книги / Течения газа около тупых тел. Метод расчета и анализ течений А. Н. Любимов, В. В. Русанов

ются особенности типа деления на нуль; в процессе численного решения возникает концевая неустойчивость (неустойчивость вблизи свободной границы). В [23] резуль­ таты расчетов представлены в виде координат тела, звуковых линий и распределе­ ния давления по поверхности тел.

В 1958 г. Р. Вальо-Лаурин и А. Ферри предложили численный метод решения об­ ратной задачи [71]. Метод предполагает известным распределение скорости на оси •симметрии и на звуковой линии. Система основных дифференциальных уравнений заменена системой конечно-разностных уравнений. Решение строится шаг за шагом от ударной волны к телу, на каждом шаге удовлетворяются условия на звуковой линии и на оси симметрии и определяются искомые параметры течения. Приведен один пример расчета течения за параболической ударной волной, дано распределение дав­ ления по поверхности и некоторые другие данные о потоке. В работе [72] предложен численный метод решения обратной задачи, основанный на предположении линейного изменения функций между поверхностью тела и ударной волной. При этом давление на поверхности тела определено методом Ньютона.

В 1961 г. С. К. Годуновым, А. В. Забродиным, Г. П. Прокоповым предложена конечно-разностная схема решения прямой задачи об обтекании затупления [73]. Для решения этой задачи впервые применено установление решения по времени. В [73] конечно-разностные формулы записаны на основе законов сохранения. Приведен пример расчета обтекания сферы при Моо = 4, даны координаты ударной волны и распределение давления и плотности вдоль ударной волны и вдоль поверхности тела.

В 1962 г. Р. Вальо-Лаурин предложил схему решения прямой и обратной задач с помощью соответствующей деформации координат на основе идеи метода Пуанкаре — Лайтхилла — Го [63]. Метод позволяет получить решение прямой и обратной задач, если заданы приемлемые исходные данные. В работе приведены достаточно подробные данные о поле течения около диска, расположенного нормально к набегающему потоку при Моо = 4.76, и данные об обтекании несимметричного тела.

В 1964 г. В. В. Русановым предложен конечно-разностный метод решения прямой задачи об обтекании затупления [74]. При постановке задачи использован принцип установления решения по времени. В качестве примеров в [74] даны результаты расчетов обтекания идеальным газом сфер и одного тела более сложной формы. В [74] приведены также форма ударных волн и звуковых линий около сфер и некоторые другие результаты.

В 1964 г. Г. Ф. ТеЛениным предложен численный метод решения прямой задачи. Он является по существу модифицированным методом прямых и сводит задачу интег­ рирования основной системы уравнений к интегрированию некоторой аппроксимиру­ ющей ее системы обыкновенных дифференциальных уравнений [75]. Аппроксимация функций в [75] проведена по направлению течения. Для расчета некоторых случаев течений такая аппроксимация приводит к хорошим результатам. Методом Г. Ф. Теленина проведено большое число расчетов течений газа около различных тел. В [75] приведена форма ударных волн и звуковых линий для нескольких тел (эллипсоид, тела степенной формы, овал Кассини) и распределение давления по поверхности тел при Моо = 3. В [76] дана форма ударных волн и звуковых линий около сферы, эллип­ соидов, тел типа торца со скругленными углами, тел с вогнутым в окрестности крити­ ческой точки контуром. Для эллипсоида (Ь/а = 3) при Моо = 3 приведены значения всех газодинамических функций на трех лучах (со= 0; 0.5592; 0.8567) в шести точках на каждом луче. В [77] приведена форма ударных волн и звуковых линий около сферы, кругового цилиндра и эллипсоида (Ъ/а = 2) при малых числах Моо(1.2 ^ М о о ^

2), а также распределение давления вдоль поверхности этих тел.

В работе [78] изложен прямой метод расчета обтекания плоских и осесимметрич­ ных тел на основе принципа установления по времени. Внутренние точки течения рас­ считаны по схеме Лакса. Приведены некоторые результаты расчета обтекания сферы и цилиндра, точность расчетов не указана. Дано сравнение с расчетами О. М. Белоцер­ ковского. Результаты работы [78] значительно отличаются от результатов, получен­ ных по методу О. М. Белоцерковского.

В работе [79] изложен метод расчета обтекания затупленного тела, причем для решения прямой задачи использована итерационная схема решения обратной задачи € подгонкой степени затупления тела. Для применения метода тело не может быть затуплено больше, чем сфера. В [79] приведено распределение давления по сфере и эллипсоиду и даны звуковые линии.

2. Пространственное обтекание затупления. Определение течения в простран­ ственном случае представляет значительно более сложную задачу, чем в осесиммет­ ричном или плоском. Поэтому к настоящему времени опубликовано сравнительно не­ большое число работ, посвященных этим исследованиям.

В работе Р. Вальо-Лаурина и А. Ферри изложен численный метод решения обрат­ ной задачи за отошедшей от тупого тела ударной волной [71]. Метод основан на лине­ аризации основных уравнений газовой динамики по углу атаки и на предположении о максимальном значении энтропии на поверхности тела. В работе [80] предложен дру­ гой метод расчета течения за отошедший от тупого тела ударной волной (обратная задача). В этом методе также сделано предположение о максимальном значении энт­ ропии на поверхности тела.

Работа Р. Свигарта посвящена решению обратной задачи[81]. Основные уравне­ ния заменены системой обыкновенных дифференциальных уравнений путем разложе­ ния искомых функций в степенные ряды по углу атаки и одной независимой перемен­ ной. В [81] рассмотрено осесимметричное течение около сферы и эллипсоида. Резуль­ татов расчетов в работах [71, 80, 81] фактически не дано. В работе [82] предложен ме­ тод решения обратной задачи. Он основан на разложении функций в ряды. При раз­ ложении в ряды по углу атаки удержаны члены первого порядка. Уравнения в част­ ных производных сведены к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Приве­ дены результаты расчетов течения около затупления для сферической ударной волны при Моо = 4 и Мое = оо: форма ударных волн и звуковых линий и распределение дав­ ления по поверхности тела при а = 10°.

В 1964 г. А. Н. Минайлос для решения задачи о пространственном обтекании за­ тупления применил метод интегральных соотношений [83]. В работе [83] искомые функ­ ции аппроксимированы полиномами как по окружной координате, так и поперек ударного слоя. При расчетах этим методом возникают значительные вычислительные трудности, связанные с решением многопараметрической краевой задачи для систе­ мы обыкновенных дифференциальных уравнений, и трудности расчета в окрестности особых точек. В [83] приведена форма ударных волн около сферы при Мм = 6, а = = 3° и а = 8° и распределение давления по поверхности круглого диска при М» =

=5.8, а = 8°.

В1964 г. Г. Ф. Телениным и Г. П. Тиняковым предложен численный метод рас­ чета трехмерных течений около затупления [84, 85]. В [84] основная система уравне­ ний газовой динамики заменена аппроксимирующей ее системой обыкновенных диф­ ференциальных уравнений. Для этого газодинамические функции представлены по одной переменной интерполяционными многочленами, а по другой — тригонометри­ ческими полиномами по косинусам или синусам кратных углов. Искомая поверхность ударной волны тоже аппроксимирована. Таким образом, первоначальная задача ре­ шения уравнений в частных производных сведена к краевой задаче для системы обык­ новенных дифференциальных уравнений, приближенно заменяющих исходную систе­ му. Процесс решения аппроксимирующей системы уравнений состоит в подборе 'большого числа параметров. Подбор параметров проведен способом «пристрелки». Этот численный метод позволяет получить удовлетворительную точность решения в дозвуковой области течения, если тело имеет не сильно изменяющуюся кривизну. Необходимость гладкости искомых функций является существенным условием для использования метода еще и потому, что из-за особенности на поверхности тела (об­ ращается в нуль знаменатель аппроксимирующей системы) функции на поверхности тела приходится получать с помощью экстраполяции. В [84] даны распределение дав­ ления по поверхности различных эллипсоидов и форма ударных волн. В [85] приведе­ но большое число графиков: распределение давления по поверхности различных эл­

липсоидов п форма ударных волн около них, распределение параметров газа между поверхностью эллипсоида и ударной волной. Таким образом, в работах [84, 85] впер^ вые получена и приведена значительная информация о поле пространственного те­ чения около затупления.

В 1966 г. В. В. Русанов предложил конечно-разностный метод решения полных уравнений газовой динамики [86]. Метод основан на использовании принципа установ­ ления решения по времени. Позднее этот метод был опубликован в [87], где такжеданы примеры расчетов пространственных течений: форма ударных волн, распреде­ ление плотности и давления вдоль поверхности несимметричных тел, линии постоян­ ных значений давления, числа Маха, энтропии. Результаты расчетов пространствен­ ных течений, представленные в [86, 87], получены для тел, кривизна которых изме­ няется существенно.

Вработе [88] рассмотрено обтекание обратного конуса со сферическим затупле­ нием. Задача решена численно, конечно-разностным методом по схеме, предложенной Лаксом, с размазыванием ударной волны на 4—5 счетных точек. Основные уравне­ ния газовой динамики записаны в виде законов сохранения и решены на основе прин­ ципа установления. В качестве примера приведены результаты расчета течения около носовой части командного отсека космического аппарата типа «Аполлон». Носовая часть аппарата выполнена в виде сферического сегмента. В [88] приведены линии то­ ка, форма ударных волн и звуковых поверхностей.

Вработе О. М. Белоцерковского [52] даны примеры расчета методом интеграль­ ных соотношений двух эллипсоидов при Моо = 3, Моо = 10, а == 5° и а = 8°.

Работа [89] посвящена решению обратной задачи по определению течения газа около затупленного тела при больших углах атаки. Результаты численного решения

впроцессе расчета сглажены, чтобы избежать возникающей неустойчивости счета. Параметры течения на поверхности тела вычислены путем линейной экстраполя­

В работе [90] для расчета пространственного течения около затупления применен: конечно-разностный метод, основанный на принципе установления. Расчет точек на ударной волне проведен методом «проб и ошибок». В [90] приведены графики распре­ деления отдельных функций по поверхности эллипсоида с отношением осей 1.5 : 1..

3. Осесимметричные сверхзвуковые течения около тупых тел. Исследования осесимметричных течений около тупых тел большого удлинения представляют зна­ чительный теоретический и практический интерес. Несмотря на актуальность этих исследований и кажущуюся, на первый взгляд, простоту осесимметричных течений,, они недостаточно изучены даже для случаев обтекания тупых тел идеальным совершен­ ным газом. Так, например, во многих простых случаях осесимметричных течений не­ известен закон изменения параметров газа между поверхностью тела и ударной вол­ ной на различном удалении от затупления, не определена асимптотика течений. От­ сутствует также удовлетворительное и обоснованное объяснение обнаруженных ра­ нее эффектов, встречающихся в осесимметричных течениях: перегибов ударных волн,, механизма, определяющего характер изменения параметров вдоль поверхности тел,, условий образования «висячих» ударных волн и т. д. Кроме этого, до сих пор опубли­ ковано очень мало фактического материала, определяющего полностью и достаточно­ точно осесимметричные течения около тупых тел большого удлинения.

Подробные сведения о всем поле осесимметричного течения имеют самостоятель­ ное значение и, кроме того, необходимы для постановки и решения задач о течениях в пограничном слое и следе, для определения тепловых потоков и других задач.

Назовем основные работы, посвященные исследованию осесимметричных тече­ ний идеального, совершенного газа (к = 1.4) около тупых осесимметричных тел боль­ шого удлинения. Заметим, что в последние годы появилось также много работ, в ко­ торых различными способами учитываются физико-химические процессы, происхо­ дящие в газах при высоких температурах, Однако в этих работах не снимаются нере­ шенные вопросы, возникшие при изучении течений совершенного газа.

В работе [112] этот метод использован для расчета течений около конусов, имеющих сферическое затупление. Начальные данные для расчета сверхзвуковой области те­ чения взяты из работы [58]. Результаты расчетов в [112] представлены графиками из­ менения давления и плотности между ударной волной и конусом на различных рас­ стояниях от затупления.

Вработе [ИЗ] приведены отдельные результаты расчетов обтекания газом кону­ сов и цилиндров, имеющих сферическое затупление. Начальные данные для расчетов получены с помощью метода [74].

Вработе Трауготта [114] сделана попытка использовать метод интегральных со­ отношений для решения задачи осесимметричного обтекания затупленных конусов. Однако эту попытку нельзя считать успешной. Работа [114] интересна постанов­

кой ряда вопросов о структуре поля осесимметричного течения около затуплен­ ных тел.

В работе [14] приведены систематические результаты расчета осесимметричных течений около конусов, имеющих сферическое затупление. Для этого использован ме­ тод характеристик. Начальные данные получены после решения обратной задачи ме­ тодом, аналогичным [71].

Выше были названы основные из опубликованных работ, посвященных исследо­ ванию течений идеального совершенного газа около затупленных тел большого уд­ линения. Почти во всех работах рассмотрено обтекание конусов или цилиндров, име­ ющих сферическое затупление. Другая, характерная почти для всех работ черта —ре­ зультаты расчетов даны в виде графиков распределения функций вдоль поверхности тел и почти совсем не приводится распределение параметров газа между поверхностя­ ми тела и ударной волны. Третья характерная и общая для всех работ черта — зави­ симость возможности и точности определения сверхзвукового осесимметричного те­ чения от точности решения задачи об обтекании затупления.

4. Пространственные сверхзвуковые течения около тупых тел. Пространствен­ ное течение около тупого тела, имеющего значительное удлинение, разделено звуко­ вой поверхностью на две области: дозвуковую и сверхзвуковую. Обзор работ, в кото­ рых рассмотрено течение в первой области, дан во втором пункте. Здесь перечислим основные работы, посвященные изучению течений только в сверхзвуковой области.

В настоящее время не существует аналитических методов изучения пространст­ венных сверхзвуковых течений, построенных на основе полных уравнений газовой динамики. Поэтому ниже не названо ни одного аналитического метода решения зада­ чи определения сверхзвукового пространственного течения.

Отметим, что возможно экспериментальное изучение пространственных сверх­ звуковых течений газа [115, 116]. Постановка и проведение таких экспериментов тре­ бует значительного времени и больших материальных затрат. Однако всякая досто­ верная информация ополе течения, полученная в результате эксперимента, является весьма ценной.

Внастоящее время численные методы, опирающиеся на использование ЭВМ, предоставляют наибольшие возможности для исследования пространственных сверх­ звуковых течений.

Вряде работ, посвященных численному исследованию пространственных тече­ ний, предложены интересные расчетные схемы и высказаны полезные идеи, но не при­ ведено никаких конкретных данных о течениях. Такие работы в настоящем пункте не перечислены. Ниже не названы также работы, основанные на весьма сильных допу­ щениях, хотя многие из них и сыграли значительную роль в развитии более точных ме­ тодов исследования сверхзвуковых пространственных течений. К таким, например,

можно отнести работы [117—120], в которых сделано предположение о потенциальнос­ ти сверхзвукового течения.

В 1964 г. К. И. Бабенко, Г. П. Воскресенский, А. Н. Любимов, В. В. Русанов в работе [15] исследовали и обосновали метод, предложенный в [111], и применили его к расчету пространственных сверхзвуковых течений около острых тел. Метод [15] без всяких изменений может быть использован и для расчета сверхзвуковой области

течения около тупых тел. Для этого необходимо иметь начальные данные в некоторой плоскости П, имеющей пространственный тип. Некоторые расчеты сверхзвукового обтекания затупленных по сфере конусов проведены в [ИЗ]. В работах [121—123] проведено исследование пространственного сверхзвукового поля течения около за­ тупленных по сфере конусов и параболоидов. При этом в алгоритм, изложенный в [15], не внесено принципиальных изменений. Однако в работах [121—123] использо­ вана специальная программа обработки результатов, и, что более существенно, в [87] получены точные начальные данные, которые и позволили провести исследование сверхзвуковой области течения.

Вряде работ, посвященных исследованию трехмерных сверхзвуковых течений, использован линеаризованный метод характеристик. Суть его состоит в том, что про­ странственное течение рассматривают состоящим из двух потоков — основного из­ вестного п возмущенного неизвестного. Возмущения считают малыми. Поэтому про­ водят линеаризацию точных уравнений пространственного течения, в результате по­ лучают уравнения для возмущений, которые и решают затем численно с помощью метода характеристик. Линеаризованный метод характеристик дает ограниченные воз­ можности для расчета трехмерных течений. Например, при линеаризации уравнений по углу атаки таким методом можно пользоваться до углов атаки а = 2 ~ 5°. Заме­ тим, что при этом должно быть точно известно основное течение при а = 0. В качест­ ве примера работ, использующих для расчета течений линеаризованный метод харак­ теристик, укажем [124, 125].

Вработах Моретти [126] кратко изложен метод расчета трехмерных течений, ос­ нованный на использовании двумерного метода характеристик (полухарактеристическая схема). Для этого основные уравнения записаны таким образом, чтобы левые части содержали функции только двух независимых переменных, а правые части счи­ таются известными. В [126] перечислены примеры течений, рассчитанные этим спосо­ бом, но не приведено результатов расчетов.

Вработах Ю. Н. Дьяконова [127] изложены некоторые результаты расчетов пространственного обтекания конусов, имеющих сферическое затупление, методом работы [111]. Для случаев расчета течений с учетом равновесных физико-химических реакций в эти программы вставлены подпрограммы расчета термодинамических функций.

В1964 г. 3. Д. Запряновым и В. Б. Миносцевым разработана полухарактеристическая схема расчета пространственного обтекания тел сверхзвуковым потоком газа

[129].Характеристический коноид проведен вверх по потоку и применена сквозная аппроксимация полиномами функций на слоях. В расчетах использовано пять мери­ диональных плоскостей и восемь расчетных точек между ударной волной и телом.

Рассмотрено обтекание затупленного конуса, рк = 20°, а = 5°. Приведена форма ударных волн и распределение давления по поверхности.

В 1965 г. О. Н. Кацкова и П. И. Чушкин разработали также полухарактеристическую схему расчета пространственных течений [130]. Ими использована тригоно­ метрическая аппроксимация функций по угловой переменной и с помощью ее исклю­ чены из рассмотрения соответствующие производные. Решение строится по слоям, перпендикулярным оси симметрии. Разработанная схема применена для изучения течений около затупленных конусов и около тел с протоком. В [130] приведены при­

для первого примера и давление между поверхностью тела и ударной волной.

В 1965 г. Ю. Н. Подладчиков использовал для расчета трехмерных течений метод характеристик без упрощающих предположений [131]. В работе [131] за основу взят метод характеристик, разработанный в 1951 г. В. В. Русановым [132]. 10. Н. Под­ ладчиков внес в него ряд существенных усовершенствований и впервые реализовал метод на ЭВМ. В [133] рассмотрен ряд примеров сверхзвукового обтекания тел под углом атаки: расчет обтекания конусов со сферическим затуплением (Моо = 4, рк = = 9°30', а = 5° и а = 10°)—и приведен пример расчета обтекания тела с изломом об-

МЕТОД РАСЧЕТА

§ 3. Постановка гадачно нестационарном обтекании тупого тела

1. Дифференциальные уравнения и граничные условия. Рассмотрим тупое тело, по­ мещенное в поток газа, параметры которого будем предполагать известными функци­ ями точки пространства и времени, причем такими, что скорость потока относительно некоторой, раз навсегда фиксированной системы координат всегда сверхзвуковая. Будем предполагать, что тело может совершать произвольное движение относитель­ но системы координат, однако таким образом, что средняя скорость его движения за достаточно большой промежуток времени т равна нулю. В частном случае тело мо­

жет быть неподвижно в выбранной системе координат. Эк­ сперимент показывает, что в этом случае перед телом обра­ зуется ударная волна, отделяющая область течения, в кото­ рой проявляется влияние тела, от всего остального потока (фиг. 3.1). Эта примыкающая к телу область возмущенного те­ чения изменяет с течением времени свою форму вследствие движения ее границ — поверхностей тела и ударной волны.

Если течение близко к стационарному, то непосредствен­ но за волной оно будет дозвуковым в тех точках, где угол между поверхностью волны и вектором скорости набегающе­ го потока Ноо больше некоторого значения, зависящего от числа Маха Моо в этой точке. Если тело ограничено в направ­

ченной ими. Тогда течение в любой момент времени т > 0 в области @т, образованной новыми положениями границ, полностью определяется заданием движения поверх­ ности тела. При этом поверхность тела не обязательно должна перемещаться как це­ лое, но может деформироваться во времени по заданному закону. В дальнейшем мы будем рассматривать только такие течения, в которых в области @т не возникает сильных ударных волн, вызванных движением тела или начальными данными. Точ­ нее, будем понимать под областью @т ту часть возмущенной области, в которой тече­ ние непрерывно. Если течение близко к стационарному, то область @х содержит в себе дозвуковую область в головной части и простирается в сверхзвуковую область

на расстояние, зависящее от формы тела и параметров набегающего потока. Сущест­ венно, что возможное нарушение непрерывности ниже по течению и даже возникнове­ ние новых дозвуковых зон не влияет на расположенную выше область непрерывно­ сти @т.

Для определения течения в области @т необходимо найти решение нестационар­ ных уравнений газовой динамики, удовлетворяющее начальным данным при т = О,, условию непротекаемости на цоверхности тела и соотношениям на ударной волне, положение которой заранее неизвестно и подлежит определению вместе с течением. Чтобы аналитически сформулировать эту задачу, введем в пространстве некоторую ортогональную систему координат (д1э д2, д3) и запишем уравнение нестационарного течения газа в следующем общем виде:

Здесь X — искомый вектор, составляющими которого являются компоненты (ц, V, ш) вектора скорости II по координатам д1? д2, #3, давление р и плотность р. Матрицы 5Ц,

ударной волны и на плоскость, касательную к ней, И — скорость перемещения удар­ ной волны по направлению нормали, к — энтальпия единицы массы газа. Соотноше­

где п — нормаль к поверхности тела, Д — скорость перемещения поверхности тела по нормали. Здесь и в дальнейшем мы предполагаем, что форма и положение поверх­ ности тела могут изменяться со временем.

Выбор системы координат не имеет принципиального значения и определяется в основном соображениями удобства. При теоретическом рассмотрении удобно ис­ пользовать наиболее простую, декартову систему координат ^ = 2, = ж, д3 = у с осью 2, направленной по вектору скорости набегающего потока. При расчете об­ текания тел вращения и близких к ним по форме более удобна цилиндрическая си­ стема координат (2, г, ср) с осью 2, проходящей внутри тела. В этих двух случаях мат­ рицы Я, 35, К и векторы Г и X имеют вид: