W3(s)WA(s) * Передаточная функция системыв замкнутом состоянии