книги / Течения газа около тупых тел. Метод расчета и анализ течений А. Н. Любимов, В. В. Русанов

приближенными методами, причем последние, как правило, не позволяют получать информации о всем поле течения.

К настоящему времени составлено большое количество весьма полезных и необ­ ходимых приближенных алгоритмов для расчета различных отдельных характерис­ тик течения: распределения давления по поверхности тел, определения формы удар­ ных волн п др. (методами: Ньютона — Буземана, касательных конусов и клиньев, линейного приближения и т. д.). Результаты решения задач с помощью приближен­ ных алгоритмов обычно представляют в виде формулы с рядом параметров. Это дает возможность анализировать сразу целую совокупность вариантов задачи, что весьма удобно для целей практики. Приближенные методы, позволяя решать частные задачи, не дают решения неупрощенных уравнений и тем самым принципиально не могут при­ меняться как аппарат для полного исследования механики течений.

Существенным преимуществом численных методов является возможность решения полных уравнений и определения значений функций газа в любой точке поля те­ чения с заданной заранее степенью точности. Однако численный расчет выполняется всегда для вполне определенного варианта с фиксированными значениями параметров, и для возможности сравнительного анализа требуется выполнение многих отдельных расчетов.

Эти специфические черты численных методов определяют как область их приме­ нения, так и связь с аналитическими методами.

Возможность получения полной информации обусловливает применение числен­ ных методов для качественного и количественного исследования сложной структуры пространственных течений газа, выявления новых механических эффектов, которые не могут быть обнаружены приближенными методами. Путем обработки системати­ ческих расчетов большого числа вариантов найденные закономерности могут быть вы­ ражены простыми «эмпирическими» формулами, подобно тому, как это делается в эксперименте; наконец, численные решения могут использоваться для проверки и корректировки результатов, полученных различными приближенными методами.

численных методов исследования течений.

Истоки всякой науки связаны с опытом. Теоретическая аэрогидромеханика связа­ на с опытом, возможно, больше, чем многие другие науки. Действительно, еще в са­ мом начале теоретического исследования какой-либо задачи о движении жидкости или газа строится физическая модель течения. Она, как правило, создается на основе экспериментальных данных, что, может быть, с первого взгляда и не является очевид­ ным. Обычно экспериментальных данных не хватает для построения полностью досто­ верной физической модели течения. Поэтому физическая модель течения всегда более или менее схематична (в противном случае теоретическое исследование теряло бы смысл, так как все детали течения были уже изучены до начала исследования). За­ тем создается математическая модель течения. После этого задача аэрогпдромеханики иногда может быть решена. Когда же численное решение задачи уже получено, воз­ никает вопрос: соответствует или не соответствует численное решение исследуемому физическому явлению? Ответ на этот вопрос ищется в сравнении полученных числен­ ных данных с данными опыта. Такое сравнение должно проводиться только тогда, когда известна точность численных и точность экспериментальных данных. В против­ ном случае сравнение теряет всякий смысл и не дает ответа на поставленный во­ прос.

В настоящее время в связи с освоением больших скоростей и высот эксперимен­ тальные исследования стали чрезвычайно сложны и дороги. Для проведения экперимента требуются уникальные установки со сложным оборудованием: ударные и ваку­ умные трубы, трубы переменной плотности, аэробаллистические трассы и т. д. Поя­ вились новые весьма серьезные затруднения при пересчете экспериментальных данных на исследуемые явления. Такой пересчет совершенно необходим, так как в

эксперименте изучаются опять-таки некоторые модели исследуемых течений, часто значительно отличающиеся от них. Информация о течении, полученная в эксперимен­ те с большим трудом, является далеко не полной, так как обычно измеряется стати­ ческое давление на поверхности тел и фотографируются ударные волны. Измерить все поле течения, как правило, не удается. В то же время точность измерений остается еще не высокой и в лучших экспериментальных работах максимальная ошибка изме­ рений достигает 1—5%. Вследствие всего этого в результате сравнения численного ре­ шения с экспериментальными данными чаще всего можно судить о качественном соот­ ветствии между результатами численного решения и действительным течением жид­ кости или газа. Такие сравнения весьма важны, так как они дают возможность прове­ рить правильность физической модели течения, а также оценить область практических приложений численных результатов. Подчеркнем еще раз, что для сравнения с чис­ ленными результатами необходимо использовать достоверные экспериментальные данные.

Сравнение численного решения с экспериментом ни в какой мере не дает ответа па вопрос о точности численного решения. Сравнение результатов физического экспе­ римента с численным решением имеет своей основной целью выяснить, насколько правильно математическая модель течения отражает действительный физический про­ цесс.

Оценка точности численного решения должна проводиться независимо от экспери­ мента, только методами вычислительной математики. При достаточно высокой точно­ сти как численного решения, так и эксперимента различие между ними покажет сте­ пень близости математической модели к природе.

В свою очередь существует зависимость эксперимента от теоретических и, в част­ ности численных, исследований. Создание экспериментальных установок, отладка и тарировка их, планирование и проведение эксперимента зависят от результатов тео­ ретических работ. Например, конструирование сверхзвукового сопла не мыслимо без численного расчета его контура, который обычно определяется методомхарактеристик Ч

Таким образом, экспериментальная информация о качественном характере за­ дачи весьма существенно используется для построения физической модели течения при разработке численного алгоритма. В то же время знание точного решения мате­ матической модели облегчает планирование эксперимента и повышает его надежность.

Весьма перспективным является согласованное проведение численных и экспе­ риментальных исследований, так как между ними существует глубокая связь и взаи­ мозависимость.

8.Из физического эксперимента известно, что перед тупым телом, помещенным

всверхзвуковой поток газа, возникает ударная волна, простирающаяся далеко вниз

по течению и отделяющая область возмущенного потока от набегающего. Этой ка­ чественной картины достаточно для того, чтобы сформулировать задачу, к которой сводится определение течения около тела. А именно, требуется найти решение урав­ нений газовой динамики в области, ограниченной ударной волной и поверхностью тела, удовлетворяющее соответствующим граничным условиям на этих поверхностях. Форма ударной волны заранее неизвестна и это вызывает появление в граничных условиях дополнительной неизвестной функции.

Несмотря на физическую ясность задачи, в настоящее время не имеется строгих математических результатов, относящихся к существованию и единственности ее

решения, в том числе и для аналогичных линейных систем с переменным типом уравнений. Известная задача Трикомп, на аналогию с которой часто указывается, ставится для более простого уравнения второго порядка, а в пространственном случае аналога не имеется вовсе. Что касается численных методов, то все они основаны в той или иной мере на дальнейшей детализации структуры течения, полученной из общих физических соображений и эксперимента. Основным при этом является факт существо-

1Другой характерный пример зависимости эксперимента от результатов численных исследований приведен в § 13.

фиксируется заранее на основании каких-либо соображений. После этого решается задача Коши с начальными данными на ударной волне и отыскивается тело, около которого может возникнуть заданная ударная волна. Такая задача является, как из­ вестно, математически некорректной и основное внимание при разработке методов ее решения приходится обращать на борьбу с некорректностью. Тем не менее обратным методом получены некоторые результаты для осесимметричных и плоских течений, позволившие, помимо практически полезных данных, получить дополнительную ин­ формацию о качественной картине этих течений.

Несмотря на все усилия исследователей, рост погрешностей округления в любом алгоритме решения задачи обратным методом делает практически'невозможным точ­ ный расчет детальной структуры течения и его количественный анализ. Заметим, что в случае пространственного течения трудности решения обратной задачи возрастают не только из-за большей размерности, но и из-за того, что задача Коши с начальными данными на волне некорректна и в сверхзвуковой, гиперболической области. Это объ­ ясняется тем, что в пространственном стационарном течении поверхность ударной волны пересекается характеристическим конусом и не имеет пространственного типа.

Помимо математической некорректности, обратная задача с произвольной формой волны не имеет физического смысла, и возможность использования физических со­ ображений при ее постановке и разработке метода решения отпадает.

Метод многократного решения обратной задачи часто используется для решения корректной прямой задачи (при расчете обтекания заданного тела) путем «подгонкп» формы ударной волны к заданной форме тела. Очевидно, что, сохраняя все недостатки обратного метода, такой способ принципиально не может дать высокой точности еще и потому, что множество допустимых ударных волн так или иначе заранее ограничи­ вается.

Значительные успехи при решении задачи обтекания тупого тела в стационарной постановке достигнутыдля осесимметричного случая с помощью метода интегральных соотношений и его разновидностей.

Сущность метода интегральных соотношений родственна методу прямых и сос­ тоит в том, что по одной из двух переменных производится аппроксимация функций многочленами. В результате этого система уравнений в частных производных прев­ ращается в систему обыкновенных дифференциальных уравнений и уже для нее ста­ вится соответствующая краевая задача. Определенные трудности при постановке кра­ евой задачи представляет правильный учет областей влияния, без чего нельзя быть уверенным в правильности полученного результата. Очевидно, что необходимым ус­ ловием правильности полученного решения должно быть включение в область числен­ ного решения не только одной дозвуковой области, но и прилегающих к ней сверх­ звуковых областей влияния. Однако размеры областей влияния могут быть найдены только после того, как будет получено точное и подробное численное решение и по­ строено поле характеристик около звуковой линии. Таким образом, возникает «зам­ кнутый круг», из которого можно выбраться, если будет привлечена дополнительная информация о поле течения (например, полученная другим методом или из физическо­ го эксперимента).

Для системы обыкновенных дифференциальных уравнений в методе интегральных соотношений или методе прямых краевые условия достаточно ставить на теле, ударной волне и оси симметрии, где они получаются из краевых условий для исходной систе­ мы. Это просто сделать, если аппроксимация функций проводится в направлении те­ чения, а интегрирование обыкновенных уравнений — поперек течения. Возникающая таким путем краевая задача для системы нелинейных обыкновенных уравнений, повидимому, корректна, если аппроксимация проведена достаточно далеко по течению. Но применявшиеся до настоящего времени для ее решения методы существенно некор­ ректны. Они по существу сводятся к решению краевой задачи «пристрелкой» от волны к телу, что является некоторой модификацией упомянутого выше метода решения прямой задачи обратным методом.

Если аппроксимация производится поперек течения, т. е. от волны к телу, краевое условие на «свободном конце» в сверхзвуковой области заменяется условием прохож­ дения системы особых точек. В каждой из них составляющая скорости по нормали к координатной линии равна скорости звука.

Можно показать (см. § 8), что при аппроксимации функций поперек течения об­ ласть, в которой определяется численное решение, автоматически включает в себя область влияния, ограниченную предельными характеристиками. Такая задача может являться корректной для системы обыкновенных уравнений в том смысле, что малые изменения входящих в краевые условия параметров влекут за собой малые изменения в решении. Однако метод «пристрелки» для получения решения в этом случае оказыва­ ется, если можно так сказать, еще более некорректным ввиду необходимости проходить подвижные особые точки. В пространственном случае эти трудности усугубляются и становятся практически непреодолимыми при расчете обтекания газом тел сущест­ венно более сложной формы, чем сфера.

Метод «пристрелки» для решения краевой задачи отнюдь не является единствен­ ным. Вследствие сложности нелинейной системы, любой метод решения неизбежно должен быть итерационным, и число итераций будет возрастать с повышением желае­ мой точности. В этом смысле метод «пристрелки» не является экономичным, и, оче­ видно, усилия должны быть направлены на поиски итерационных экономичных ме­ тодов решения краевых задач для системы нелинейных обыкновенных уравнений.

Нам представляется, что для решения задачи обтекания наиболее естествен тот путь, который указывается нестационарной постановкой задачи. По существу это также некоторый итерационный метод с естественным алгоритмом итераций, диктуе­ мым физической сущностью задачи. Существующий и широко развитый аппарат раз­ ностных схем позволяет в каждом конкретном случае построить экономичный числен­ ный алгоритм решения многомерных нестационарных уравнений газовой динамики, не требующий в процессе решения учета структуры течения.

4 Использование результатов теории гиперболических уравнений дает возможность правильно сформулировать краевые условия для разностных уравнений и обеспечить корректность задачи при любом числе точек сетки. Методы решения многомерных раз­ ностных уравнений в настоящее время хорошо разработаны теоретически, что позво­ ляет заранее находить критерии, обеспечивающие устойчивость вычислений.

Иногда высказывается мнение, что в известных в настоящее время разностных ме­ тодах число точек сетки слишком велико по сравнению с получаемой точностью. Од­ нако эта точка зрения правильна лишь в той мере, в какой это касается расчетов высо­ кой точности. Опыт показывает, что для достижения точности, которую могут обеспечить другие методы, достаточно весьма небольшого числа точек, равного, например, числу интервалов аппроксимации в методе интегральных соотношений. Что каса­ ется многомерных задач, то общим фактом является избыточность информации пред­ ставления гладкой функции многих переменных ее значениями в точках регулярной сетки. До сих пор не найдено принципиально другого способа представления функций, позволяющего строить эффективный и экономичный алгоритм решения уравнений в частных производных.

Высказанные здесь соображения ни в какой мере не ставят своей целью умалить значение получивших широкое распространение и оправдавших себя методов решения стационарных уравнений. Мы хотели лишь обратить внимание на то, что для расчетов с высокой точностью и для пространственных задач более эффективными и универ­ сальными являются методы, основанные на понятии предельного решения нестацио­ нарных уравнений, иначе говоря, на принципе установления по времени.

10. Развитые к настоящему времени методы решения смешанной задачи, ис­ пользующие стационарные уравнения газовой динамики, не дают возможности рассчи­ тать значительную часть сверхзвуковой области течения около тупых тел.

Решение задачи, поставленной для нестационарных уравнений, определяет не­ прерывное течение как в дозвуковой, так и в примыкающей к ней сверхзвуковой об­ ласти течения, вплоть до поверхности пространственного типа П. Поместив поверх-

ность П как угодно далеко вниз по потоку, в принципе методом установления можно оп­ ределить сколь угодно большую часть области непрерывного сверхзвукового течения1. Однако задачу определения течения около тупого тела большого удлинения целесооб­ разнее разбивать на две задачи. Поверхность П в этом случае следует располагать не слишком далеко от поверхности перехода. После определения решения методом уста­ новления расчет сверхзвуковой области течения можно продолжать каким-либо дру­ гим методом.

В силу гиперболичностиуравнений стационарного сверхзвукового течения началь­ ные данные на поверхности пространственного типа П вместе с граничными условиями на волне и теле определяют решение в сверхзвуковой области вниз по течению от П. Для численного решения этой задачи в плоском и осесимметричном случаях многие годы применялся метод характеристик и его различные модификации.

Метод характеристик отличается от других конечно-разностных методов, появив­ шихся значительно позднее, физически ясным смыслом' из которого вытекает, в част­ ности, удовлетворение критериев устойчивости. Однако, как уже отмечалось выше, применение метода характеристик для расчета течений на ЭВМ встречает ряд существенных трудностей, даже для расчета течений, зависящих от двух пере­ менных.

Реализация метода характеристик в полном объеме на современных ЭВМ оказы­ вается практически невозможной. Упрощенные же его модификации, в которых не предусматривается автоматический учет всех встречающихся в расчете ситуаций (таких, как пересечение характеристик одного семейства, искажение ячеек сетки, большие поперечные градиенты функций в энтропийном слое, перегибы ударных волн, возникновение внутренних разрывов и т. п.), оказываются применимыми к довольно ограниченному классу течений. Этим можно объяснить тот факт, что до настоящего времени систематические результаты расчетов сверхзвуковых плоских и осесиммет­ ричных течений содержатся лишь в нескольких работах (см., например, [12—141).

Еще сложнее обстоит дело с пространственными течениями, где все трудности увеличиваются настолько, что делают расчет одного варианта уникальной проблемой.

Значительно более эффективным, чем метод характеристик, для расчетов сверх­ звуковых течений на электронных вычислительных машинах оказался метод конеч­ ных разностей. В последние несколько лет конечно-разностными методами проведе­ ны расчеты сверхзвуковых течений газа около ряда острых и тупых тел. В частно­ сти, в работе [15] развит, обоснован и применен к расчету сверхзвуковых течений около острых тел конечно-разностный метод, основанный на стационарных уравне­ ниях газовой динамики. Заметим, что для его применения совершенно безразлично, каким является течение (сверхзвуковым или дозвуковым) вверх по потоку от поверх­ ности П.

Протяженность области непрерывного сверхзвукового течения зависит от формы тела. Для гладкого тела типа параболоида, гиперболоида или затупленного по сфере конуса область непрерывного течения может простираться до бесконечности. Для тел более сложной формы непрерывность течения обычно нарушается из-за воз­ никновения зон отрыва, внутренних ударных волн и т. п. В результате этого возможно появление «застойных зон», местных дозвуковых течений и т. д. Для расчета таких те­ чений принципиально не может быть использован ни метод характеристик, ни какойлибо из существующих для расчета стационарных течений конечно-разностный ме­ тод. В таких случаях, по-видимому, использование нестационарных уравнений для расчета всей сверхзвуковой области течения неизбежно. Здесь наиболее перспектив­ ными, на наш взгляд, конечно-разностными схемами являются схемы «сквозного сче­ та» [16—18]. Они не требуют предварительного знания типа, количества и точного положения возникающих в потоке газа разрывов.

1Вторая часть настоящей работы содержит примеры расчетов, в которых сверхзвуковая область, рассчитанная методом установления совместно с дозвуковой областью, более чем в 60 раз превос­ ходит по объему дозвуковую область течения.

Все работы в обзоре разделим на две группы. К первой группе отнесем работы,, посвященные определению обтекания потоком газа затупления (решение смешанной задачи), ко второй — работы, посвященные определению сверхзвукового течения око­ ло тупых тел. В каждой группе рассмотрим как осесимметричные и плоские, так и пространственные течения.

1. Осесимметричные и плоские течения около затупления. За два последних де­ сятилетия выполнено много работ по исследованию плоских и осесимметричных те­ чений за отошедшей от тупого тела ударной волной. Интерес к решению этих задач вызван несколькими причинами. Назовем основные из них. Во-первых, для определе­ ния течения около затупления необходимо поставить и решить краевую задачу для системы уравнений смешанного типа, что представляет значительный теоретический интерес. Во-вторых, подробные сведения о поле течения около затупления важны в практическом отношении, так как при сверхзвуковых скоростях полета наибольшее применение имеют тупые носки и кромки тел. В-третьих, возможность расчета поля течения в сверхзвуковой области около длинного тела с отошедшей головной удар­ ной волной целиком зависит от решения задачи об обтекании затупления.

Определение поля осесимметричного или плоского течения около затупления представляет сложную задачу. В решении ее достигнуты значительные успехи. Тем: не менее эту задачу нельзя считать рассмотренной до конца, даже в рамках простей­ шей модели совершенного газа. Действительно, хотя и имеется много методов решения задачи об обтекании затупления, ни один из методов, как отмечено в ряде работ, нель­ зя считать наилучшим (см., например, [19, 21, 22]). Кроме того, получено еще очень мало фактических данных о всем поле потока в дозвуковой и трансзвуковой областях течения. Имеющиеся данные, как правило, ограничены информацией о дозвуковой области течения около сфер и эллипсоидов.

В настоящее время принято деление методов решения задачи об обтекании затуп­ ления на аналитические и численные. Все аналитические методы основаны на весьма сильных допущениях. Тем не менее и эти допущения не приводят, как правило, к простым окончательным формулам, а позволяют свести решение задачи к решению алгебраических или дифференциальных уравнений, которые обычно можно решать только численно. Поэтому деление методов на аналитические и численные по меньшей мере условно, тем более что в само понятие «аналитическое решение», как уже отмечено в § 1, в классических работах по аэрогидромеханике [1, 2] и в некото­ рых последних работах [11] вкладывается разный смысл. Однако в дальнейшем будем следовать этому, уже сложившемуся к настоящему времени делению.

Перечислим наиболее известные аналитические методы решения задачи об обте­ кании затупления, придерживаясь следующей классификации их, данной в [23].

а. Методы, основанные на предположении о потенциальности течения.

б. Методы, основанные на разложении функций в ряды в окрестности вершины ударной волны или в окрестности критической точки.

в.Методы, основанные на предположении о несжимаемости газа.

Вработах [24, 25] сделаны попытки найти решение задачи об обтекании затупле­

ния методом годографа для тех случаев течений, когда число Моо близко к единице. В этих работах поток газа за ударной волной считался потенциальным. В [26, 27] для определения течения около затупления также использовано это предполо­ жение.

В 1947 г. Г. С. Смуровым рассмотрена прямая задача об обтекании кругового цилиндра потоком газа. Функция тока в окрестности оси симметрии представлена в

пользовано разложение функций в степенные ряды и дано соотношение между поло­ жением ударной волны и радиусом кривизны тела в носке.

Работы [30—36] посвящены решению обратной задачи путем разложения искомых функций в ряды. В [30, 31] ударная волна задана гиперболой, а скорость на оси сим­ метрии течения представлена степенным рядом. При разных числах Моо найдено расстояние между телом и ударной волной. В [32] ударная волна задана в виде пара­ болы. Двойные степенные ряды использованы для определения осесимметричного течения в окрестности критической точки. В [33, 34] проведено разложение искомых функций в степенные ряды и удержаны члены до 4-го порядка включительно. В [35] использовано разложение функций в ряды в окрестности критической точки. Ударная волна задана в виде гиперболы или параболы. Определено расстояние от поверх­ ностей сферы и цилиндра до ударной волны. В [36] в качестве независимых перемен­ ных выбрана функция тока и длина дуги ударной волны. Разложение функции в ря­ ды проведено по этим независимым переменным. Уравнение количества движения ап­ проксимировано в поперечном направлении (от тела к ударной волне), что позволило получить решение в виде квадратур. Результаты расчета течений в [36] не приведены.

В ряде работ разложение функций в ряды в окрестности критической точки применено для решения прямой задачи в плоском и осесимметричном случаях тече­ ний. Разложение функций в степенные ряды проведено до 5-го порядка включи­ тельно. В этих работах определено расстояние от поверхности сферы до ударной волны на оси симметрии течения, форма ударных волн и распределение давления по поверх­ ности сферы.

С помощью методов, основанных на разложении функций в ряды, поле течения может быть определено лишь в малой области дозвуковой зоны течения. Точность полученного аналитического решения, как правило, определить трудно, потому что для этого необходимо вычислить дополнительные члены разложения, а это приводит к громоздким выкладкам. Аналитическое решение задачи об обтекании затупления не удается получить с помощью рядов в виде простой формулы, вследствие этого пропа­ дает одно из его основных преимуществ.

В работах [39, 40] рассмотрены методы расчета течения в окрестности оси симмет­ рии около сферы и кругового цилиндра. Эти методы основаны на предположении о ■несжимаемости потока газа за ударной волной. В работе [41] также предложено ре­ шать уравнения для несжимаемого вихревого потока. Позднее аналогичный подход к решению задачи обтекания затупления рассмотрен в [19]. Естественно, что методы, предполагающие несжимаемость потока, являются слишком грубым приближением к действительности. При обтекании затупления сжимаемость потока газа весьма суще­ ственна, за исключением небольшой зоны течения, примыкающей к поверхности тела и расположенной в окрестности критической точки.

Рассмотрим численные методы решения задачи об обтекании затупления пото­ ком газа.

В работах [42—44] предложены по существу похожие друг на друга методы, реше­ ния обратной задачи. Суть их состоит в экспериментальном определении формы удар­ ной волны (по фотографиям) и организации затем некоторого вычислительного про­ цесса для определения течения за известной ударной волной.

В 1956 г. Утида и Ясухара предложили метод расчета течения за криволинейной ударной волной путем подбора линий тока [45]. Линии тока первоначально должны быть заданы. Затем организуется процесс последовательных приближений, кото­ рый проводится и для уточнения координат линий тока и для определения удар­ ной волны. Метод очень трудоемкий, но он дает возможность с удовлетворительной точностью определить все поле течения.

В 1956 г. А. А. Дородницын предложил общий численный метод интегрирования основной системы дифференциальных уравнений газовой динамики, который теперь широко известен под названием «метода интегральных соотношений» [6]. Существо метода заключается в замене основной системы уравнений некоторой аппроксимиру­ ющей системой обыкновенных дифференциальных уравнений. Для этого функции по «одной переменной (в двумерной задаче) представляют в виде интерполяционных мно­ гочленов. После такой замены для полученных обыкновенных дифференциальных

уравнений, аппроксимирующих основную систему уравнений, должна быть постав­ лена и решена соответствующая краевая задача.

В 1957 г. этот метод применено. М. Белоцерковским к решению прямой задачи об обтекании потоком газа кругового цилиндра [46]. В последующие годы метод ин­ тегральных соотношений был развит и использован для расчета течений около сфер, эллипсоидов и круговых цилиндров как советскими [47—52], так и иностранными [53—56, 194] учеными.

Следует подчеркнуть, что методом интегральных соотношений впервые получены систематические данные о поле течения около круговых цилиндров, сфер и некоторых эллипсоидов [52, 57, 58]. Дозвуковая область течения около сфер и тел, имеющих в дозвуковой области поверхность, близкую к сферической, рассчитана в этих работах с хорошей точностью. В трансзвуковой и сверхзвуковой областях течения точность расчетов падает.

Вметоде интегральных соотношений формально можно написать аппроксимиру­ ющую систему уравнений любого порядка, задав закон изменения функций интерпо­ ляционным многочленом любой степени. Используемые же в вышеназванных работах способы решения краевой задачи для системы обыкновенных дифференциальных урав­ нений фактически ограничивают возможности метода интегральных соотношений вто­ рым приближением (квадратичный закон изменения функций). Кроме того, при реше­ нии задачи об обтекании затупления методом интегральных соотношений возникает ряд трудностей при численном решении уравнений [20, 21, 56, 59—63].

Вработе [64] предложен метод решения обратной задачи, основанный на подборе линий тока. Первоначальная картина течения должна быть задана. Затем она коррек­ тируется путем удовлетворения некоторому критерию, связанному с потоком массы и вихрем. Процесс итераций проводится и для формы ударной волны. Для применения

этого метода должно быть задано расстояние отхода ударной волны и давление на поверхности тела.

В работах [65, 66] изложены методы решения обратной задачи. Они основаны на решении уравнений, аппроксимирующих основные уравнения. В [65] рассчитаны два примера течения за сферической ударной волной (Мю= 10, 20), а в [66] определе­ но течение за ударной волной в виде параболического цилиндра, М» = 7, к = 1.4.

В[65] для устранения неустойчивости счета применено сглаживание функций.

В1957 г. П. Р. Гарабедян предложил конечно-разностный метод решения обрат­ ной задачи [67]. Метод основан на решении задачи Коши для функции тока в дозвуко­ вой области течения. В [67] использовано аналитическое продолжение в область ком­ плексных значений независимых переменных, в результате этого задача Коши стано­ вится корректной. В качестве примера расчета рассмотрен случай течения за ударной волной с образующей в виде гиперболы для Мто = 2, 6, 10. Определен отход ударной волны на оси симметрии. В [68] по этому методу рассчитаны течения около различных тел при Моо — 5.8. Поле течения определено во всей дозвуковой области течения. В

частности, в [68] приведено расстояние до ударной волны, положение звуковой линии

ираспределение давления по поверхности тел.

Вработе [69] показано, что успех применения метода [67] существенно зависит от возможности аналитического продолжения начальных данных в комплексную об­ ласть. Если же форма ударной волны задана не аналитической функцией, то построение аналитического продолжения сводится к численному решению некорректной задачи.

В1958 г. М. Ван-Дайк предложил численный метод решения обратной задачи [70].

Вэтой работе рассмотрено семейство ударных волн, образующие которых представ­ ляют конические сечения. Алгоритм состоит из последовательного расчета по форму­ лам, численного дифференцирования, линейной экстраполяции и вычислений по точ­ ным формулам. В [70] приведено расстояние отхода ударной волны от сферы и распре­ деление давления по поверхности сфер до со= 45°. В работе.[23] даны более подроб­ ные сведения о методе. В частности, отмечено, что процесс численного решения в до­ звуковой области течения неустойчив; поверхность тела, которая находится в резуль­ тате решения задачи, получается негладкой; в конечно-разностных уравнениях име­