книги / Течения газа около тупых тел. Метод расчета и анализ течений А. Н. Любимов, В. В. Русанов

зависят от X п Р и их производных. В результате линеаризации (4.1) получим:

Аналогично выражаются бВ, бС, 6Г, причем индексом Д отмечены величины, вычис­

ние (4.7), можно исключить 3//02 из системы (4.4), после чего в ней появится член, со­ держащий' значение искомой функции У на ударной волне Уу5=1 = У (1, т), 0, I). Для удобства дальнейшего исследования запишем линеаризованную систему в виде:

Как видно из структуры системы, она является объединением двух взаимосвязан­ ных систем (4.8) для функции У и (4.9) для функции /. При этом для функции У ста­ вится смешанная задача в области @ с начальными данными при I = 0 и граничными условиями (4.10) при^ = 0 и (4.11) при ^ = 1 и условием периодичности по 0.

Для функции / ставится задача в области 0 Ь О ^ т | ^ Н ; О ^ 0 ^ 2 я с началь­ ными данными при I = 0 и условием периодичности по 0.

Граница ц = 0, т. е. г — 0, как и в нелинейной системе, является фиктивной, возникающей только из-за системы координат, причем в окрестности т| = 0 коэффи­ циенты (4.8) — (4.11) имеют особенность. Как и в нелинейных уравнениях, соответ­ ствующая замена независимых переменных и искомых функций устраняет особен­

Задачи для функции У и / связаны между собой вследствие наличия членов, со­ держащих / и ее производные в уравнениях и граничных условиях для У и члена, содержащего граничное значение У (1, г), 0, I) в уравнении для /.

также для всех коэффициентов системы (4.8). Но мы их не приводим, чтобы не загро­ мождать изложение.

Одним из основных вопросов, связанных с системой (4.8) — (4.11), является кор­ ректность сформулированной для нее задачи. Корректность, понимаемая в класси­ ческом смысле, означает существование и единственность решения и непрерывную зависимость его от начальных данных. Другие определения корректности сводятся по существу лишь к уточнению функционального класса, в котором рассматривается решение, и нормы, по которой производится его оценка. Как правило, условия, обес­ печивающие корректность при различных ее определениях, отличаются лишь в дета­ лях и основные необходимые критерии сохраняются. Имея это в виду, мы сформули­ руем ниже основные критерии корректности задач для гиперболических систем, не претендуя на полноту и приводя лишь те результаты, которые будут нами исполь­

Задачей Коши называется задача о нахождении решения системы (4.23), удов­ летворяющего начальным условиям X = Х°, заданным на некоторой плоскости в пространстве (х, г), имеющей уравнение: + V!:*;! + + чтхт == 0.

Теория задачи Коши хорошо разработана (см., например, [140—142]), но, не имея возможности излагать ее здесь сколько-нибудь подробно, мы ограничимся лишь фор­ мулировкой основных результатов для системы уравнений с постоянными коэффи­ циентами.

где от == {сг0, сгх, ..., о'ш} — произвольный (вещественный) вектор, не все компонен­ ты которого равны нулю.

В теории дифференциальных уравнений доказывается, что для корректности зада­ чи Коши с начальными данными на плоскости с нормалью V необходимо и достаточ­ но, чтобы были выполнены следующие два условия:

1 ) &(ч)ф 0 ;

но тому, что уравнение

при любых вещественных а^ имеет только вещественные корни.

Предположим также, что для всякого V , в направлении которого система (4.23) гиперболична, и любого о* пучок матриц с параметрами ф, ар имеет простую структуру

то независимы и соотношения (4.27). Окончательно получаем, что для любого вектора V , в направлении которого система гиперболична, и для любого о* существует полный набор характеристических соотношений на плоскостях, соответствующих характе­

Заметим, что из определения N следует, что всякий вектор, ортогональный о* и V , ортогонален и К, т. е. характеристическая плоскость с нормалью N проходит через некоторое многообразие тп — 1 измерения, являющееся пересечением плоскостей, ор­ тогональных а и V . Так как сг может иметь любое значение, то полученный результат можно сформулировать так.

Через каждое линейное многообразие т — 1 измерения, лежащее в плоскости, относительно которой система (4.23) гиперболична, можно провести К характеристи­ ческих плоскостей П* соответственно числу корней %к уравнения (4.24). При этом на плоскости Щ выполняется ук характеристических соотношений, где ук — кратность корня

Пусть теперь А 0= Е. Для системы

771

Исследование смешанной задачи для уравнений гиперболического типа с многими независимыми переменными началось сравнительно недавно, и теория ее к настояще­ му времени еще не достигла завершения [143—148]. Как и выше, мы изложим здесь лишь основные необходимые нам результаты, имеющиеся для системы (4.28).

Основной вопрос, который возникает в связи с постановкой смешанной задачи,

— это то, каким требованиям должны удовлетворять условия (4.29), чтобы смешанная задача была корректной. Такие граничные условия принято называть допустимыми или согласованными с системой (4.28).

Для формулировки условий допустимости предварительно введем некоторые поня­

тия.

Назовем ядром граничного оператора подпространство N векторов X , удовлет­ воряющих условию \кХ = 0.

Очевидно, N имеет размерность г—5, так как ранг матрицы [л, попредположеншо, равен 5.

Рассмотрим сначала одномерный случай тп = 1

(4.30) Предположим, что матрица А имеет г ненулевых собственных значений К1УЯ2,..., А.г.

Обозначим через Я подпространство размерности гх, натянутое на правые собст­ венные векторы <7г+, соответствующие положительным собственным значениям ^ +. Пусть (?+— матрица размера г X г±, столбцы которой суть собственные векторы дг+.

Граничные условия (4.29) допустимы или согласованы с системой (4.30), если

для любого Х +ЕЕ$+ \лХ +={=0. Так как любой Х + можно представить в виде Х += = <?+со, где© — произвольныйвектор-столбецс гх компонентами, то система (ц(?+)© = 0 имеет только тривиальное решение, откуда следует первая формулировка 2). Обрат­ ное доказывается аналогично.

Смысл сформулированного условия допустимости легко понять. Оно выражает разрешимость граничных условий (4.29) относительно характеристических комби­ наций, соответствующих собственным значениям которые отвечают характери­ стикам (4.30), отходящим от границы внутрь области (при возрастании /). В самом деле, матрицей, приводящей А к диагональному виду, является матрица

(см. Приложение), т. е.

где А — диагональная матрица, элементами которой являются собственные значе­ ния матрицы и

-Р = {?-} = <?-1 и Ж = Р Х .

Так как

й? = Щ -} и 30± = Р ^Х

есть характеристические комбинации, отвечающие положительным и отрицательным

Условие допустимости можно сформулировать еще по-другому, в виде, особен­ но удобном для построения численного алгоритма. Д именно, замечая, что из Р = ф-1

следует, что Р ^ + = 0; Р +()+= Ег и Р~()~ = Е2 (здесь Е к— единичная матрица по­ рядка гЛ), получаем, что неравенство Бе1 (р@+) Ф 0 выполняется тогда и только тогда,

когда гх = $ и определитель матрицы М = |^ - | не равен нулю.

Матрица М является матрицей системы уравнений для X , состоящей из гранич­ ных условий (4.29) и характеристических соотношений, соответствующих подходя­ щим к границе характеристикам. Таким образом, мы получаем, что если граничные условия допустимы, то они разрешимы относительно искомых функций совместно с характеристическими соотношениями на подходящих характеристиках.

Пусть теперь и матрица А г по-прежнему имеет гг положительных и г—гх отрицательных собственных значений. В этом случае условия $ = гх и Бей (ц(?+) ф 0 уже не являются достаточными, а лишь необходимыми [149]. Для формулировки до­

зависящую от параметра т с положительной вещественной частью и вещественных па­

Пусть 8 +(т, т];) — инвариантное подпространство матрицы 9К, отвечающее собст­ венным значениям, расположенным в правой полуплоскости, а(?+(т, т]7)—матрица, столбцы которой образуют базис в этом подпространстве. Тогда достаточным усло­ вием корректности смешанной задачи является выполнение для всех т, т]7-, Не т > 0, 1 т т]у = 0 неравенства

ца левых «отрицательных» собственных векторов А ъ вытекает из (4.32) и по-прежне-

му является необходимым для корректности задачи. Отсюда следует, что и в много­ мерном случае допустимые граничные условия и характеристические соотношения^ соответствующие отрицательным собственным значениям, т. е. подходящим характе­ ристикам, образуют независимую систему.

Остановимся еще вкратце на случае, когда матрица А г особенная и имеет нулевое собственное значение. Это означает, что граница хг = О является характеристической гиперплоскостью системы. Матрицы собственных векторов Р и. (? могут ыть представ­ лены тогда в виде

Р° и (2° соответствуют нулевым собственным значениям.

Вопрос о корректности общей смешанной задачи в этом случае изучался только для симметричных систем. В общем случае можно сформулировать лишь необходимые условия. Они сводятся к тому, что помимо требования Бе1;(|1@+) =/=0 нужно, чтобы было выполнено условие р,@° = 0.

3. Корректность задачи Коши и допустимость граничных условий для уравнений газовой динамики. Вернемся теперь к смешанной задаче для системы (4.8)—(4.9)

ирассмотрим возможность исследования ее корректности с помощью изложенных вы­ ше результатов. Естественно предполагать, что условия корректности задачи Коши

идопустимости граничных условий, сформулированные для уравнений с постоянными коэффициентами, остаются необходимыми и для линейных систем. Это означает, что соответствующие критерии должны выполняться в каждой точке начальной или гра­ ничной поверхности для локального вектора нормали и соответственно для ядра локального граничного оператора и локального подпространства #+(т, Ц;).

Практически это означает, что коэффициенты системы и граничных условий сле­ дует вычислить в общем виде и, считая их значения фиксированными, проверить вы­ полнение критериев для соответствующей системы с постоянными коэффициентами. Для системы, полученной в результате линеаризации, проверку критериев следует производить для всех решений из рассматриваемого класса.

Применение этого метода к системе (4.8)—(4.9) встречает одно затруднение, свя­ занное с тем, что она имеет существенно более сложную структуру, чем система (4.28). Однако результаты, полученные для (4.28), могут быть применены к (4.8)—(4.9), если принять во внимание только главные члены уравнений для функций У и /.

Для функции У это означает рассмотрение в уравнениях (4.8) только членов, со­ держащих производные У, и соответственно матриц р,0 и |лх в граничных условиях. Аналогично для функции / это означает рассмотрение в уравнении для нее только чле­ нов с производными /.

Конечно, такое рассмотрение является неполным и не решает до конца вопрос о корректности задачи. Тем не менее следует предполагать, что для корректности пол­ ной задачи необходимо локальное выполнение критериев допустимости граничных условий для каждой из составляющих ее задач. Кроме того, такой анализ системы (4.8)—(4.11) является первым шагом на пути к пониманию ее структуры и весьма по­ лезен для построения и исследования численного алгоритма.

Итак, рассмотрим смешанные задачи для двух систем с постоянными коэффициен­

Коэффициенты А, В, С, |х0, ц1, а 2 определены формулами (3.4), (3.15), (3.16), (3.18), (4.15), (4.16)—(4.22), в которых все величины следует считать постоянными.

Гиперболичность системы (I) в направлении оси I следует из хорошо известных

пучок (4.25), построенный для системы (I), имеет простую структуру при любых ве­ щественных о*7-. Следовательно, система (I) имеет всегда полный набор характеристи­ ческих соотношений.

Переходя к граничным условиям, проверим прежде всего допустимость отсутст­ вия их при г) = Н в системах (I) и (II). В соответствии с общей теорией для этого

необходимо, чтобы собственные значения матрицы В и коэффициент а2 были положи­

Таким образом, выполнение условия (4.34) обеспечивает выполнение при ц = Н условия, необходимого для корректности задачи (II) для функции /. На этом иссле­ дование уравнения (II) заканчивается, так как область фактически ограничена только поверхностью г\ = Н. Можно показать, что полученный результат имеет об­ щий характер в том смысле, что поверхность пространственного типа, ограничиваю­ щая область @, пе обязательно должна быть конической и иметь уравнение г\= сопз!. В общем случае характеристика уравнения (II) оказывается всегда направленной во вне области @ь если только-граница @1 есть пересечение поверхности ударной волны

с поверхностью пространственного типа относительно течения за волной. Этим обес­ печивается необходимое условие корректности смешанной задачи для уравнения (II) в области ®1т независимо от направления характеристик во внутренних точках об­ ласти.

Поскольку направление характеристики уравнения (И) совпадает с направле­ нием характеристики нелинейного уравнения для Рчэти замечания относятся и к за­ даче определения самой функции Р. При разработке численного алгоритма целесо­ образно учитывать это обстоятельство и строить алгоритм так, чтобы он был нечув­ ствителен к направлению характеристик уравнения для Р во внутренних точках обла­ сти ®1я

Перейдем к исследованию граничного условия при 1 = 1 для системы (I). Вы­

брав произвольную точку на ударной волне и зафиксировав значения X и / , соответ­ ствующие этой точке, мы получим локальную систему с постоянными коэффициента­ ми, для которой ставится смешанная задача в четверти пространства I > О, ^ < 1 с постоянной матрицей граничных условий р,0. К этой системе уже применимы изло­ женные выше результаты, однако для упрощения выкладок мы предварительно несколько преобразуем ее. А именно, введем вместо 5, Л» 0» * новые независимые пере­ менные х1УХа, х3, I, определенные формулами

скорости к новому базису, причем Ъ есть компонента возмущения в направлении внут-