книги / Течения газа около тупых тел. Метод расчета и анализ течений А. Н. Любимов, В. В. Русанов

расположены значительно дальше от критической линии тока, чем у параболоида. Угол х У гиперболоидов, так же как и у параболоидов, всегда тупой.

На фиг. 15.6 приведен пример звуковой линии и характеристик в поле течения около гиперболоида, е = 25°, р = 0.25, Моо — 2. Звуковая линия имеет вид — - образной кривой. Точки, расположенные на поверхности гиперболоида вниз по по­ току от звуковой точки, не влияют на форму звуковой линии. Предельная характе­ ристика I семейства значительно искривлена, а предельная характеристика II се­ мейства близка к прямой.

При фиксированном значении е = 25° и увеличении числа М» кривизна зву­ ковой линии уменьшается. При Моо= 4 и М» = 6 еще заметен---- образный вид зву­ ковой линии. При И » = 20 и Моо = с» звуковая линия практически уже не имеет ^ -образного вида. Она близка к прямой и немного вогпута навстречу потоку около ударной волны. На фиг. 15.7 показаны звуковая линия и характеристики около ги­ перболоида, е = 25°, р = 1, Моо = 20. При дальнейшем увеличении угла асимпто­ ты е звуковая точка очень быстро сдвигается вниз по потоку вдоль поверхности ги­ перболоида, а угол х все больше приближается к %=180°.

На фиг. 15.8 приведен пример звуковой линии и характеристик около гипербо­ лоида, е = 35°, р = 0.25, Моо = 4. Отметим, что в этом случае звуковая линия почти вся (за исключением небольшого участка около ударной волны) выпукла навстречу потоку. Линии тока пересекают звуковую линию под небольшим углом, т. е. звуко­ вая линия не сильно отличается по форме от линии тока, особенно около поверхно­ сти гиперболоида. Все это хорошо видно на фиг. 15.8 (представление о направлении линий тока около звуковой линии можно получить по виду характеристик около нее).

На фиг. 15.9 приведены звуковая линия и характеристики в поле течения около тела с уравнением образующей г = га, а = 0.0625, М*» = 2. Звуковая линия в этом случав имеет—-образный вид, т. е. она вогнута навстречу потоку около ударной волны и выпукла около поверхности тела. Угол х на фиг. 15.9 острый, поэтому

имеется область влияния точек на поверхности образующей, расположенных вниз по потоку от звуковой точки, на звуковую линию и все дозвуковое течение. При увеличении М» происходит постепенное изменение формы звуковой линии и при не­ котором Моо знак ее кривизны оказывается постоянным. Для тел с а = 0.25, 0.125, 0.0625 угол х острый при всех М» = 2. На фиг. 15.10 приведены звуковые линии и характеристики около тела с уравнением образующей г = 2я, а = 0.125, Моо = 20.

Перейдем к рассмотрению звуковых линий и характеристик около цилиндриче­ ских тел.

Звуковые линии около всех изученных нами тел при 2 <1 Моо ^ оо имеют кри­ визну одного знака и вогнуты навстречу потоку. Углы %во всех рассмотренных слу­ чаях острые. Поэтому всегда существует область влияния точек на поверхности ци­ линдрических тел, расположенных вниз по потоку от звуковой точки, на звуковую линию, а следовательно, и на все дозвуковое течение.

В [19] сделаны предположения именно о такой форме звуковых линий в плоских течениях около тел с контуром, близким к круговому. Наши результаты не только подтвердили эти предположения, но и показали, что такая форма звуковых линий имеет место и для плоских течений около тел, контур которых весьма сильно отли­ чается от кругового. Отметим также, что в [190], на основе предположения о суще­ ствовании точки ортогональности звуковой линии вектору скорости, аналитически показано, что в плоских течениях звуковая линия должна быть вогнута навстречу потоку.

Вид звуковых линий и характеристик около кругового цилиндра и сферы при Моо = 2 качественно близок. Основное отличие состоит в том, что звуковая линия у цилиндра менее искривлена, чем у сферы. В связи с этим область влияния точек поверхности цилиндра на звуковую линию у кругового цилиндра меньше, чем у сферы (при Моо = 2).

При увеличении числа Мто вид звуковых линий и характеристик около цилин­ дра и сферы становится все более различным. На фиг. 15.11 приведены звуковая ли­ ния и характеристики около кругового цилиндра, М<» = 4. Сравнив фиг. 15.2 и 15.11, легко увидеть все отличия. На фиг. 15.11 кружками нанесена звуковая линия, полученная в [57]. Обратим внимание на то, что совпадение звуковых точек, соответ­ ствующих узлам аппроксимации метода интегральных соотношений, с нашими ре­ зультатами удовлетворительное. Крестиками нанесены звуковые точки, полученные другим методом [75].

При дальнейшем увеличении М» кривизна звуковой линии увеличивается. На

отличаются друг от друга (ср. фиг. 15.13 и 15.12). Звуковая линия около параболи­ ческого цилиндра более искривлена у поверхности тела (чем у кругового цилиндра) и менее искривлена около поверхности ударной волны.

Звуковые линии и характеристики около эллиптического цилиндра (Ъ]а = 0.5) и сферы подобны при М® = 2, т. е. звуковая линия вогнута навстречу потоку и имеет кривизну одного знака. При увеличении числа М« звуковая точка на ударной волне быстро перемещается по направлению к оси симметрии течения. Кривизна звуковой линии возрастает. На фиг. 15.14 приведены звуковая линия и харак­ теристики около эллиптического цилиндра, Ь/а = 0.5, М*> = 4. Кружками нанесены звуковые точки, полученные в работе [193].

Звуковые линии около гиперболических цилиндров и соответствующих гипер­ болоидов совершенно не похожи друг на друга. На фиг. 15.15 приведены звуковые

Кривиэна звуковой линии изменяется сильно около поверхности гиперболи­ ческого цилиндра и слабо — около поверхности ударной волны.

Таким образом, форма звуковых линий и характеристик около цилиндрических и особенно около осесимметричных тел отличается большим многообразием.

На фиг. 15.16 приведена зависимость угла %, характеризующего поведение звуковой линии около поверхности тела от числа Моо, для различных случаев тече­ ний: 1 — сфера; 2 — параболоид; 3 — гиперболоид, е = 10°; 4 — гиперболоид, е = 25°; 5 — тело г = 20-25; 6 — тело г = г0-126; 7 — круговой цилиндр; 8 — параболи­ ческий цилиндр; 9 — эллиптический цилиндр. Продолжение линий, нанесенное пунктиром, получено по численным данным меньшей точности. Из фиг. 15.16, в част­ ности, видно, что при больших Моо угол %практически не изменяется, а при малых Моо изменяется весьма существенно, а также что в плоских течениях % с я/2 во всех случаях.

СВЕРХЗВУКОВЫЕ ТЕЧЕНИЯ

§16. Расчет пространственного течения в сверхзвуковой области

1.Постановка задачи. Решение сформулированной в § 3 задачи о стационарном об­ текании определяет течение около тупого тела в области ©, включающей как дозву­ ковую, так и сверхзвуковую частитечения. Положение поверхности П, ограничивающей © со стороны сверхзвуковой части, несущественно для метода, и в принципе, поместив П достаточно далеко, можно рассчитать методом установления всю сверхзвуковую об­ ласть. Однако такой расчет достаточно трудоемок, требует весьма большой памяти ма­ шины и для тел большого удлинения практически нереализуем. Поэтому более целесо­ образно расчет сверхзвуковой части проводить отдельно, после того, как течение в го­ ловной части рассчитано и получены значения Х° и Р° на некоторой поверхности П0

пространственного типа, расположенной в Всилу гиперболичности уравнений сверх­ звукового течения смешанная задача с начальными данными на П0 и граничными ус­ ловиями на волне и теле корректна, и ее решение определяет искомое сверхзвуковое течение около тела. Как и ранее, удобно рассматривать задачу в расчетных коорди­ натах т], 0, определяемых формулами (3.14), в которых тело и волна имеют про­ стые уравнения^ = 0 и %= 1. Все функции, входящие в определение системы коор­ динат, как и решение, следует считать независящими от времени. Система уравнений для вектора X (|, ц, 0) имеет вид:

где А, В, С определены теми же формулами, что и в § 3.

Граничные условия получаются из (3.17) и (3.18), если положить в них В = О

Маха не слишком близко к единице, этого всегда можно добиться надлежащим выбо­ ром системы координат т], 0.

Конечно-разностный алгоритм решения сформулированной задачи подробно описан и исследован в работе [15] для случая, когда ц = я, что соответствует зада­ нию в формулах замены переменных со = я/2, $ (ц) = ц. Без существенных изме-