Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Течения газа около тупых тел. Метод расчета и анализ течений А. Н. Любимов, В. В. Русанов

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

14.64 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 296 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

ренней нормали — V, т. е. 7 Х=	— (6	а 22 и 23 суть компоненты возмущения в
касательной плоскости, т. е.		ГО
		ГО
	(«ЧОт =	Ь 2 .
		1%з.
После выполнения преобразований (4.35) и (4.36) система (4.8) принимает вид
дг	А	I	А	П	(4.39)
д1 - М	А	I	А	П	(4.39)
д1 - М	. - & + А2~^7 +		А з~д17 = ° ’
где А 1 = 91, А 2 = 35, А 3 = К\|е=0 и 91, 35,		К определены		формулами	(3.4), но вхо

дящие в них и, г;, ш являются компонентами скорости II в новом базисе, как и компо ненты 6П. А именно, и есть компонента скорости газа относительно волны по направ лению внутренней нормали, т. е. — — />), а г? и ю — компоненты тангенциаль ной составляющей скорости %- .

Преобразуя соответственно граничные условия и входящие в них компоненты ско рости перед ударной волной, окончательно получим граничное условие для 7, в виде

\|а2 =	0,	где
			О	1	О	0		О
		\1=	О	0	1	0		0		(4.40)
		\1=	и	О	О	Г/2	-	рУ 2/ 2		(4.40)
			0	0	0	еР + ^/2	— ерс2 +		рУ 2/ 2
где	и =
Матрица А х имеет собственные значения							=	и +	Фс, где Ф =	— 1, 0, 1. Так
как и =		— (%„ — П), то в силу				соотношений на волне 0 < и < с. Отсюда следует,

что А х неособенная и имеет одно отрицательное и четыре положительных (кратность Х0 равна трем) собственных значения. Таким образом, число граничных условий рав но числу характеристик, отходящих от границы внутрь области.

В соответствии с общей теорией граничные условия с матрицей р» будут допусти мы, если ядро граничного оператора, т. е. совокупность векторов 2, удовлетворяю щих условию = 0, ни при каких т, ц, ^ (Ке т 0, т] и ^ вещественные) не пере

секается с инвариантным подпространством $ +(т, т], %) матрицы ЗК== А 1\хЕ + щ А 2 +

+ гС43). Собственные значения 9ГОопределяются из уравнения

БеЦЗй — %Е) = 0,

или, так как Бе!

А х ф 0,

1)е1

(тЕ — %Аг +

щ А 2 +

г^А3) =

(4.41)

Решая (4.^1) относительно

получим три корня ^0,

причем корень | 0 тройной

кратности:

Щъ),

^0 = — (#1 +

о У ( Я 1

^ 2)2 -

(С2

и 2) ( л У + С Т -

((71 + 1дг) и

с2 — ы2

где дх = Ке т > 0, д2 =

1ш т +

Л27+

и знак перед корнем совпадает со знаком

его вещественной части.

В соответствии с общей теорией среди корней %при любых т (Кет >

0) и вещест

венных т), (; имеется четыре с Ке 5 > 0 и один с Ке I <

0. Легко проверить непосред

ственно, чте 1Ге 5+ >

Ке т/(и

с) >

Ке

Ке т/(и — с) <

спрттЯСТЬ не

Очевидно, что при и < с

и Ке т >

0 собственные

значения

могут. Однако 5+ совпадает с

| 0, если

Кет =

ггуг'П2 +

1шт =

— (гр; + %ш).

(4.42)

В самом деле, в этом случае д2 = 0 и 1+ = 1о = 1 ^ Т Г 2 = ^ К е т > 0 , | . = - ^ $ - У ^ Г ^ < 0 .

Структура базиса подпространства 3 +зависит от того, выполняются или нет ра венства (4.42). Если они не выполнены, то базис 3 +состоит из четырех собственных

векторов, три из которых принадлежат	и один ^+. Матрица @+, столбцы которой
представляют собой компоненты этих векторов, имеет вид:
\| +		‘ПК		0 '
— щ		1о	0	0
рТ+		0	1о	0	)	(4.43)
рТ+		0	0	0
рс 3ЧГД.		0	0	1

где х1;+ = т — 1+и+ъ (цу + Щ = дх + гд2 — %+и.

Если (4.42) выполнено, то 5 + есть инвариантное подпространство, соответствую

щее единственному собственному значению \| 0 =	При этом оказывается, что ранг
системы для компонент собственных векторов равен	двум, и поэтому для ^	по-

прежнему существуют только три собственных вектора 1. Следовательно, для постро ения *$,+ к ним нужно добавить «обобщенный собственный вектор» д, удовлетворяю

щий условиям (Я)? — 10Е) {д ф 0, (30? — ^0Я)2 д =		0.
Выполнив вычисления, получим матрицу ф1' в случае, когда (4.42) выполнено,
	О'!
			(4.44)
Нам осталось вычислить определители матриц		и	и проверить, что ни
при каких т (Ке т	0), ц, ^ они не могут обратиться в нуль. Мы выполним эту про

верку для случая совершенного газа, когда все величины за фронтом волны, и следо вательно элементы матриц \т А к, сравнительно просто выражаются через «нормаль

ное число Маха набегающего потока», т. е. величину Моо =						— (Ц^ — В)/соо > 0 и
показатель адиабаты		к
Р	2к	,,„2	Р°° —	2кМ1о /л	,,- 2ч
	Л+ 1(^°°			&-\|-1	^°°) Роо,
17 =	- Х ^ Т ( 1 - М ^ 2) 7 0				2М„		(4.45)
				й = - Т ^ - ( 1 - М - 2) Са
с =	УкрУ,		рс =УкрУ~1,		е =
2ер + V =			М ^ ,	2брс3 -	рУ3 =	У3 = М ^ .
Подставляя (4.45) в (4.40) и (4.43) и затем вычислил Вег (рХ>+), получим
2				.................		- г (1 +	м2) ^ +} •
		/с2— 1	■{[\|о5+ - (Л* +		с2)] МооСсс +

1 Это означает, что матрица а1А 1 + а гА х + а*43 может не иметь простой структуры, еслиа* не ве

щественны.

Так как г)2 + 52 = 5+ — ^-Ч/2 и	ЧК+ =	м(5о — 54.)»	то выражение в фигурных
скобках равно
№о - 1.) Мо,Ссо ] ^ = ^ -	(I, - и	-Ь- Я 2^	(1 + м 2 )] .

Очевидно, что вещественная часть выражения в квадратных скобках всегда по ложительна и определитель Бе1(р* ^ +) не обращается в нуль, если 50 ф 5+. Вычисляя

Бе1((1^о)» получим
Оеь (\|* <Л+) = 2И^ ” 7 1} Й {М“ с~ + у С1 + м “ ) 1Г } + 0•
Этим завершается доказательство допустимости граничных условий при									5 =	1-
Нам осталось	рассмотреть границу 5 =				0,	которая,		как известно,	является
характеристической	поверхностью.	Матрицы			р, и	() =		имеют при		5 = 0
следующий вид:
	\1 =	{П1	По	П 3	0	0},
	пх		- П 2	0	0		пх
	Щ		«1	0	щ		По	»,
	Щ		0	0	— По		п3	»,
	рс		0	0	0		рс
	рс"1		0	1	0	-	рс-\

где тгх, тг2, тг3 — компоненты нормали к поверхности тела, определенные формулами

(3.16) при 5 = 0.
Легко видеть, что оба условия Бе1;([А(?+) =/=0 и	= 0 выполнены. Следует, од

нако, заметить, что эти условия, даже как необходимые, были получены лишь для

постоянных коэффициентов, когда матрица А имеет нулевые собственные значения не только на границе хг = 0, но и в некоторой ее окрестности. В случае системы (I) это, вообще говоря, не так, и поведение решения существенно зависит от характера из менения собственного значения вблизи границы. Состояние теории гиперболических систем с переменными коэффициентами в настоящее время не дает возможности про извести более полное исследование.

Остановимся еще на одном вопросе, связанном с корректностью постановки зада чи обтекания. В некоторых методах ее численного решения используется в той или иной форме решение задачи Коши с начальными данными на фиксированной поверхности ударной волны. Из проведенного выше рассмотрения ясно, что в неста ционарном течении такая задача не корректна, так как матрица А х в (4.39) всегда имеет одно отрицательное собственное значение.

Иногда, однако, высказывается утверждение, что в стационарном течении некор ректность имеет место только в той части поверхности волны, где поток за ней дозву ковой, а в сверхзвуковой области задача корректна. Для выяснения вопроса рассмот

рим стационарное решение системы (4.39), удовлетворяющее уравнению
А	л	_0	(4.46)
	' 0X2 ^
0X1 '

и выясним, при каких условиях эта система будет гиперболичной в направлении хг Вычисляя ^(<У — Ху), где V = {1, 0, 0}, получим

9 (а - XV) = Бе1 {(а, - % ) А Х+	о2Л2 + а3А 3} =	Т 3 {Т 3 - с* [<зх - X)2 - 4 + а\|]},
V =	($! — X) и	+ <з3м\

*•<> = — К	и + а 21> + б3и>),
(б2» + бзи>) ± с	(б2» + б3ш)2— (б2+	б*) (с2— и2)
Л± = °1+ ------------------------	йПГЗ------------------------	•

Так как и2 < с2, то, очевидно, всегда можно подобрать сг2 и <г3 так, чтобы выражение под корнем было отрицательно иА,+ не были вещественными. Поэтому задача Коши с начальными данными на ударной волне не корректна и в стационарном трехмерном течении, хотя бы и2 + г;2 + м>2 > с2. Если течение двумерно, т. е. 2 удовлетворяет системе

А' Ж + А^	= 0 и ” =	= О,
то о3 = 0 и
	о21; ± с ] / б 2(и 2+	г;2— с2)
*'±а=<,1 + ------------------------------
вещественно, если и2 + гЯ	с2. Таким образом, только в двумерном стационар

ном течении корректность задачи Коши имеет место, если течение за ударной волной сверхзвуковое.

§ 5. Описание алгоритма численного решения

1. Предварительные замечания. За последние два десятилетия метод сеток или конечных разностей приобрел широкое распространение для решения задач механик ки сплошной среды на ЭВМ. Существует большое количество разновидностей метода конечных разностей в зависимости от способа выбора сетки, построения разностной схемы и метода решения разностных уравнений. Так, например, сетки могут быть рав номерными в выбранной системе координат или неравномерными, связанными с фор мой области или со структурой решения (как в методе характеристик). В зависимости от вида разностных уравнений и способов их решения разностные схемы разделяются на линейные, нелинейные, явные, неявные, итерационные и т. д.

Очевидно, что среди всех этих методов нельзя указать такого, который был бы наиболее эффективен для всех задач механики сплошной среды или даже аэрогидро механики. Эффективность метода для данного класса задач определяется не только их спецификой, но и другими условиями, например необходимой точностью решения, затратами машинного времени, удобством программирования и т. д.

Для многомерных задач весьма существенным является количество машинного времени, необходимое для решения задачи с заданной точностью. Наиболее выгодны в этом смысле разностные схемы, в которых число операций, приходящееся в сред нем на одну точку сетки, не растет при возрастании числа точек. В этом случае зави симость общего числа операции N от обратной величины погрешности решения 1/е имеет степенной характер с показателем, определяемым порядком точности схемы р и числом независимых переменных 5. В самом деле, е = ()(№)и }Г1 = 0(л1/8), где /г — средний размер ячейки сетки и п — число узлов сетки в рассматриваемой 5-мер

ной области. Тогда, очевидно, п =	0(/Г8) = 0(е-^ ), и если среднее число операций
на одну точку не превосходит К,	то N ^ КО(&~*!р).

Схемы, удовлетворяющие этому условию, принято называть экономичными. Так как практически мы всегда имеем дело с ограниченным числом точек, то при оценке экономичности метода имеет значение не только показатель з/р, но и коэффици

ент при в*"8/*5, в частности величина К.

Для гиперболических и параболических уравнений с двумя независимыми пере менными весьма эффективными и экономичными являются неявные разностные схе мы в соединении с методом одномерной прогонки для решения разностной краевой задачи на слое [150, 151]. Однако непосредственное обобщение алгоритма на задачи с тремя и более независимыми переменными приводит к неэкономичному методу мат ричной прогонки, не получившему из-за этого широкого распространения.

Для параболических уравнений с многими переменными усилиями ряда иссле дователей [152—156] были развиты экономичные схемы переменных направлений или дробных шагов. Основная их идея состоит в том, что алгоритм вычисления искомых функций на каждом шаге по времени разбивается на несколько промежуточ ных шагов или итераций. Каждая итерация сводится к решению методом прогонки ря да одномерных краевых задач для разностных уравнений, причем направления прого нок изменяются в зависимости от итерации. Для гиперболических систем второго по рядка с произвольным числом независимых переменных А. А. Самарским [157, 158] были построены и исследованы экономичные разностные схемы переменных направле ний. Неявные схемы расщепления для некоторых гиперболических систем первого порядка с тремя независимыми переменными были построены Н. Н. Анучиной и Н. Н. Яненко [10].

Изложенный в этом параграфе алгоритм решения задачи обтекания тупого тела принадлежит к другому типу итерационных разностных схем, которые можно наз вать схемами постоянного направления. Здесь вычисление функций на слое также сводится к ряду итераций, каждая из которых состоит из одномерных прогонок, но направление этих прогонок одно и то же для всех итераций. Трехслойная схема по добного типа была, по-видимому, впервые предложена в 1954 г. И. М. Гельфандом и его сотрудниками для решения двумерной нестационарной задачи. Двухслойная схе ма для решения задачи о распространении сильной ударной волны в неоднородной атмосфере была разработана в 1956 г. К. И. Бабенко, А. М. Молчановым и В. В. Ру сановым [159]. Аналогичная схема была предложена в 1961 г. К. И. Бабенко и Г. П. Воскресенским [111] для расчета стационарного пространственного обтекания тел сверхзвуковым потоком газа,

Во всех этих работах использование схем постоянного направления было обуслов лено как их экономичностью и удобством с точки зрения реализации алгоритма на ЭВМ, так и достаточной общностью, позволяющей применять их к задачам различ ных типов. Ниже излагается алгоритм численного решения трехмерной нестационар ной задачи о пространственном обтекании тупого тела с помощью разностной схемы постоянного направления. В этом параграфе приводится только формальное описание алгоритма, его исследованию посвящены следующие параграфы.

2.Основные понятия и обозначения. Введем в области @, определенной вы

ше в п. 4 § 3, прямоугольную		сетку	с шагами А^ = к 1л Дц = й2, А0 = к3, АI = т ,
так чтобы М кг =	1, К к2 = Н,	Ьк3 =	0, где М,	К , Ь — целые. Обозначим
ус8— т//2в		— шк1, Т]* — кк21		п
ус8— т//2в	(5 — 1, 2, 3),	— шк1, Т]* — кк21		— ^з»
				5«=1
где яг = 0,1,..., М , к = 0,1,...,		К , I =	0,1,..., Ь; п =	О,1,..;Х(^т ,т]ъ 0ь 1п) = Х ^ х и

Совокупность векторов Хт,ъ,1, У которых одни индексы постоянны, а другие про бегают всю область допустимых для них значений, будем объединять в новые векторы большей размерности и в обозначении последних оставлять только постоянные индек сы. Введем следующие определения:

х кЛ	■	(Х%	’	[Х п\|
х ь = ХХ,*,1	— луч,	х пк = . х 1 о	— КОЛЬЦО	уп _ хо" — СЛОЙ
			(кфО),

Хм,к,1■

Х 1 ь ,

X I

Векторы Хк,1, Х%, Х п представляют собой совокупности величин, зависящих только от указанных при них индексов. Мы будем называть эти векторы информацией о лу че, кольце и слое соответственно. Лучи, для которых к и I не равны О, 1, К или О, Ь соответственно, будем называть внутренними, а все остальные лучи — граничными. Кольца с к Ф 0, 1, К также будем называть внутренними. Кольца к = 1 и к = К будем называть граничными кольцами. Кольцо с к = 0 вырождено и состоит из од

ного центрального луча, причем вместо Хо,0 в него входит Х?,0

Хо = | ~п ) — центральное кольцо. I *о.о)

Из определения слоя следует, что Х п представляет собой совокупность значений век тора X в точках пространственной сетки для одного и того же момента времени {= 1п.

При решении нестационарной задачи основным циклом является цикл перехода от Х п к Хл+1. Для построения алгоритма вычисления Хп+1 по Х п перейдем от диффе ренциальных уравнений (3.15) к разностным путем замены производных разностны ми отношениями. Вместе с граничными условиями (3.17) и (3.18), которые также за писываются в дискретных точках, мы получим систему алгебраических уравнений


для	Хп+1.				ее решения	необходимо		применять метод
	Ввиду нелинейности системы для
итераций. Последовательные итерации для Х п+1 обозначим Хп+0\								где / =	0, 1,... —
номер		итерации	и	ХПт(0) = X й. Для	некоторого	заданного /		будем	полагать
Х п+У) =		Хп+1и, таким образом, цикл по п будет состоять из / циклов по/, т. е. перехо-
дов от Х - 0) к Х"ч(3'+1)-
ции	Структуру разностных уравнений выберем так, чтобы цикл вычисления итера
	естественным		образом распадался		на пиклы	вычисления		каждого	луча от
дельно,		причем луч		ХъУ3+1) определялся бы по значениям			Х^Л+е,,		Х?+еь1+е„
где ех и е2 принимают значения —1, 0,1, но так, что I ех \| + \| е2 \| <; 1 (схема «крест»).
Лучи с ех2 + е22 Ф 0 назовем соседними для луча ех = е2 =							0.
	Сказанное относится только к вычислению внутреннего луча. Вычисление гра
ничных		лучей и центрального имеет некоторые особенности,					указанные ниже.

3.Разностная схема для внутреннего луча. Для сокращения записи разностных

уравнений введем операторы сдвига Тв(з = 0, 1, 2, 3) по индексам тг, т ,			к, I соответ
ственно и оператор перехода к следующей итерации Р. Например:
= Хтдм;	= х " +1, ,, рх% & =	и	т. д.

Очевидно, что все операторы коммутируют между собой и естественным образом опре

деляются их	степени,		причем	=	Р° = /, где I		— тождественный оператор. Кро
ме того, Р3 =		Г0.
Переход от дифференциальных уравнений к разностным произведем с помощью
замены:
						{~бг ) т+./.,м= "5Г2х1Л?'\|+1		’
						( д Х \	1 Из д гП	(5.1)
/	^	^ 1 * А		У"		( д Х \	1 Из д гП
( - й Г Л и у , X I =			2 ^ Т *			( ж )т ъ . * Г я 2 7 ^ Лв' ^ т ’м ’
где						ОаХА	ДзХз
		Д«.5 = (Г»+		/ ) {	* ' - / -	ОаХА	ДзХз
		Д«.5 = (Г»+		/ ) {	* ' - / -	“ 4”	4~~
								(5.2)

Дад. = (« ^ + р/)(Г 1 + /)б „

Д0,, = (а Я + р /)(7 ’1 + / ) 6е.

Здесь а = 1 —р, р, <г2, а 3 — положительные параметры, 6„ =

Т2— Т2 , 69 =

Т3 — Т2г,

Лад =

Т2 ~ 2 1

Т?,бое = Г -

2/ + Г3'1.

Подставляя (5.1) в (3.15), получим систему пяти разностных уравнений для каж

дого

набора (тп,

/с, /,

тг):

{ ^ Д,,;Ч1+

д , . , +

+ -X в

д «4

+ г т г д а . ,

= о.

(5.3)

Коэффициенты

системы

вычисляются по

значениям их аргументов (формулы

(3.4) и (3.21)),

взятых в точке (тп +

1/2, /с, I) и усредненных по значениям при п и

п + (/):

« д а

, = 4 -

/ )(?,1 + / ) *«.*.»•

(5-4)

По аналогичным формулам вычисляются и величины

РпК1т

= 4

1 ) К и

<Хлт) = СЙ’7, = 4 - (Г « +

7) 6 *’'-

(5-5)

Производные от

по ц (см. п. 9) и 0 вычисляются по формулам

?г№ 2) =

.+ I) (Т2 -

Т?) Р1„

(5.6а)

(Р*+ 1 )(Т з -

7 ? )

(5.66)

а производные Сг„ и Се заданной функции О вычисляются точно.

0 ,1,...,

М — 1 со

Совокупность систем (5.3) при к =

сопз!,

I =

сопзЪ и

иг=

держит 5М уравнений для

каждого

луча.

Недостающие 5

уравнений на каж

дом луче получим из граничных условий (3.17)

(3.18),

записанных

для точки

(М ,к,

I, п + (;*/2))на волне и точки (0, к,

I, п +

(/ / 2)) на теле. Входящие в гранич

ные условия величины ^2, ^г,

относятся к точке (М, к, 1уп + (/)), а искомые значе

ния X

и О — к

точке

(М , Л, /,

п +

(/ +

1)).

Система линейных разностных уравнений (5.3) вместе с граничными условиями

решается

методом

прогонки

(п. 6, 7 и 8),

в результате чего определяются

луча.

Р Р х ! +1). Затем вычисляется Р Щ 0+1)

(п. 9).

На

этом заканчивается 1расчет

Разностная схема для граничных лучен. Для лучей граничных колец к == 1

и к = К применяется алгоритм, описанный в п. 3, причем недостающие кольца с /с = 0

и к =

К + 1 формируются, как

описано ниже.

Каждый луч

Хо^а) (I = 0 ,1 , . . . , Ь)

кольца ХЦ'^ образуется из центрального

луча Хо^00). Вектор

Хт,о,1 получается из вектора Хт,о,о

с помощью формул, обрат

ных к (3.24) при 0 =

0г, т. е. вычисляются компоненты скорости в цилиндрической

системе координат, а давление и плотность не изменяются. Значения функций

С, со, ф, Р у

Р( также сохраняются и остаются одними и теми же для всех I (при этом

<о01 =

0). Производные от этих функций при ц =

0 в разностную схему не входят и

потому для лучей Х 0гг не определяются.

Каждый луч Хк+и получается из лучей Х'кЯл и Х к®п

путем линейной экстра

поляции:

уЯ+(;)

_ ПуП+0‘)

у-Л+О)

Лк+1,1

— *Л К,1 — Лк-

1,1-

Экстраполируются и функции Р и Р(тЗаданные функции $, С, со, ^ можно также экс траполировать, но более целесообразно вычислять точно.

3) Для лучей с I = 0 и / = Ь, т. е. при 0 = 0 и 0 = 0, недостающие лучи с но мерами — 1 и Ь + 1 получаются путем использования граничных условий периодич ности или симметрии.

5. Разностная схедоа для центрального луча. Построение ее производится ана логично описанному выше построению (5.3) путем перехода от системы (3.25) к систе ме разностных уравнений

Я-1-}- 2хх ^тп+7^0,0Д5,7+1 Н 2~						Дх,7 +		ИЗ Лп+О/2)	у п	= 0. (5.7)
Я-1-}- 2хх ^тп+7^0,0Д5,7+1 Н 2~						Дх,7 +		“2“ 1^771+V*.о,о	Лт,0,0	= 0. (5.7)
Здесь и далее	векторы			со значениями к2 + I2 Ф 0 получаются из соответст
вующих	с помощью формул (3.24). Операторы, входящие в (5.7), определяют
ся формулами,	аналогичными			(5.2):
		Дм = (Тг +. I) [Р* - /				-	^ Ь	хх —- ^ б * } ,		(5.8)
			Ди=[«Р,' +РЛ(Т,1-/))							(5.8)
			Д,7 = [?’+РЛ(^1 +Л
			Д,/.>=[«^ + РЛ				+
Операторы 6Х, бу, бхх, буу определены формулами:
			бх — 2Н2
										(5.9)
			бXX
			бчи
Коэффициенты уХ11, ухи т. д. определяются по значениям Хт,и,									у'т,и- Формулы для
вычисления Ух,1>Ух илт - Д- могут быть различны и приводятся в п. 10.
Матрицы М, В, С вычисляются					по значениям			X и значениям		1Х, 1 у в
точке ( и + / 2, 0, 0,		и +	(7/2)). Для вычисления					последних величин используются
формулы (3.28) и (3.29):
	(	=		( С ^ С ^ {ф„ {р0\|( _				с 0,/) + (Р, -	с 0) ф „ ,,с ^ 2>,
					\ дх /о'м+7 ,
	/	а ч	/ ,		' ^	у*"»				(5.Ю)
	/	а ч	/ ,	г	' ^	/0^.+»/, *
		Зг\»+0/2)		г	.
		......		8Л^	1 +	П(Р> + /)бх2,„ло,
		* / т.'А.о ~		8Л^	1 +	П(Р> + /)бх2,„ло,
	/	пч-'А.о		1
	/	Эгг\ "■>(//!)		1
		ду )т+у„о— Мз(			1			6н-гп.о.о,
	1 ^
где 6Х п б„ те же, что и выше, а г",*,, =						=	д яА, Соз(ои .

Формулы для производных "|т, 1хЛу, входящие в граничные условия, полу чаются из формул (5.10) и (5.11) заменой индекса т-\- г/2 на т = 0 или т = М ж индекса п + (//2) на п + (/) либо на п + (/ + 1).

6.Решение системы уравнении на внутренних н граничных лучах методом про

гонки. Запишем систему уравнений (5.3) относительно										в виде:
	_П+(У/2)	хгП+О+1)		: ^ЯтО'/2)			хгП+041)	п+0/2)			(5.12>
где											(5.12>
где	а — Е -\|- 2&Х1^4,					Ъ = Е		2аХхЛ,			(5.13)
	а — Е -\|- 2&Х1^4,					Ъ = Е		2аХхЛ,			(5.13)
	С2Х2		СзХЗ			_1					6о) X
				боо) Е ---- (Койт^У.Д-,! Ьп +-							6о) X
							2			пп-КУ/г)
X (а/»' + р/)(7’1 +		/)]	_				/)} Я			пп-КУ/г)
X (а/»' + р/)(7’1 +		/)]	_				/)} Я		^ - г т Г Ж , -
Граничное условие дляХ^^.Т^ ПРИ 5 =						0, т. е. при т			=	0, имеет вид:
			II	у п+0'+1)	_		а				(5.14)
где			Н-О^О.Тс’,/		“		60»				(5.14)
где										_	цП+О)
II _ /с7г+0‘)	йп+(Я		(г-ЧчУУНи				0,	0},		_	цП+О)
Ро — 152,0,7с,/»	Ъг,0,К',1у		(г-ЧчУУНи				0,	0},		ёо —	— 5о,Тс,/

Первый этап решения системы уравнений на луче методом прогонки (прямая про гонка) состоит в вычислении коэффициентов соотношений вида (5.14) для т == 1,2,

..., М. Вычисление производится последовательно, начиная от т = 0,				с помощью
уравнений (5.12).			/с, I, п + (/ + 1), п + (//2),
Опуская для простоты	записи	индексы	/с, I, п + (/ + 1), п + (//2),	предполо
жим, что при некотором т <	М известны коэффициенты [хт и §т соотношения:
		=	8т-	(5.15)
Рассмотрим уравнения	(5.12)	при 1 =	^т+,/2
а7П+уяХтгн1		^п+у2Хт = Ят+1Д.		(5.16)
Исключая из (5.15) и (5.16) все компоненты Х т , получим соотношение
	^771+1^771+1 — ё771+1•			(5.17)

Любой способ исключения приводит алгебраически к одному и тому же соотно шению (5.17) с точностью до умножения на отличный от нуля множитель (см. § 7). Целесообразно, однако, производить исключение с учетом специфики матриц ат+у2 и Ьтт1+у2, что позволяет существенно повысить экономичность алгоритма. Из (3.4), (3.15) и (5.13) следует, что матрицы ат+у* и Ьт+./2имеют следующий вид:

		(Ь о		0
Ьтп+у, =		10		Ьо
Ьтп+у, =		1<0		0
		Ьд1		Ъьг
		к	1	Ъьг
0 О	0		0	01
0	0 О		0	02
Ятп+у* — 0	0		0 о	03
041	042		#43	00
051	052		053	0

Ьо

Ь * з

Ьъз

Ьг

Ъг

ос

Ьо

0 0 771+У*

(5.18)

Ьо

1Л 1

я а

л = « я 3

я 4

,Я 5]

причем

Ьи = Р2с2Ь5;	Ь38 =	р% ,	з =	1, 2 , 3;
			&=	4, 5,
	=	^*,	7 =	2, 3.
Легко проверить, что так как в граничном условии (5.14) коэффициент [хб10 = 0,
то в силу структуры матриц а, Ь	р517П= 0 для всех тп. Поэтому можно упростить пря

мую прогонку, отбросив последнее уравнение системы (5.16), и вычислять тол1Ко пер вые четыре коэффициента.

Обозначив
%	0	0	«1	[Ьо	0	0	Ы
0	а0	0	а.	0	*>о	0	Ы
Ят+7* = 0	0	а0	а3	^ т + 7 * = 0	0	Ьо	Ь3
«41	Д 40	а43	я0 т + 7 ,		^42	&3	Ь0

(5.19)

иях

V	я =	Я 2
’ ,	я =	И'т — { ^ Ь т Н'г, т» 1*3,7711 ^4, т }»
IV		Я з

Р.я4.

получим вместо (5.16) и (5.17)

	^771+7^771 4” Д771+7				--- ^771+7»»	(5.20)
			И'т^771 =	§тш		(5.21)
В § 7 показано, что рт+1 и #т+1 выражаются формулами
__	Ит (Р Д)тт1+7»				_ Ит ФД)т+7«— ^тДт+7,	/с
^т+1	II Р т(М т+./,\|\|	’	?т+1		\|\|?т (Р а)т+7,И
где Рт +7* — транспонированная		матрица		алгебраических дополнений		элементов
^771x721 ^т+7а — определитель Ът+1/9,					обеспечивает ограниченность коэффи
Нормирование р,т+1, включенное в (5.22),

циентов соотношения (5.15) для всех т. В качестве нормы может быть принята лю

бая из норм конечномерного пространства, например Пи-11 = тах I И* !•

Выполнив выкладки, получим выражения для элементов матриц ат+ч9 и Ьт+уя и рекуррентные формулы для вычисления коэффициентов прогоночных соотношений (индексы у элементов матриц опущены):

Ь0 = 1 — 2ащ (\|т +				и
Ьг ------2«хх		ь	с2 =	к (рр-1) ^ / ^ . г.
Ь.2 =	- 2«хг(р~%)тУ!Х I,		«0 =	2 - Ъ0,
Ь3 =	— 2аХ1(р-1Г"1\|,)т+'А?)»с, I,
Д =	Ь0{ ^ - р 2с2(Ь?+Ь* +		^)},
Рц =	{К - Р2сг (Ь1+Ь1)},
р22 =	{ ь ? - Р2с2(ьг +	ь!)},
Рзз =	{ ^0 —р2С* ( ^ 1 +	^*)}>

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 296 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги