книги / Теория автоматического управления техническими системами

ния автоколебаний зависят от параметров САР. Для определе­ ния этих зависимостей следует использовать дифференциальные уравнения системы 3-го и более высокого порядка (но иногда и 2-го порядка). Решение уравнений возможно методом припа­ совывания, однако получить зависимости ао и ©0от параметров систем выше 2-го порядка сложно. Поэтому применяют прибли­ женный метод —гармонической линеаризации, который для практических целей обладает достаточной точностью и дает не­ посредственные выражения требуемых зависимостей амплитуды и частоты автоколебаний от параметров системы. Его использу­

ют для общего анализа свойств системы регулирования, а так­ же при выборе структуры системы и параметров во время про­ ектирования и регулировки системы.

Сущность метода гармонической линеаризации заключается в отыскании периодического решения на входе нелинейного эле­ мента, разложении сигнала на его выходе в ряд Фурье и заме­ не выходного сигнала его первой гармоникой. Такая замена справедлива, если САР является фильтром низких частот, эф­ фективно подавляющим колебания высших гармоник.

Основа метода—предположение о том, что автоколебания приближенно можно искать в синусоидальной форме

x=asin0f.

Метод гармонической линеаризации рассмотрим на примере нелинейной САР температуры (рис. 8,23,а,б). Входная величина

Рис. 8.23. Нелинейная система автоматического регулирования температуры:

а —функциональная схема; б—статическая характерис­ тика реле (см.рис. 8.1, а)

реле здесь обозначена через х, выходная—через у (в системе регулирования температурой они были обозначены через / и U соответственно). Характеристика реле у{х) идеальная (см. рис. 8.23,6). Если входной сигнал реле изменяется по синусоиде, то изменение выходного выражается прямоугольной зависимостью

y(t) (см. рис. 8.23,а).

Сигнал y(t) на выходе нелинейного элемента с нечетной статической характеристикой может быть представлен в виде

' t W W W ) ' i w w w w w w ,

Рис. 8.24. Представление прямоугольной функции y(t) в виде суммы ряда не­ четных гармоник

суммы ряда синусоид (рис. 8.24, а—г) или нечетных гармониче­ ских составляющих (гармоник) в функции t:

3-я гармоника г/3= ^3sin3co^, где Л3=4с/Зя;

5-я гармоника */5=Assm5ci)/,

где Л5=4с/5я и т. д.

Здесь (ù=2n/T—частота колебаний.

Если увеличить число гармоник, то сумма синусоид ряда y(t)=#1-Н/з4-|/5+#7+ .. •

будет стремиться к прямоугольной зависимости.

Данное представление произвольной периодической кривой в виде суммы гармонических составляющих называют разложе­ нием в ряд Фурье, а все гармоники, кроме 1-й,—высшими гар­ мониками разложения.

Сигнал x(t) на входе реле будет близок к синусоиде, если колебания с частотой ©(1-я гармоника у\) с выхода реле будут хорошо воспроизводиться всеми звеньями системы —приводом, регулирующим элементом, объектом, чувствительным элементом (см. рис. 8.23). Одновременно с этим необходимо, чтобы все ко­ лебания с высшими частотами (высшие гармоники ya, у$, ...,

...» Уг) плохо передавались через те же звенья системы, т. е. чтобы амплитуды высших гармоник при этом гасились. Это, как правило, соблюдается в реальных САР, так как их элементы являются фильтрами нижних частот. Прямоугольный сигнал y{t) в результате прохождения через все звенья системы пре­ вращается в синусоиду x(t) и, пройдя через реле x{t), преобра­ зуется снова к прямоугольному виду и т. д. Следовательно,

можно искать автоколебания для переменной x(t) в синусои­

дальной форме.

Начальный этап приближенного определения автоколебаний в релейных системах заключается в гармонической линеариза­ ции релейной (нелинейной) характеристики. Гармоническая ли­ неаризация базируется на том. предположении, что в разложе­ нии сигнала прямоугольной формы на выходе реле все высшие гармоники в последующих звеньях системы гасятся и во вни­ мание не принимаются. Учитывается только 1-я гармоника. Релейную характеристику в общем случае обозначают как не­ линейную функцию y=F{x). При x=asin©/ 1-ю гармонику у\

для однозначных (непетлевых) релейных характеристик опре­ деляют формулой

yi—A\sm(ùt,

гдеAi —коэффициент ряда Фурье:

о

Для однозначных петлевых релейных характеристик 1-ю гар­ монику определяют формулой

t/i=i4isinœ/-l-BiCOS(û^,

причем

2п

Ai= ^ F (asin at) sin (ùtd(ùt;

jf=asincùf; ~=a(ùcos(ùt,

Для однозначных релейных характеристик 1-ю гармонику определяютпо формуле

а для петлевых релейных характеристик используют Еыраже ние

как если бывместо релейной характеристики Obef была линейная Od с кру­ тизной (т. е. с тангенсом угла наклона), равной Ayja.

Следовательно, при определе­ нии 1-й гармоники уупериодиче­ ских колебаний на выходе релей­ ного звена с однозначной харак­ теристикой при синусоидаль­ ном входном сигнале релейный элемент молено заменить линей­ ным звеном

зависящий от амплитуды входного сигнала.

В случае петлевой характеристики в том же режиме колеба­ ний релейный элемент заменяют линейным звеном с введением производной

с коэффициентами усиления

(8.6)

Для петлевых характеристик гистерезисного типа значение qx всегда получается отрицательным, т. е. производную в уравне­ ние (8.5) вводят с отрицательным коэффициентом. Эта произ­ водная дает запаздывание в работе звена. Первый член уравне­ ния (8.5) играет точно такую же роль, что и в уравнении (8.3), т. е. является идеальным линейным звеном с коэффици­ ентом усиления q\ второй член означает, что при рассмотрении 1-й гармоники на выходе звена запаздывание реле, выраженное нелинейно гистерезисной петлей, можно заменить линейным за­ паздыванием в виде производной от входного сигнала с отри­

цательным коэффициентом (qi<0).

Таким образом, ограничиваясь рассмотрением 1-й гармони­ ки на выходе релейного звена при синусоидальном входном

гармонической линеаризацией нелинейных характеристик пото­ му, что она связана с разложением нелинейных колебаний на гармонические составляющие. Величины q и qxназывают гар­ моническими коэффициентами усиления нелинейного звена, или коэффициентами гармонической линеаризации.

При обычной линеаризации нелинейную характеристику за­ меняют прямой линией с определенной крутизной &, которая не зависит от входной и выходной переменных х и у релейного элемента. Принципиальное отличие гармонической линеариза­ ции состоитв следующем: а) при ней нелинейную характеристи­ ку заменяют прямой линией, крутизна которой q зависит от амплитуды входного сигнала; б) она позволяет вместо нели­

Гармонический коэффициент усиления q уменьшается с уве­

личением амплитуды а, начиная со значения а=ЬУ2, так как величина на выходе реле остается неизменной {у—с) при уве­ личении входного сигнала (х>6). Коэффициент q1, характери­ зующий запаздывание вследствие наличия гистерезисной петли, также уменьшается по модулю с увеличением амплитуды.

Коэффициенты q и q\ для всех типов релейных элементов при больших амплитудах сближаются друг с другом, так как с увеличением амплитуды влияние зоны нечувствительности и гистерезисной петли на работу реле становится менее заметной.

8.7.Определение амплитуды а0»частоты о)0

иустойчивости автоколебаний

Метод гармонической линеаризации позволяет решить две задачи: 1) выявить автоколебания в нелинейной САР; 2) найти параметры автоколебаний (амплитуды ао и частоты ©0). Рас­ смотрим их.

Последний критерий должен соблюдаться при малых отклонениях от зна­ чений частоты автоколебаний ©она ±Асо.

На рис. 8.27 показана структурная схема нелинейной САР. Для линей­ ной ее части можно записать

Х3=W{j(ù)x3,

где W(/©) —АФХлинейной части системы. Для нелинейного элемента

где 1(А/а) —эквивалентный комплексный коэффициент усиления, который показывает, во сколько раз 1-я гармоника на выходе нелинейного элемента больше амплитудыАсинусоидального входного сигнала; 10(А/а) —нормиро­ ванный комплексный коэффициент усиления.

Уравнение свободных колебаний:

Приравнивая к нулюотдельно действительнуюи мнимуючасти комплексной переменной, получим два уравнения с двумя неизвестнами: частотой ©и амплитудой (А/а) колебаний. Если в результате решения этих уравнений © будут иметь действительны значения, то колебания в системе возможны. Решение может быть получено графически, для чего уравнение переписыва­ ют в виде

Годограф —NW(j(ù) при изменении частоты©от —оо до +оо представляет собой АФЧХлинейного элемента разомкнутой системы, увеличенную в N раз; годограф Z0(A/a) при изменении амплитудыот 0 до оо —амплитудную характеристику нелинейного элемента системы (рис. 8.28). Пересечение АФЧХи амплитудной характеристики нелинейного элемента определяет частоту и амплитуду возможных автоколебаний.

D{p)x+M(p)F(x, рх)=О,

которое с допустимой погрешностьюможет быть заменено линейнымурав­ нением

[я {р) +{я+^р)м{р)\ х=0.

Коэффициенты усиления q и q\ вблизи искомого периодического решения из­ меняются незначительно и без скачков.

Характеристическое уравнение системыпосле гармонической линеариза­ ции будет

[о(р)+(?+^/>]л«(р)]=0. (8.7)

Подставляя в уравнение (8.7) значения р=/со, получим D(j(ù)+\(q+qij)M{j(B)=0.

Коэффициенты q и q{являются функцией амплитудыа и частоты©. После разделения вещественной и мнимой частей имеем

х(а; (ù)+jy{a\ ©)=0.

Совместное решение уравнений х[а, ©) и у(а, ш) позволяет определить амплитуду а ичастоту <ооавтоколебаний, которые по физическому смыслу должны быть положителньыми и вещественными. Отрщателньые и комп­ лексны решения свидетельствую об отсутствии автоколебаний.

8.8. Анализ устойчивости и расчет параметров автоколебаний. Метод фазовой границы устойчивости

Анализ устойчивости нелинейной САР выполняют после при­ ведения ее структурной схемы к одноконтурной, содержащей нелинейное звено с эквивалентным комплексным коэффициен­

особенности системы и целей анализа. Рассмотрим метод опре­ деления частоты и амплитуды автоколебаний, основанный на понятии фазовой границы устойчивости [3, 10].

колебания будут расходящимися, т. е. нелинейная САР неустойчива в том смысле, в каком неустойчива линейная система. Вэтом отношении условия устойчивости гармонически линеаризованной системыможно считать даль-