книги / Течения газа около тупых тел. Метод расчета и анализ течений А. Н. Любимов, В. В. Русанов

Для уравнений газовой динамики, в декартовых координатах имеем

ния стационарной характеристической поверхности соответствующего семейства. Из структуры матриц А, В у С в системе (3.15) следует, что одно из собственных

значений (т$ непосредственно выражается через элементы а5б, 655, сб5 точно так жег как в скалярном случае 6г7 выражается через а, Ь, с. Поэтому при 6 = 0 условие- (6.54) не обеспечивает устойчивости и необходимо вводить в схему параметры о*2 и о^. Выбор соответствующего 60 производится либо по (6.52), либо по (6.59). Строго говоря, вместо со0, определенного выше, в этих формулах должна стоять величина

шах {х2| Ь5б| + *з 1*551} = та х 1 + ЛгУ + г+г^и; | + ХдГ"1 1V)|} = < Щ

и соответственно вместо 60 — величина 60.

Для остальных собственных значений нижнюю границу можно определить толь­ ко по аналогии, пользуясь одной из тех же формул, но уже с со 0, а не с со0. Величины

60и 60 можно брать, вообще говоря, различными, тем самым полагая сг2 и сг3 разными в разных уравнениях. Это, однако, ведет к усложнению схемы и более удобно значе­ ния а2 и 0*3 задавать одними и теми же во всех уравнениях.

При 60 =^= 0 шаг по времени т определяется по-прежнему из условия (6.61), где-

в (6.62) 60 = о*2//г2тя, со0 = А™/к2т:п, получим окончательную формулу для определе­ ния соо и тп на слое I = Vх:

(6.63>

(6.64>

Коэффициент дх < 1 введен для обеспечения «запаса устойчивости».

§ 7. Устойчивость метода прогонки

В этом параграфе приведено полное исследование устойчивости алгоритма решения системы (5.12) методом прогонки. Построение алгоритма и устойчивость прямой про­ гонки были исследованы в [15] для системы с неособенными матрицами ЪтЛу,. Опытрасчетов показал, что это условие в нестационарном многомерном течении, как пра­ вило, неоднократно нарушается в процессе решения, что приводит к невозможности продолжать счет или потере точности. Алгоритм, изложенный в § 5 и исследованный ниже, не требует неособенности матричных коэффициентов системы (5 .12) и основан лишь на предположениях, необходимых для корректности системы.

Для исследования устойчивости применяется ряд понятий матричного исчисле­ ния, в частности свойства пучка матриц. Для удобства читателя необходимые сведе­ ния по теории матриц помещены в Приложении.

1. Алгебраическая инвариантность переноса граничных условий. Рассмотрим краевую задачу для системы разностных уравнений, аналогичной (5.12), но с линей­ ными граничными условиями:

где а, Ь, |л0, чм — матрицы размеров г X г, г X г, гг X г, г2 X г соответственно, при­ чем г1 + г2 = г.

Будем предполагать, что система (7.1) имеет единственное решение, т. е. что ее определитель

[А0 О О О О

отличен от нуля. Отсюда следует (и это мы существенно используем в дальнейшем), что ранг матрицы, составленной из любого количества столбцов матрицы (7.2), равен их числу.

Покажем, что при любом т = 0,1,..., М существует соотношение вида

при к = 0 ,1 ,..., т — 1 и такое, что всякое иное соотношение вида (7.3) получается из (7.3) умножением на неособенную матрицу порядка гг.

Наше утверждение очевидно при т = 0. Пусть т > 0. Опишем прежде всего однозначно определенный способ нахождения |Хт и §т . Для этого рассмотрим первые г1 + тг уравнений системы

Х0,..., Х т _г, имеет тг столбцов, и ее ранг равен тг, так как остальные уравнения системы (7.1) не содержат Х0,..., Выберем среди отличных от нуля миноров тг-то порядка этой матрицы тот, который имеет наибольшее абсолютное значение, а если таких несколько, то выберем из них тот, сумма номеров строк которого мини­ мальна. Выразим затем из соответствующих уравнений Х 01\Х ц..., Х т_1 через Х т и правые части системы и подставим их значения в оставшиеся уравнения. Мы по­ лучим вместо (7.4) эквивалентную систему

являющееся следствием (7.4), есть также следствие эквивалентной системы (7.5), Рассмотрим какую-нибудь из строк (7.6). Она имеет вид

ат-^т == Рт»

где а т — матрица-строка с г элементами.

С другой стороны, произвольная линейная комбинация уравнений системы (7.5) имеет вид:

где ъ'к и у — матрицы-строки с г и ?\ элементами.

Сравнивая (7.6) и (7.7), получаем, что все ук = 0 и ат = ур,т , Рт = у#т , откуда следует, что

Геометрически соотношения (7.6) можно интерпретировать как задание в про­ странстве Н Т г измерений г — гг = г2-мерной гиперплоскости Пт , в которой дол­ жен лежать конец вектора Х ш. Очевидно, что эта гиперплоскость не зависит от выбора матрицы Гт и, следовательно, граничное условие (7.1а), заданное при пг = 0, ин­ дуцирует посредством системы (7.16) инвариантную последовательность гиперпло­ скостей Пт . Строки матриц (хт можно интерпретировать как векторы сопряженного пространства Н* , и тогда последовательность р,т определяет в Н* последовательность подпространств Ь т размерности г, натянутых на строки р,т . Подпространства Ь т также инвариантны относительно способа вычисления р,т , так как умножение р,т олева на неособенную матрицу Гт меняет лишь базис в Ьт , оставляя само Ьт неиз­ менным.

2. Метод прогонки. Методы решения системы (7.1) с помощью переноса гранич­ ного условия (7.1а) называются методами прогонки. Процесс решения методом про­ гонки состоит из двух этапов. Сначала выполняется прямая прогонка, при которой вычисляются матричные коэффициенты р,т и правые части соотношений (7.6) для т = 1, 2,..., М . Последнее из них (при т = М) совместно с (7.1в) образует систему г уравнений для компонент вектора Х м• Разрешимость этой системы вытекает из предположенной разрешимости всей системы (7.1), что легко показать, используя алгоритм исключения. После определения Хм выполняется второй этап решения — обратная прогонка, состоящая в последовательном вычислении Х м+ь Хм+г*--*» •Х’о» для чего используются соотношения (7.6) и уравнения (7.16).

Существует целый ряд различных методов прогонки как для общих систем, так и для матриц а, Ь, обладающих известной спецификой [165—170]. Из доказанного выше следует, что множество значений Х т , удовлетворяющих (7.6) для данного т , не зависит от способа вычисления прогоночных соотношений, иначе говоря, что все методы йрогонки алгебраически эквивалентны.

Опишем один общий способ вычисления \хт и ^т , частный случай которого при гг = 1 применен в § 5 г.Пусть при некотором т известно соотношение (7.6). Присоеди-1

1 Очевидно, что способ вычисления рт п ут , использованный придоказательстве инвариантно сти в п. 1, имеет только теоретическое значение.

Ранг матрицы коэффициентов левой части равен числу ее строк г + г1э в противном случае определитель матрицы (7.2) был бы равен нулю. Пусть ранг матрицы

имеющей г столбцов, равен р ^ г. Тогда, исключив Х т из (7.9), мы получим г + + Г1 — Р > Г1 независимых соотношений между Х т+1. По доказанному выше их число равно точно и, следовательно, р = гх.

Если матрица Ът+ч, неособенная, то результат исключения легко выписывается

Если матрица &ж+./а особенная, то априори нельзя указать, какие именно строки матрицы %т образуют отличный от нуля минор, с помощью которого следует произ­ водить исключение Х т . Для построения алгоритма в этом случае необходимо либо использовать специфику матриц а, Ъ, либо применять общий метод исключения с вы­ бором главного элемента, автоматически обеспечивающий выбор минора, не равного

транспонированная матрица алгебраических дополнений элементов Ъп&>. Подстав­

Покажем, что если г1= 1, то формула (7.11) остается справедливой и при А = 0 . Для этого прежде всего заметим, что если А = 0, то: 1) ранг Ьт+у, равен г — 1 и

2)прогоночное соотношение при к = т + 1 определяется независимо от (7.6). Первое очевидно, так как иначе р < г, что невозможно. Поэтому ранг рт+>/2равен

единице и рж+1/3= Еж+у* Ут+у2, где ?7П,у3— правый, а ут+уа — левый собственный век­ тор матрицы &тп+1/2, соответствующие ее нулевому собственному значению. Умножая (7.16) при к = т на ут+ч2слева, получим

т. е. действительно это соотношение лишь множителем (р-шСт+у.) отличается от (7.12). Этот множитель не равен нулю, так как иначе система |х7Л^7П+1/1 = 0, &т+у,Ст+»;» = 0 имела бы ненулевое решение, что невозможно, так как ранг р ее матрицы равен г.

Формула (7.11) и была применена для вычисления прогоночных соотношений в алгоритме решения системы (5.12). Использование специфики матриц а и Ьпозволило записать выражения для рт+1 и #тП через рт , ^т , а7,.+,/, и Ът+цл в явном виде, что значительно сократило время решения задачи.

Процесс обратной прогонки, как и прямой, не определяется однозначным обрат зом. В самом деле, пусть найдено Хш+1, и рассмотрим (7.9) как систему относительно Х т. Из способа получения цт и %т следует, что эта система совместна, хотя и содер­ жит больше уравнений, чем неизвестных (г компонент вектора Х т). Поэтому для вы­ числения Х тможно использовать любые г комбинаций уравнений (7.9), разрешимые относительно Х т. Пусть Т — прямоугольная матрица размера г X (гх + г), умноже­ ние которой слева на (7.9) выделяет такие г комбинаций:

где Т1'в.Т2 — матрицы, состоящие из гг первых и г последних столбцов Т соответствен­ но. Разрешая (7.14) относительно Х т , получим

я ы+«/. и поэтому они могут быть определены заранее, в процессе прямой прогонки. Хотя С/т+у. и Ут+Чжзависят от выбора матрицы Г, значение Х т формально от

него не зависит, в силу алгебраической совместности системы (7.9).

3. Устойчивость прогонки. Несмотря на алгебраическую эквивалентность спо­ собов вычисления прогоночных коэффициентов в прямой и функций Х т в обратной прогонке, не все способы в одинаковой мере пригодны для практического применения. Как в любом численном алгоритме, в алгоритме прогонки существенную роль играет его устойчивость. Устойчивость прогонки складывается из устойчивости вычисления матриц \1т и $тв прямой и векторов Х т в обратной прогонке. В силу линейности урав­ нений устойчивость можно определить как ограниченность норм \*>т,8 т,Х т линейной комбинацией норм правых частей системы (7.1) с постоянными коэффициентами. При этом устойчивость решения Х т , т. е. корректность краевой задачи (7.1), имеет смысл рассматривать независимо от устойчивости способа его получения, в данном случае метода прогонки.

В соответствии с принятой терминологией будем говорить, что задача (7.1) кор­ ректна, если ее решение Х т единственно и устойчиво относительно правых частей,

Если М фиксировано и матрицы ц 0, а^Чж Ьл+у„ Ум. постоянны, то очевидно, что для корректности задачи (7.1) необходимо и достаточно, чтобы определитель (7.2) не равнялся нулю. Любой метод прогонки в этом случае будет устойчив, если он факти­ чески реализуем, т. е. если в алгоритме вычисления |1т , §т и Х т не встречается де­ ления на нуль. Конкретное построение таких алгоритмов прогонки описано выше.

Если система (7.1) есть разностная.аппроксимация краевой задачи для системы дифференциальных уравнений, то матрицы а, Ъсуть функции некоторой координаты

задачи в этом случае вводится дополнительное требование равномерного по М (или по к) выполнения неравенств (7.16). Аналогичное требование равномерного выполне­ ния (7.17) вводится и в определение устойчивости прогонки. Иначе говоря, величин** Со, С1г С2 не должны зависеть от М.

Отличие от нуля определителя (7.2) при любом к остается необходимым условием корректности задачи (7.1), однако достаточным оно уже не является. Необходимые и достаточные условия корректности для произвольных матриц а, Ъ были найдены В. С. Рябеньким [171]. Из структуры системы (3.15) следует, что матрицы а, Ь, оп­ ределенные формулами (5.13), приводятся одновременно к диагональному виду с действительными диагональными элементами. Иначе говоря, пучок матриц оа + + со Ъпри любых | и к имеет простую структуру и все его собственные значения дей­ ствительны (см. Приложение). Для этого случая необходимые и достаточные условия корректности, приведенные в [171], формулируются следующим образом.

1)Матрицы а(^, к) и Ь(^, к) суть непрерывные функции своих аргументов, и соб­

цы которой суть правые собственные векторы пучка сга(1 , к) + ю 6(1 , А), отвечающие

Очевидно, что (7.19) аналогично рассмотренному в § 4 требованию допустимости граничных условий для системы гиперболических дифференциальных уравнений.

Критерии устойчивости различных методов прогонки всегда содержат, как не­ обходимые, условия корректности краевой задачи, а в ряде случаев и некоторые до­ полнительные условия на коэффициенты системы (7.1), вызванные спецификой ме­ тода. Естественно считать методы прогонки, не требующие для устойчивости этих дополнительных условий, в некотором смысле оптимальными.

Для корректной эадачи всегда возможно построить метод прогонки, для которого выполнено (7.17а). В самом деле, для этого достаточно, последовательно вычисляя матрицы |хш, любым способом вякий раз нормировать их так, чтобы элементы их были ограничены. Однако устойчивость обратной прогонки обеспечивается не при всяком способе такой нормировки. Существо дела состоит в том, что базис в Ьт , образован­ ный строками нормированной матрицы р,т , не должен быть близок к вырожденному {равномерно по М). Аналитически это условие можно сформулировать так: отноше­ ние определителя Грама, построенного на строках \кт1 к произведению сумм квадра­ тов их компонент должно быть ограничено снизу положительной константой, не за­

равномерно по М. Здесь обозначает транспонированную матрицу и

вычислений строки матрицы рт будут зависимы. Простейшим способом нормировки, удовлетворяющим условию ограниченности элементов рт , является деление каждой строки матрицы цт на ее норму как вектора. Однако этот способ обеспечивает выпол­ нение (7.20) только если гг = 1.

Покажем это на примере системы с постоянными матрицами а, Ь, причем пусть матрица Ь — неособенная. Тогда имеет место (7.10), нормируя которое с комощыо некоторой матрицы Гт , получим

М*т+1Хт+1 — #771+1»

тору — собственному вектору матрицы Ъ~га, отвечающему ее максимальному по мо­ дулю собственному значению. Следовательно, еслигх ^> 1,то базис, образованный строками \хт1 будет становиться вырожденным при возрастании т.

Обеспечить практически выполнение (7.20) при гх > 1 можно, если потребовать, помимо ограниченности элементов [хт , ортогональности ее строк. Тогда левая часть (7.20) будет всегда равна единице, т. е. своему максимально возможному значению.

В отличие от метода ортогонализации, в нем не требуется вычислять квадратные кор­ ни и исключена возможность случайной потери точности. Однако оба метода доволь­ но трудоемки, и их применение оправдано лишь в тех случаях, когда либо затрудни­

изойти, например, в случае, когда все собственные числа Ь"1 по модулю меньше еди­ ницы, т. е. если не выполнено условие корректности (7.18).

Доказательство ограниченности $т и устойчивости обратной прогонки для кор­ ректной задачи и при условии выполнения неравенства (7.18), (7.19) требует более де­ тального изучения структуры прогоночных соотношений. Чтобы выяснить существо дела, не загромождая изложение сложными выкладками, мы предположим, что пра­ вые и левые собственные векторы пучка сга(^, к) + со &(^, к) не зависят от ^ и к. Это значит (см. Приложение), что существуют постоянные неособенные матрицы Р и (), приводящие а и 6 к диагональному виду:

Матрицы Е г и Е2 — единичные, а 2 и й — диагональные порядков гх и г2 соответст­ венно.

Собственные значения пучка оа + юЬ выражаются через диагональные элементы

Величины ог и со г могут зависеть от |, Н1но при этом неравенства (7.23) не нарушают­ ся.

Выберем в пространстве Нг векторов X новый базис, образованный правыми соб­ ственными векторами пучка, т. е. столбцами матрицы (?. Пусть ЗС — вектор, образо­ ванный компонентами X в новом базисе, тогда

Здесь ЗС+ и ЗС~ — векторы, составленные из гг первых и г2последних компонент ЗС. Любое соотношение вида (7.6) записывается в новом базисе так:

где

«А* = И™@+» А п = Н'тф .

Применив это к соотношениям (7.1а) п (7.1в) системы (7.1), получим