книги / Течения газа около тупых тел. Метод расчета и анализ течений А. Н. Любимов, В. В. Русанов

Итак, решение задачи (8.23) всегда сходится к устойчивому стационарному реше­ нию, удовлетворяющему (8.28). Спектральный критерий устойчивости в этом случае «отсутствует.

где тХн — оператор, определяемый матрицей (о = ат/к):

итерационный процесс будет сходиться к решению системы Аи = Р1 которое пред­ ставляет собой аппроксимацию выражения (8.276). Заметим, что условие устойчиво­ сти разностной схемы (8.29) есть 0 ^ а ^ 1, в то время как |1 + Х2\ может быть

Точные решения нестационарной задачи имеют вид: если к^> О, то]

X

хс-М

если /с<с 0 и 1г°(1 ) = (3, то

Из сравнения (8.35) и (8.36) с (8.34) вытекают следующие выводы.

При к 0, когда спектр X не пуст, условие зир КеА/*<; 0 обеспечивает сходи­ мость и(х, 2) к ограниченному стационарному решению. Неограниченные стационар­ ные решения, существующие в этом случае, неустойчивы. Если зир Не X ^ 0, то и(х, I) безгранично возрастает и не сходится ни к какой функции, а стационарная задача имеет бесконечное множество ограниченных решений.

При к с 0 спектр отсутствует и при Ъ 0 и(х, I) равномерно сходится к огра­ ниченному решению стационарной задачи, удовлетворяющему краевому условию.

ниченно. В этом смысле уравнение (8.30) моделирует поведение энтропии вблизи по­ верхности тела и образование энтропийного слоя.

Пример 5. Рассмотрим однородную задачу, аналогичную (8.30), но с более слож­ ным граничным условием, содержащим искомую функцию /(*):

ч с - *Т5Г+Ь» + * - 0 .

^ - + « / = 0, а.ф 0, Н « 1 + Г / = 0 . (8.37)

При I = 0 заданы и(х, 0) = и°(ж) и /(0) = /°.

Действуя обычным образом, напишем систему уравнений для собственных функ­

Отсюда следует, что %= —ос есть собственное значение, если выполнено одно из следующих условий:

1) & > а и с Ч т 2 =^0; 2) Ъ= а и с = 0, у ф 0;

3) &=^=а и с = ( 6 ~ а)у рГ1 =/=0.

Так как ос =/=0, то стационарное решение (8.37) единственно и тождественно равно нулю.

Нестационарное решение (8.37) имеет вид при Ь =^= а:

Из рассмотрения (8.39) можно сделать следующие выводы.

Если выполнено одно из условий существования собственного значения, то усло­ вие К еХ < 0, или ос > 0 является достаточным для сходимости и(х, *) к нулю только в случаях 1) и 2). В случае 3) это условие не достаточно и и(х, I) может даже безгра­ нично расти (если Ъ< 0). Таким образом, мы имеем пример задачи, в которой распо­ ложение точечного спектра в левой полуплоскости не достаточно для сходимости.

В случаях, когда собственных значений нет, функция и(х, *), как и в предыдущем примере, может либо сходиться к нулю, либо безгранично расти, либо оставаться ограниченной.

Пример 6. Рассмотрим задачу о движении газа перед плоским поршнем, двигаю­ щимся с постоянной скоростью Й в неподвижном совершенном газе с показателем

где и — скорость, р — давление, 5 — энтропийная функция и V = Яр-1* — удель­ ный объем.

Перед поршнем образуется плоская ударная волна, уравнение движения кото­ рой запишем в виде гв = Я(т). Тогда В = йЯ/Лх есть скорость волны в момент вре­ мени х. Функция 7?(т) неизвестна и подлежит определению вместе с течением газа.

Пусть при т = О координата поршня гЦ = О, координата волны яЦ = Н(0) = = Л°. На отрезке [О, В] задано начальное распределение ю(я, 0) = и>°(2), удовлет­ воряющее граничным условиям.

выпишем линейную систему для малых возмущений т с линеаризованными гра­

Фиг. 8.2

Ф и г . 8.1

случае одной пространственной переменной. Для двух и тем более трех переменных не удается построить достаточно простых модельных задач, отражающих структуру реального течения и в то же время допускающих аналитическое исследование. Ос­ новная трудность заключается в сложности оператора X, который в двумерном и; трехмерном случаях является оператором смешанного типа, причем более сложным, чем оператор задачи Трикоми.

К настоящему времени на основе результатов многих численных расчетов была частично изучена структура главных членов оператора X , точнее зависимость его характеристического конуса от координат области @. Примеры расчетов, приведен­ ные в главе второй, показывают, что эта зависимость может быть весьма различна для разных тел и чисел Моо, что отражается, в частности, на форме звуковых поверх­ ностей и прилегающих к ним полей характеристик.

Имеющиеся аналитические и численные результаты позволяют судить о коррект­ ности стационарной задачи и сформулировать необходимые критерии, которые сле­ дует учитывать при разработке того или иного метода расчета. Для формулировки этих критериев существенное значение имеет анализ взаимного влияния отдельных участков течения, связанного с расположением харак­ теристик системы ХЪ = 0, которая получается из сис­ темы (4.1) — (4.2) отбрасыванием производных по вре­

мени.

Для правильного установления взаимного влияния областей течения необходимо указать и направление, по которому распространяются малые возмущения вдоль характеристик. Это можно сделать, если учесть, что, не­ смотря на формально стационарный характер уравнений, фактически мы имеем дело с существующей во времени эволюционной физической системой, состояние которой изменяется вполне определенным образом, когда время течет в определенном направлении. При этом всякое ма­ лое возмущение, возникшее внезапно в какой-либо точке стационарного течения, распространяется, во-первых, со скоростью течения вдоль линии тока и, во-вторых, со ско­ ростью звука во все стороны от источника, движущегося

вдоль траектории. Такое рассуждение, очевидно, эквивалентно рассмотрению воз­ мущений стационарного течения как частного решения нестационарных уравнений полученных путем линеаризации системы уравнений газовой динамики.

Применим эти соображения для исследования структуры стационарного тече­ ния около гладкого затупленного тела, ограничившись рассмотрением только дву­ мерного течения. На фиг. 8.3 приведена примерная картина расположения звуковой линии и характеристик, а также линий тока в области между ударной волной и обте­ каемым телом. Здесь АВ — звуковая линия, ВОЕ — предельная характеристика I семейства, СОР — предельная характеристика II семейства. Обе они касаются зву­ ковой линии в точке О, скорость в которой ортогональна звуковой линии. Направ­ ление распространения возмущений по характеристикам и линиям тока указано стрелками. Очевидно, что область влияния любой точки, принадлежащей одному из криволинейных треугольниковМОС и БОБ, захватывает звуковую линию, последова­ тельно, эта часть сверхзвуковой области влияет на дозвуковую область. Точки кри­ волинейных треугольников АОЕ и ВОР суть те, на которые непосредственно влияют возмущения, возникшие в точках звуковой линии.

Картина, изображенная на фиг. 8.3, типична для большинства случаев плоского течения и для осесимметричного течения при небольших числах Маха набегающего потока, а также для сильно сплющенных впереди тел вращения. В других случаях точка О, в которой характеристики касаются звуковой линии, может отсутствовать, и картина расположения характеристик соответствует либо правой, либо левой поло­

вине фиг. 8.3. Как показывают примеры расчетов, приведенные в главе второй, фор­ ма звуковой линии и поле характеристик могут довольно сильно отличаться от при­ веденных на фиг. 8.3, однако мы не будем на этом останавливаться.

В связи с рассмотрением областей влияния в стационарном течении возникает вопрос, в какой мере метод расчета обеспечивает правильный их учет в решении зада­ чи. Очевидно, что в результате расчета методом, правильно учитывающим области влияния, не может бытьпринципиально получено течение в области, не охватывающей все дозвуковое течение с прилегающими к нему областями влияния АОС п В О Б 1.

Нетрудно проверить, что метод установления удовлетворяет высказанному тре­ бованию. В самом деле, область течения ©, полученная в результате расчета методом установления, всегда ограничена со стороны сверхзвуковой части линией П (ОН на фиг. 8.3), имеющей пространственный тип, т. е. не пересекающей характеристи­ ческого конуса. Так как положительные направления характеристик в плоскости стационарного течения ограничивают проекцию на эту плоскость той полости ха­ рактеристического конуса нестационарных уравнений, которая направлена в сторо­ ну возрастания I, то из геометрических соображений очевидно, что направление следа П в плоскости течения должно отделять положительные направления характеристик от отрицательных (см. точку Р). Очевидно, что П всегда расположена в сверхзвуковой области и нарушение правильного учета областей влияния АОС и ВОВ может про­ изойти только, если П пересекает одну из них, подобно линии ОНх. Однако легко видеть, что в точке Ь, где ОНг пересекает ОБ, она проходит между двумя положитель­ ными направлениями характеристик и не имеет пространственного типа. Аналогично можно рассмотреть другие мыслимые расположения линии, пересекающей области влияния, а также случай пространственного течения.

Заметим, что примененный нами способ определения областей влияния не явля­ ется единственно возможным. В принципе можно исходить и из чисто стационарных уравнений, не привлекая ни физических соображений, ни нестационарных уравне­ ний. Однако тогда необходимо учитывать заданные на границах © условия и, вооб­ ще говоря, рассматривать корректность задачи в целом.

В качестве примера можно исследовать систему и1+ их = 0, у1— ух = 0 в четверти плоскости х > О, I > 0. Если граничные и начальные условия не определе­ ны, то как линия х = 0, так и линия I = 0 могут с одинаковым правом служить и линией начальных данных и границей, что приводит к двум различным направлениям на характеристиках.

Все сказанное выше основано на рассмотрении только главных членов оператора 52, зависящих от значений функций, определяющих основное решение. С этим свя­ зано исследование корректности как нестационарной, так и стационарной задач обтекания. Вопрос об устойчивости предельного решения требует рассмотрения ос­ тальных членов 52, в частности коэффициентов при У и /, которые зависят от про­ изводных основного решения по координатам.

Аналитическое исследование математической модели течения дает возможность установить при определенных предположениях общие закономерности локального поведения производных от газодинамических функций, применимые для некоторого класса течений (см., например, [177—179]). Для исследования конкретного течения знание этих закономерностей весьма полезно, но ограничено, так как по исходным данным задачи невозможно установить, удовлетворяет или нет ее решение предпо­ ложениям, положенным в основу анализа. Это может быть выяснено только с помощью эксперимента или численного расчета, причем для математической модели последний дает более точную и достоверную информацию, конечно, при условии, что он выпол­ нен достаточно тщательно и с высокой точностью. Применение точных численных методов позволяет получать полную информацию о конкретном течении независимо

1Заметим, что метод расчета, позволяющий находить течение в области, большей указанной, не яв­ ляется противоречивым, поскольку в сверхзвуковой части за линией СОИ обратное влияние вверх

по потоку отсутствует.