книги / Теория автоматического управления техническими системами
..pdfДля устойчивости системы корни должны леремежаться и быть вещественными, а сумма корней должна быть равна по рядку уравнения п.
На рис. 5.8 при п—4 изображены характеристические кривые, соответствующие устойчивой системе, а на рис. 5.9 —неустой чивой системе.
Рис. 5.8. Вещественная |
и |
мнимая |
Рис. 5.9. Вещественная имнимая |
|||
части кривой D(j<ù) |
устойчивой |
части кривой D(ja>) |
неустойчивой |
|||
САР (п=4) |
|
критерий |
САР (п=4) |
|
||
Амплитудно-фазовый |
устойчивости |
(частотный |
||||
критерий устойчивости |
Найквиста-^Михайлова). |
Этот |
крите |
|||
рий, основанный на |
рассмотрении |
частотных характеристик |
||||
разомкнутых САР, был впервые доказан Найквистом приме |
||||||
нительно к ламповым усилителям с обратной связью и введен |
||||||
Михайловым в теорию |
автоматического регулирования. |
Дан |
||||
ный критерий, как и критерий Михайлова, вытекает из прин |
||||||
ципа аргумента. |
|
|
|
|
устойчивости |
|
Для вывода амплитудно-фазового критерия |
||||||
рассмотрим вспомогательную функцию ф(/ср), которая |
связа |
|||||
на с частотной характеристикой разомкнутой системы W(jv) |
||||||
соотношением |
|
|
|
|
|
|
ф(/а>)= l+W(j(ù).
Частотная характеристика разомкнутой системы W(ja>) может быть выражена через полиномы числителя Мр(/©) и знамена теля £„(/©) разомкнутой системы:
W(j©)= Afp (/©) |
|
||
Тогда |
Dp(jiù)+ MpU(û) |
Р(/<д) |
|
Ф(/<■>)= |
|||
DP(M |
~~DpU*Y |
||
Знаменатель функции ф(/©) представляет собой характе ристическую кривую разомкнутой системы, а числитель —ха рактеристическую кривую замкнутой системы. Предполагает ся, что разомкнутая система устойчива. Устойчивость разомкну той системы можно установить без каких-либо вычислений не посредственно по структурной схеме системы. Например,
разомкнутая система, состоящая из устойчивых звеньев и не содержащая обратных связей, заведомо устойчива.
Если разомкнутая система устойчива, то изменение аргу мента при возрастании частоты (о от 0 до +00 будет
AargDp(ycû)=/i-|-,
0<©< оо,
где п —степень характеристического уравнения разомкнутой
системы £>р(Л)=0 (она совпадает со степенью характеристи |
||||||
ческого уравнения замкнутой системы, так как в |
реальных си |
|||||
стемах степень числителя передаточной функции |
не |
может |
||||
превосходить степени знаменателя). |
|
©от |
0 до |
|||
Изменение аргумента £>(/©) при возрастании |
||||||
-fcc в общем случае: |
|
|
|
|
||
Aarg£>p(yco)=rc4p |
|
|
|
|
||
0<©< оо, |
|
|
|
|
|
£>(Я) = |
где п —число корней характеристического уравнения |
||||||
=0, лежащих в правой части комплексной плоскости. |
|
|||||
Изменение аргумента функции |
|
|
|
|
||
D Ца>) |
|
|
|
|
|
|
ф(/©)= ДрС/ю) |
от 0 до + оо |
равно разности"изменений |
||||
при возрастании |
о |
|||||
аргумента £>(/©) и |
£>р(/©), т. е. |
• |
. / |
^ |
|
|
A arg ф(/(!))= A arg Z)(y©)—Aarg £> '(у©)= |
|
|||||
0<(|)<ОО |
0<©<ОО |
0<(Ù<OQ К |
|
|
||
= {п -2т)\-п^= -тп .
Система будет устойчивой, если т —0, т. е. если Aargç(/©)=0.
0<©<оо
Вектор ф(/©) опишет угол, равный нулю, лишь в том случае, когда его годограф не охватывает начало координат (рис. 5.10); точка Аотстоит от начала координат на единицу. От этой кривой можно перейти к амплитудно-фазовой харак теристике (АФХ), построенной по выражению №(;©) на плоскости Ù[(ù)jVfa), если сместить эту кривую на единицу влево.
В плоскости W(joa) начало вектора <р'(/ш) находится в точ ке (—1; / 0), а конец вектора при изменении ©скользит по АФХ. Изменение аргумента ф(/©) равно нулю, если точка (—I; / 0) будетнаходиться вне АФХ (рис, 5.10, б).
а —годографвектора Ф(/м); б —соответствующийему годографвектора W(/ш)
Амплитудно-фазовый критерий устойчивости формулируют следующим образом: САР будет устойчивой, если АФХ W(j со) не охватывает точки с координатами (—1; j 0).
При рассмотрении многоконтурных систем, имеющих мест |
||||
ные обратные связи, а также систем, содержащих неустойчи |
||||
вые звенья, разомкнутая система может оказаться неустойчи |
||||
вой. Для такой |
разомкнутой системы возможность экспери |
|||
ментального определения АФХ исключается, однако эта харак |
||||
теристика может |
быть |
построена |
по уравнениям системы и |
|
по ней можно судить об устойчивости системы. В этом случае |
||||
изменение аргумента Dp(j<ù) при |
возрастании ©от 0 до |
+оо: |
||
Лarg £>р (у©)= (п- 2р)•£» |
|
|
||
где р —число корней |
характеристического уравнения |
разо |
||
мкнутой системы, лежащих в правой части комплексной плос |
||||
кости. |
|
|
|
|
Если замкнутая система устойчива (р=0), то на основании |
||||
принципа аргумента |
|
|
|
|
Aarg D (/©)= я-§-, |
|
|
|
|
0<(ù<ù) |
z |
|
|
|
следовательно, |
|
|
|
|
A arg ф (/'©)= Д arg D (у©)—Aarg £)р(у©)= |
|
|||
0<со<оо |
0<са<оо |
0<ш<оо |
|
|
=Л-g-—(л—2р)-~2—ря—-j-2я.
САР будет устойчивой, если АФХ охватывает точку (—1, j 0) в положительном направлении р/2 раз. При р—0 получится прежний результат.
На практике удобнее пользоваться следующей формулиров кой критерия устойчивости, исключающей необходимость не посредственного подсчета изменения аргумента: изменение ар гумента ф(/со) при возрастании ©от 0 до +оо будет равно ну лю, если число переходов АФХ W(fa) через отрезок действи тельной оси (—оо ... —1) из верхней полуплоскости в ниж нюю и из нижней в верхнюю одинаково. Это изменение аргу-
мента будет равно ±рп, если разность между ними равна dtp/2. Переход Щ/©) (с возрастанием ш) из верхней полу плоскости в нижнюю считается положительным, а из нижней
вверхнюю —отрицательным.
Вокончательном виде амплитудно-фазовый критерий устой чивости можно сформулировать следующим образом: САР бу дет устойчивой, если разность между положительными и от рицательными переходами АФХ отрезка действительной оси (—со...—1) равна р/2, где р —число корней характеристи ческого уравнения разомкнутой системы с положительной ве щественной частью.
Следует отметить, что если №(/©) при ©=0 начинается на отрезке действительной оси (—оо ...—1), то считается, что U?7(/со) при ©—Осовершает половину перехода. В частном случае, когда р=0 (что соответствует устойчивой или нейтраль но-устойчивой разомкнутой системе), система будет устойчи вой, если разность между положительными и отрицательными
равна нулю.
Пример. На рис. 5.11 изображена АФХразомкнутой САР. Вточках ее перехода через участок действительной оси (—оо ..,—1) ставят стрелки в сторону возрастания сои определяют разность между числом стрелок, на
правленных вверх и вниз. Для АФХна рис. 5.11 разность между положи тельными иотрицательными переходами равна единице (2—1= 1). Если разомкнутая система неустойчива и р—2, то замкнутая система будет устойчивой.
Таким образом, критерий устойчивости Найквиста—Михай лова позволяет по годографу АФХ разомкнутой системы су дить об устойчивости САР с обратной связью (замкнутой си стемы). Критерий может быть использован и в тех случаях, когда дифференциальные уравнения системы (или отдельных ее звеньев) не известны, но расчетчик располагает соответ ствующими экспериментальными частотными характеристика
ми. Кроме того, критерий дает возможность исследовать устой чивость системы не только с сосредоточенными, но и с распре деленными параметрами, а также позволяет связать исследова ние устойчивости с последующим анализом качества.
5.5. Анализ устойчивости одноконтурных систем автоматического регулирования по их частотным характеристикам
АФЧХ САР в зависимости от пересечения с вещественной |
|||||||
осью относительно критической точки с координатами (—1; /0) |
|||||||
можно подразделить на два ти |
|
||||||
па: 1-й, когда все точки пересе |
|
||||||
чения АФЧХ |
|
с |
вещественной |
|
|||
осью |
расположены |
справа |
от |
|
|||
критической |
точки |
|
(кривая |
1, |
|
||
рис. 5.12); 2-й, когда все точки |
|
||||||
пересечения |
АФЧХ с |
веществен |
|
||||
ной осью расположены как сле |
|
||||||
ва, так и справа от критической |
|
||||||
точки |
(кривая 2, рис. 5.12). |
|
|
||||
В |
системах |
1-го |
типа увели |
|
|||
чение |
передаточного |
коэффици |
|
||||
ента |
К выше |
его |
критического |
Рис. 5.12. Амплитудно-фазовые |
|||
значения приводит |
к |
нарушению |
|||||
устойчивости, |
а уменьшение |
ни |
характеристики 1-го и 2-го типа |
||||
же критического —к |
стабилизации |
системы. Следует отметить, |
|||||
что критическим называют то значение передаточного коэффи |
||
циента |
К, при котором АФЧХ проходит |
через критическую |
точку |
(—1; /0), т. е. система находится |
на границе устойчи |
вости. |
|
В системах 2-го типа при увеличении К выше его критиче |
|
ского значения |
система может превратиться из неустойчивой |
в устойчивую, а |
при уменьшении —из устойчивой в неустойчи |
вую.
На основании амплитудно-фазовых критериев устойчивости могут быть сформулированы требования, которым должны удовлетворять логарифмические частотные характеристики разомкнутой системы для того, чтобы она была устойчива в замкнутом состоянии.
Если система имеет АФЧХ 1-го типа, то она устойчива в слу чае, когда всем точкам АФЧХ, начиная с ©=0, вплоть до точ ки пересечения с окружностью единичного радиуса, соответст вуют значения фазы 0, большие, чем (—л). Точке пересечения АФЧХ с окружностью единичного радиуса соответствует точка пересечения ЛАЧХ L(o) с осью частот (так как lgl=0). По этому для того, чтобы система, устойчивая в разомкнутом со стоянии и имеющая АФЧХ 1-го типа, была устойчива и в зам кнутом состоянии, необходимо и достаточно, чтобы при всех
частотах, при которых ЛАЧХ положительная, т. е. L(©)>О, значения фазы 0(©) не превышали (—я). На рис. 5.13,а при ведены характеристики устойчивой и неустойчивой систем соот ветственно.
Если система, устойчивая в разомкнутом состоянии, имеет АФЧХ 2-го типа, то для того, чтобы она была устойчива в замкнутом состоянии, необходимо и достаточно, чтобы разность между числом положительных (сверху вниз) и отрицательных
Рис. 6.13. Логарифмические частотные характеристики САР: а—устоАчнооП; б—неустойчивой
(снизу вверх) переходов АФЧХ отрезка действительной оси (—оо ... —1) была равна нулю. Но в точках пересечения АФЧХ отрезка (—оо...—1) ЛАЧХ L(©) положительна, а фазовая характеристика 0(ю) пересекает прямую (—я) снизу вверх (положительный переход) или сверху вниз (отрицательный пе реход). Поэтому для того, чтобы система, устойчивая в разомк нутом состоянии, была устойчива в замкнутом состоянии, не обходимо и достаточно иметь разность между числом положи тельных и отрицательных переходов фазовой характеристики
0(ш) и прямой (—я), равную нулю при тех значениях ©, для которых ЛАЧХ L((ù) положительна.
Если ЛЧХ разомкнутой системы имеют вид, изображенный на рис. 5.14,а (разомкнутая система устойчива или нейтрально устойчива, т. е. имеет полюс в начале координат), то замкнутая система будет такжеустойчива.
Если CÀP в разомкнутом состоянии неустойчива и харак теристическое уравнение имеет р корней в правой полуплоско сти, то для устойчивости системы в замкнутом состоянии необ ходимо и достаточно, чтобы разность между числом положитель ных и отрицательных переходов АФЧХ на отрезке (—оо ... —1) составляла р/2. Поэтому для устойчивости замкнутой системы, характеристическое уравнение которой в разомкнутом состоя нии имеет р корней в правой полуплоскости, необходимо и до статочно, чтобы число положительных переходов между фазо вой характеристикой 0(со) и прямой (—я) превышало на р/2
число отрицательных переходов при положительных значениях ЛАЧХ.
На рис. 5.14,6 приведены ЛАЧХ, соответствующие системе неустойчивой в разомкнутом состоянии, если р=2. Если харак теристическое уравнение этой системы имеет два корня с по-
Рис. Б.14. ЛЧХразомкнутых систем, устойчивых в замкнутом состоянии:
а —число корнеЛв правоПполуплоскостиР=0; б—число корнеПо правоЛполуплоскостиЯ—2
ложительной действительной частью (р—2), то такая система будет устойчивой в замкнутом состоянии, так как разностьмежду числом положительных и отрицательных переходов рав на единице.
Для анализа устойчивости по логарифмическим частотным |
||||
характеристикам следует: определить |
и |
построить ЛАЧХ и |
||
ЛФЧХ системы; найти интервал частот, в котором ЛАЧХ по |
||||
ложительна [Z,(со) >0]; подсчитать число |
пересечений |
в |
этом |
|
интервале частот ЛФЧХ 0(a) с прямой |
(—я) снизу вверх |
(+) |
||
и сверху вниз (—). Если разность между числом точек пересе |
||||
чения, отмеченных знаком «+», и числом точек пересечения, от |
||||
меченных знаком «—», равна значению р/2, то система устойчи |
||||
ва; если какому-либо другому значению, то система неустойчи |
||||
ва. В случае астатических систем при подсчете числа точек пе |
||||
ресечения необходимо учитывать точку пересечения (или каса |
||||
ния) амплитудно-фазовой характеристикой отрезка |
(—оо ... |
|||
...—1), получающуюся при бесконечно |
малых значениях ш. |
|||
5.6. Запасы устойчивости систем по модулю и фазе
Устойчивость замкнутой САР зависит от расположения го дографа W(j(ù) разомкнутой системы относительно критической точки с координатами (—1; / 0). Чем ближе он к критической точке, тем ближе замкнутая система к границе устойчивости.
Для устойчивых систем удаление годографа Щ/ю) от кри |
||||||||
тической точки (—1; / 0) характеризуется |
запасом |
устойчиво |
||||||
|
сти по модулю и фазе (рис. 5.15). |
|||||||
|
Минимальный |
отрезок |
действи |
|||||
|
тельной |
оси Л, характеризующий |
||||||
|
расстояние |
между |
критической |
и |
||||
|
ближайшей |
точкой |
пересечения го |
|||||
|
дографа |
W(j(ù) |
с |
действительной |
||||
|
осью, называют |
запасом устойчи |
||||||
|
вости по |
модулю. |
Минимальный |
|||||
|
угол у» образуемый радиусом, про |
|||||||
|
ходящим |
через |
точку |
пересечения |
||||
Рис. 5.15. Запасыустойчивости |
годографа |
W{j<ù) |
с |
окружностью |
||||
единичного |
радиуса |
(с |
центром |
в |
||||
САР по модулюифазе |
начале координат) и отрицательной |
|||||||
частью действительной оси, называют запасом |
|
устойчивости |
||||||
до фазе. Система обладает требуемым |
запасом |
устойчивости, |
||||||
если она, удовлетворяя условию устойчивости, имеет значения модуля характеристического вектора №(/©), отличающиеся от единицы не менее чем на заданное значение h (запас устойчи вости по модулю), и угол поворота или фазу, отличающуюся от ( —л) не менее чем на заданное значение у. Амплитудно фазовые характеристики систем, обладающие запасами устой чивости по углу или по фазе (рис. 5.16), не должны входить в область I—I, II—II комплексной плоскости.
Вслучае применения для анализа устойчивости логарифми ческих частотных характеристик (рис. 5.17) запасу устойчиво-
Рис. 5.16. Зона устойчивости САР на |
Рис. 5.17. |
Определение |
запасов |
комплексной плоскости |
устойчивости САР по ЛЧХ |
||
•сти системы по модулю соответствует отрезок 1=20 lgh при |
||
том значении частоты, |
при котором |
фазовая характеристика |
6(ш)=—я. Относительно ЛЧХ можно говорить и о запасах |
||
устойчивости по модулю |
(/i и h), соответствующих частотам ©i |
|
и ©2- Запасу устойчивости системы |
по фазе у соответствует |
|
значение угла, превышающее значение фазовой характеристики |
||
над линией —я при частоте среза шСр |
(см. рис. 5.17). |
|
|
5.7. |
Определение областей устойчивости |
|
||
Критерии устойчивости позволяют выяснить, |
устойчива ли |
||||
САР, если |
все |
ее параметры |
(постоянные времени, коэффи |
||
циенты усиления и др.) заданы. Часто на практике задают все |
|||||
параметры |
системы (кроме |
одного или двух, |
которые |
могут |
|
изменяться |
в некоторых пределах) и определяют, при |
каких |
|||
их значениях система будет устойчивой [2]. |
|
|
|||
Для решения этой задачи необходимо многократно повто |
||||||||
рять построение годографа Михайлова или АФХ либо, если |
||||||||
пользоваться критерием устойчивости Гурвица, проводить ана |
||||||||
лиз сложных и громоздких выражений. Области устойчивости |
||||||||
в плоскости двух действительных параметров |
системы |
были |
||||||
впервые введены И. А. Вышнеградским. |
|
|
|
|
|
|||
Пусть в характеристическом уравнении |
|
|
|
(5.14) |
||||
я«Ял+ап~\^п~ + . • • 4-я,Я+Яо=0 |
|
|
|
|||||
все коэффициенты, кроме двух |
(например, аоияп), определены. При |
неко |
||||||
торых фиксированных значениях Яоиа„ уравнение (5.14) имеет на комп |
||||||||
лексной плоскости К корней, лежащих слева, ип—Ккорней, лежащих спра |
||||||||
ва от мнимой оси. Изменение в определенных пределах значений коэффи |
||||||||
циентов ао |
иапнс вызывает |
изменения числа корней, расположенных сле |
||||||
ва исправа от мнимой оси в плоскости корней. Поэтому на |
плоскости |
а0 |
||||||
иа„ можно выделить такуюобласть, каждая точка которой |
|
определяет |
||||||
многочлен |
(5.14), также имеющий Ккорней, лежащих |
слева, ип—Ккор |
||||||
ней, лежащих справа от мнимой оси. Эту область обозначимчерез D(K). |
||||||||
Число |
К может иметь любое целое значение, ив плоскости а0, а„ мож |
|||||||
но указать области D(K), соответствующие разнымзначениямК. Напри |
||||||||
мер, если характеристическое уравнение имеет третьюстепень (л=3), |
то |
|||||||
могут быть указаны области D[0], D[l], D[2] иD[3], Область D[3] будет об |
||||||||
ластьюУстойчивости в пространстве |
коэффициентов. |
Если не |
существует |
|||||
области D[3], то это значит, что при любых значениях неопределенных ко |
||||||||
эффициентов (я0и я„) ипри |
заданных значениях остальных |
коэффициен |
||||||
тов уравнение не может иметь трех корней с отрицательной действительной |
||||||||
частьюслева от мнимой оси, т. е. система не может быть устойчивой. |
|
|||||||
При трех неопределенных коэффициентах, например при а0, at и а„, |
||||||||
следует рассматривать трехмерное пространство с осями координат ао, at |
||||||||
ияп. При |
большем числе коэффициентов приходится рассматривать |
много |
||||||
мерное пространство коэффициентов иобласть D[K] выделяется |
гиперпо |
|||||||
верхностью. Такое разбиение пространства коэффициентов называют D-раз- |
||||||||
бнением. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть Ккорней полинома |
|
|
|
|
|
|
|
|
fln^n+fln_iXn-1+ ... +Я|Я+Яо=0 |
|
|
коэффициен |
|||||
лежат слева от мнимой оси. |
Если плавно изменять значения |
|||||||
тов flj, то корни могут перейти в правуюполуплоскость. Этот |
переход |
мо |
||||||
жет осуществляться либо через мнимуюось, либо через бесконечность при |
||||||||
значении параметров, обращающих в нуль коэффициент я0. |
|
|
|
|
||||
Переход в пространстве D-разбнения соответствует в плоскости корней |
||||||||
переходу корней через мнимуюось. Отсюда следует метод определения |
||||||||
границыD-разбиния, которую определяют заменой в исследуемомполиноме |
||||||||
Яна ja>имогут построить изменениемзначения юот —оо до |
+оо, т. е. |
|||||||
граница .D-разбиения есть отражение мнимой оси плоскости |
корней |
на |
||||||
пространство коэффициентов характеристического уравнения. |
|
|
|
|
||||
Аналогичным образом можно построить D-разбненнс пространства лю |
||||||||
бых параметров, от которых |
зависят |
коэффициенты |
характеристического |
|||||
уравнения |
(например, постоянных времени икоэффициентов |
усиления |
си |
|||||
стемы). |
|
|
|
|
|
|
|
|
Построение области устойчивости в плоскости одного комплексного па раметра. Втомслучае когда необходим исследовать влияние на устойчи вость только одного параметра (при заданных значениях других парамет ров), удобно ввести вместо неизвестного параметра комплекснуювеличину, вещественная часть которой равна этому параметру.
Для определения влияния, нащример параметра к, характеристическое уравнение выражают относительно этого параметра k, т. е. приводят к виду
QW+WW=0,
откуда
<?(*) к=—
' *(*) ‘ Предполагается, что
k=U(v>)+jV{со).
Для построения области устойчивости принимают Л=;Ъ и разделяют ве щественнуюимнимуючасти:
Задавая различные значения частотыо (от —оо до |
+оо), строят в плоско |
||||||||||||
сти U, |
V(плоскости к) |
границу Д-разбиения. При движении по мнимой оси |
|||||||||||
от ©=—о до (i)= +оо |
на |
комплексной плоскости |
область |
корней с |
отри |
||||||||
цательными |
вещественными |
частями |
остается |
слева. При |
этом |
отмечают |
|||||||
направление |
движения от —оо |
до |
+оо и заштриховывают |
левую |
часть |
||||||||
кривой |
по отношениюк этому движению. Втой части плоскости, в |
сторо |
|||||||||||
ну которой направленыштрихи, находится отображение левой полуплоскости |
|||||||||||||
корней. |
Поэтому |
областьюустойчивости может |
быть только |
эта |
часть |
||||||||
плоскости. Так как область устойчивости ищется в плоскости только одного |
|||||||||||||
параметра, то этой области может и не быть; |
поэтому необходимо |
прове |
|||||||||||
рить условие устойчивости с помощьюкакого-либо критерия. После нахож |
|||||||||||||
дения'области устойчивости рассматриваю лишь действительны значения k. |
|||||||||||||
Пример. Пусть дано характеристическое уравнение системы |
|
|
|||||||||||
Я3-гЯ2+Я+А>=0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
которое выразимотносительно параметра к: |
|
|
|
|
|
|
|||||||
Вместо Яподставим/ю,т.е.Я=/<о.Тогда |
|
|
|
|
|
|
|||||||
гдек=/<и3+о2—/ш=U+jV, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
U=(ù2, |
V=(ù2—(ù. |
|
|
строимобласть Д-разбиения. |
При частоте |
||||||||
Вплоскости |
Uч V(рис. 5.18) |
||||||||||||
«о=0, U=0 иV=0; при ю=1, U=1и К=0, при <■>-*-«>, U-*-оо и |
V-и». |
||||||||||||
Кривуюграницыобласти следует заштриховать слева при движении от tù= |
|||||||||||||
=—оо к 0)=+оо. |
|
|
|
полиномам, |
имеющим наибольшее |
число |
|||||||
Областью, соответствующей |
|||||||||||||
•гарней слева от мнимой оси, будет область, заштрихованная на рис. 5.18. |
|||||||||||||
Проверим, является |
ли |
она |
областьюустойчивости. Для этого |
выберем, на |
|||||||||
пример, граничнуюточку к=0, |
когда уравнение сводится |
к |
виду |
|
|||||||||
Я(Я2+Я+1)=0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Его корни |
|
1 |
|
W |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Я,=0. |
^2,3= |
|
’ |
|
|
|
|
|
|
|
|||
2 ± J~2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
т. е. один корень нулевой, а два лежат слева от мнимой оси. Внутри об ласти число корней, расположенных слева от мнимой оси, должно быть