книги / Течения газа около тупых тел. Метод расчета и анализ течений А. Н. Любимов, В. В. Русанов

бия [100]. Кружками нанесены экспериментальные данные для М«> = 6 .85, рк= 10°, а пунктиром — данные настоящей работы.

Приведенные примеры показывают, что в ряде случаев имеется удовлетвори­ тельное совпадение между результатами, полученными различными методами. В то же время для каждого из них существует, очевидно, область исследования, в кото­ рой его применение наиболее целесообразно. С этой точки зрения для изучения струк­ туры течений наиболее подходящим в настоящее время является сочетание числен­ ных методов и качественного анализа локальных свойств решений системы уравне­ ний газовой динамики. Экспериментальные методы пока еще менее эффективны для этой цели. Нет, однако, сомнения, что прогресс в технике эксперимента позволит в будущем получать достоверную информацию о тонких деталях структуры течений, необходимую, в частности, для построения новых, более сложных математических моделей движения реального газа.

2. Распространение и взапмодействие слабых возмущений. Одним из способов исследования стационарных течений газа является анализ структуры соответствую­ щей линеаризованной системы (см. § 8, п. 3), что физически сводится к изучению ме­ ханизма распространения в потоке слабых возмущений. В сверхзвуковом двумерном потоке этот механизм тесно связан с картиной поля характеристик и линий тока, по которым происходит распространение малых возмущений. В соответствии с общеприня­ той терминологией мы будем называть распространяющееся по характеристике ма­ лое возмущение волной сжатия (и соответственно волной разрежения), если давле­ ние и плотность возрастают (соответственно убывают) при пересечении этой харак­ теристики в направлении течения (вдоль линии тока).

Интенсивность малых возмущений можно измерять различным образом. На­ пример, за меру интенсивности можно принять возмущение давления, соответствую­ щего данной характеристике, отнесенное к давлению о невозмущенном потоке.

Механизм внутренних локальных взаимодействий малых возмущений сравнитель­ но несложен, хорошо известен (см. [118, 192, 209]) и легко может быть проанализи­ рован на основе принципа интерференции малых возмущений. Более сложным яв­ ляется вопрос взаимодействия малых возмущений с границами и внутренними линия­ ми разрыва. В первую очередь нас будет интересовать взаимодействие с поверхностью тела и головной ударной волной. В обоих случаях взаимодействие сводится к отраже­ нию возмущения от границы.

Из геометрических соображений следует, что от поверхности тела отражаются возмущения, подходящие к ней по характеристике II семейства, а отударной волны — подходящие по характеристике I семейства. После отражения возмущение распро­ страняется по выходящей из той же точки характеристике другого семейства. Таким образом устанавливается направление отраженного возмущения.

Для определения его интенсивности необходимо исследовать граничные условия

ли возмущения одного типа, и отрицательным, если тип меняется после отражения. Анализ граничных условий на поверхности тела показывает, что интенсивность отраженного возмущения не меняется и оно сохраняет знак, т. е. волна сжатия

отражается также волной сжатия и наоборот.

На ударной волне дело обстоит сложнее. Этот вопрос рассматривался в ряде работ [100, 189, 210, 211] , и мы изложим здесь некоторые результаты в виде, удобном для нашего анализа.

На фиг. 20.6 нанесены кривые, определяющие значения характерных углов на­ клона ударных волн около тупых тел и области с различными законами взаимодейст­ вия волн сжатия и волн разрежения с головной ударной волной. На оси абсцисс от­

ложены значения М^» а на оси ординат — значения синуса угла наклона головной ударной волны а.

Линия КЬ определяет синус угла наклона касательной к головной ударной вол­ не в звуковой точке азв. Величина этого угла зависит только от М«> и определяется известной формулой (см., например, [118]). Линия ОЬ определяет значение угла Ма­

ха а = агс81п М5, линия (^Ь — синус угла наклона ударной волны около острого конуса в том случае, когда на поверхности конуса число Маха равно единице.

Точки кривых К М и АФ, построенных по формулам работы [210], соответствуют тем значениям, для которых коэффициент отражения слабого возмущения равен ну­

лю, т. е. равна нулю интенсивность отраженной волны. В областях К ЬМ и ОИР коэффициент отражения отрицателен, а в области КМ РИ — положителен. Сплош­ ные линии, отмеченные цифрами 1, 2, 3, 4, определяют углы наклона ударной волны сТдред в точке прихода на нее предельных характеристик I семейства. Значение апред зависит не только от М », но и от формы затупления. На графике приведены линии для следующих тел: 1 — сфера; 2 — параболоид; 3 — тело г = г0»26; 4 — тело г = = г0125. Сплошные линии, отмеченные значениями рк = 5°, 10°, 15°, 25°, 35°, 45°, оп­ ределяют углы наклона ударной волны сгк для острых конусов с углами полураствора рк. Эти линии построены по данным [15, 212, 213] и результатам расчетов, прове­ денных авторами. При обтекании тупого конуса с углом рк наклон ударной волны может, как известно, иметь при некотором ъ минимальное значение ат щ < сгк. На фиг. 20.6 пунктирными линиями показана зависимость ат щ (М«>) для значений 6К= = 25° (а), 15° (Ь) и 10° (с).

Приведенные на фиг. 20.6 области с различным коэффициентом отражения спра­ ведливы лишь для взаимодействия достаточно слабых возмущений, не искажающих основного течения. Однако, как показывают расчеты, структура основного течения, в частности вид поля характеристик, может быть в ряде случаев объяснена на основа­ нии теории малых возмущений. В этом случае под волнами сжатия и разрежения сле­ дует понимать поведение газодинамических функций в основном течении.

Взаимодействие волн сжатия и волн разрежения с головной ударной волной на­ чинается вниз по потоку от звуковой точки (линия КЬ). Сначала на головную удар­ ную волну приходят волны от звуковой линии. Они являются волнами разрежения, так как давление вдоль линий тока, пересекающих их, падает (см. § 15). Волны разре­ жения, взаимодействуя с головной ударной волной, уменьшают ее наклон к оси тела. От головной ударной волны эти волны в зависимости от М» отражаются или волнами сжатия, или волнами разрежения, которые затем взаимодействуют с приходящими к ударной волне волнами разрежения. Если отраженные волны являются волнами раз­ режения, то они усиливают интенсивность процесса расширения потока газа в этой области течения. Если отраженные волны являются волнами сжатия, то они компен­ сируют в какой-то мере расширение потока. Однако полностью нейтрализовать про­ цесс расширения отраженные волны сжатия не могут, так как их интенсивность значительно меньше интенсивности падающих на головную ударную волну волн раз­ режения. Поэтому в целом в этой области течения сохраняется процесс расширения независимо от того, какие волны отражаются от головной ударной волны — сжа­ тия или разрежения.

Несмотря на очевидную нестрогость этих соображений, они оказываются весьма полезными при эвристическом анализе структуры течения. Иногда о наличии области сжатия или разрежения можно судить по поведению семейства характеристик од­ ного семейства. В волне сжатия они обычно сближаются в направлении течения, а в

имеющего затупление в виде параболоида, р = 0.25. Заметно, что вверх по течению от характеристики С — I, выходящей из точки сопряжения параболоида и конуса, на головную ударную волну падают волны разрежения. Вниз по течению от С — I, т. е. в области влияния конуса на головную ударную волну, падают волны сжатия. В этом случае при отражении от головной ударной волны тип волн сохраняется.

На фиг. 20.10 изображены характеристики при М« = 2 около конуса, (Зк = 25°, имеющего затупление в виде гиперболоида, е = 10°, р = 0,25. Интересно отметить, что характеристики II семейства весьма близки к прямым линиям, в то время как ха­ рактеристики I семейства искривлены значительно, особенно около поверхности ко­ нуса.

На фиг. 20.11 для Моо = 20 дана картина характеристики около конуса, рк = = 25°, имеющего затупление в виде сферы. Взаимодействие волн сжатия с волнами раз­ режения и с головной ударной волной в этом случае более сильное, чем во всех преды­ дущих случаях. Из фиг. 20.11 хорошо видно, что до характеристики С — I, выходя­ щей из точки сопряжения, на головную ударную волну падают лишь волны разреже­ ния. От головной ударной волны они отражаются волнами сжатия. Однако в этой области расширение потока очень сильное, особенно около поверхности сферы, и его лишь незначительно ослабляют волны сжатия, приводящие от головной ударной вол­ ны, интенсивность которых невелика. Поэтому в общем до характеристики С — I реализуется течение расширения.

После характеристики С — I в области влияния конуса сначала на головную удар­ ную волну приходят волны сжатия. В этой области течения не происходит нейтрали­ зации действия волн одного типа волнами другого типа, а наоборот, наблюдается уси­ ление интенсивности течения сжатия из-за взаимодействия волн одного типа. Интен­ сивность волн сжатия не настолько велика, чтобы характеристики могли пересечься до ударной волны. Однако, взаимодействуя с ней, црлны сжатия увеличивают ее, на­ клон (см. ниже табл. 20.4).

Характеристика, разграничивающая области влияния около составных тел, играет большую роль при формировании поля течения, и ее положение важно знать для анализа взаимодействия волн. В табл. 20.1 для нескольких примеров обтекания затупленных по сфере конусов приведены координаты точки (г1у т^) на головной ударной волне, в которую попадает характеристика I семейства, выходящая из точки сопряжения (яс, гс). Здесь же приведены значения тангенса угла наклона головной ударной волны в точке (2/, г/). Результаты, приведенные в таблице, показывают, что размеры области непосредственного влияния сферы на поле течения увеличивают­ ся при уменьшении М«> и рк (см. также фиг. 20.7—20.10).

В табл. 20.2 для четырех вариантов обтекания затупленных по сфере конусов приведены координаты точки сопряжения, координаты точки на ударной волне, в ко­ торую приходит; характеристика из точки сопряжения, координаты точки на поверх­ ности конуса, в которую приходит отраженная от головной ударной волны характе­ ристика, и т. д. Здесь же приведены значения тангенса угла наклона ударной волны в соответствующих точках. Справа указаны значения Рг у соответствующего острого конуса. Эта таблица дает возможность проследить за многократным отражени­ ем от головной ударной волны и от конуса характеристики, выходящей из точки сопря­ жения.

Отметим, что внутри энтропийного слоя характеристики обоих семейств из-за уменьшения числа Маха резко меняют направление и угол между ними уменьшается. На фиг. 20.12 изображены две такие характеристики около поверхности гиперболои­ да, Моо = 4, е = 41° (см. также фиг. 20.11).