книги / Течения газа около тупых тел. Метод расчета и анализ течений А. Н. Любимов, В. В. Русанов

Из приведенных формул следует, что для ограниченности необходимо, что­ бы матрицы Т1г и Г22Ф“ были неособенными. Последнее означает, что если предста­

Можно показать, что для этого достаточно, чтобы при всех т существовали матрицы

{Е, -\Ш т (Тп Ф -Г1 Ги Ф+Гт ,,/,}-1

{Е, - (Тх%а г)-^Т п Ф*1т^ тГ \

Опыт расчетов показывает, что это нарушается крайне редко и поэтому условие Бе! (Г22 Ф“) =/= 0 является практически достаточным.

4. Применение к численному алгоритму. Как обычно, при исследовании нели­ нейных задач будем рассматривать локальные условия устойчивости, т. е. требо­

Выполнение неравенств (7.40) зависит от выбора расчетной системы координат и может быть всегда достигнуто надлежащим выбором функции ф, входящей в (3.14).

Что касается неравенств (7.19), то, как уже было отмечено, они справедливы всег­ да, так как вытекают из допустимости граничных условий на ударной волне и на теле, установленной в § 4.

Следует отметить, что условие (7.406) не может быть выполнено на поверхности тела в силу граничного условия (3.18). Поэтому формально краевая задача для си­ стемы (5.12) не является корректной, а прогонка для нее не может быть устойчивой в смысле неравенств (7.16), (7.17). Опыт расчетов показывает, однако, что при вы­ полнении условий корректности задачи во всех внутренних точках алгоритм, изло­ женный в § 5, является устойчивым. Объяснение этого противоречия состоит, по-ви­ димому, в том, что система (5.12), т. е. разностная аппроксимация системы дифферен­ циальных уравнений, не является системой общего вида. При возрастании М ее коэф­ фициенты и правые части изменяются не независимо и это приводит к ограничению роста Х т за счет интерференции членов разных знаков.

Переходя к алгоритму решения системы (5.12), заметим прежде всего, что так как 7^ = 1 , то для устойчивости прямой прогонки достаточно нормировать любым об­ разом вектор |1т , например с помощью максимальной нормы, как это сделано в § 5.

Для проверки устойчивости обратной прогонки вычислим матрицы ? и Ф = Р ”1. Так как для всех собственных значений в к °°)» то

=2ахх (ст^. — (йк) {А — ЬкЕ}

исобственные векторы пучка совпадают с собственными векторами матрицы А.

Тогда Р~г = @= Ф, так как обе матрицы а, Ь приводятся к диагональному виду

—(?Б2 — (?44 — (?Б\ — 0.

Вкачестве третьего решения выберем вектор (?3, у которого отлична от нуля только

компонента (?53 = 1. В результате получим

выполнено. Опыт расчетов показал, что такой выбор матрицы Г22 обеспечивает ус­ тойчивость обратной прогонки для весьма широкого класса задач.

Заметим, что замена любого другого уравнения системы (5.12) прогоночным соот­ ношением не обеспечивает выполнение необходимого условия. В самом деле, если за­ менить последнее уравнение, то 1)еЬ Т22 Ф~~ = 0, если же заменить одно из первых трех, то БеЪ Т22Ф“ = + рс2 АГАТ*, где I — номер уравнения. Из геометрических сооб­ ражений видно, что в поле течения всегда может найтись точка, где равна нулю лю­

любой точке или области течения там, где несмотря на выполнение неравенств (7.40) появляются признаки неустойчивости прогонки.

где X — линейный дифференциальный оператор в некотором пространстве функций, зависящих от !•, ц, 0 и времени I как параметра и подчиненных граничным условиям:

Поведение 2 при I оо определяется свойствами оператора «5?, который в нашем случае представляет собой оператор смешанного типа весьма сложной структуры. В настоящее время отсутствуют какие-либо строгие результаты, относящиеся к кор­ ректности задач подобного типа, не говоря уже об асимптотике решения. Одним из препятствий на пути применения общей теории является то, что для системы (8.1) принципиально существенна переменность коэффициентов, а также особенность на границе 1 = 0. Построение теории для какого-либо частного вида системы (8.1) за­ труднено тем, что структура стационарных решений основной системы (4.1) еще не изучена настолько, чтобы можно было выделить и сформулировать определяющие свойства оператора X. Поэтому мы ограничимся ниже замечаниями общего характе­ ра, а затем рассмотрим ряд модельных задач, поясняющих характер процесса уста­ новления и некоторые свойства системы (8.1).

Заметим прежде всего, что запись (8.1) имеет совершенно общий вид и не зависит от того, какова исходная задача, которая решается методом установления. Имея это в виду, рассмотрим операторов некотором линейном нормированном пространстве 33 и уравнение

где X я Ф — элементы 33.

Применение принципа установления приводит к решению нестационарной зада­

где под Х (1) следует понимать элемент 33, зависящий от I как от параметра.

Заметим, что переход от (8.3) к (8.4) не является однозначным. В принципе мож­

только в том случае, если оператор X имеет обратный. Этим линейная задача отличает­

ся от нелинейной, где существование и единственность решения X стационарной задачи и сходимость решения линеаризованной задачи к нулю еще не гарантирует сходи­

мости Х (1) к решению X при произвольных начальных данных Х°.

Одним из средств исследования операторов в нормированных пространствах яв­ ляется спектральный метод, позволяющий в ряде случаев полностью описать струк­ туру оператора [172, 173]. Здесь мы ограничимся только понятием собственного зна­ чения оператора, позволяющим сформулировать необходимое условие устойчивости стационарного решения.

Собственным значением оператора называется такое комплексное число X, что уравнение XX = XX имеет решение 2х, удовлетворяющее однородным граничным

условиям и не равное тождественно нулю. Решение называется собственной функ­ цией оператора 52, соответствующей собственному значению X. Совокупность всех собственных значений образует на комплексной плоскости множество, называемое спектром оператора (или, точнее, точечным спектром). Спектр может состоять из дискретного множества точек (дискретный спектр) или заполнять целую область ком­ плексной плоскости. Одному и тому же собственному значению может соответство­ вать несколько (или даже бесконечное число) собственных функций. Система соб­ ственных функций оператора называется полной, если любая функция из области его определения может быть разложена в ряд по собственным функциям, сходящийся

Исследовать достаточность этого условия оказывается возможным далеко не всегда.* Рассмотрим наиболее простой случай, когда собственные функции оператора 52 образуют полную систему. Предположим для простоты, что эта система счет на и состоит из функций 2 к (к = 1 , 2,...), соответствующих собственным значениям

при соответствующих требованиях на характер сходимости ряда (8.6) можно пока­

Если достаточность условия $<с 0 не доказана, то вычисление собственных зна­ чений позволяет проверить лишь необходимое условие устойчивости. Следует отме­ тить, что оператор 52 может вообще не иметь собственных значений и спектральный критерий устойчивости оказывается тогда неприменимым.

На вопрос о том, когда условие 5 < 0 остается достаточным и при отсутствии пол­ ноты собственных функций, ответ получен только в отдельных частных случаях. Мы приведем здесь один результат [174], который в дальнейшем используем при раз­ боре примеров.

щих положительным и отрицательным собственным значениям соответственно.

Тогда задача (8.7) — (8.8) корректна на отрезке [0,1], и функция 2(я, I) удовлет­

(при любом е > 0) равномерно по х , где 5 — точная верхняя граница собственных

значений оператора Ь = —Ай1д,х — В, на отрезке [0,1] с граничными условиями

(8.8).

Существенно, что оценка (8.9) имеет место независимо от полноты собственных функций Ь . Последнее справедливо тогда и только тогда, когда задача (8.7) — (8.8) корректна и при I < 0. В частности, если г =}=2р, система собственных функций всег­ да неполна.

Имеется тесная связь между методом установления и различными итерационными методами решения уравнения (8.3). Так, например, аппроксимация производной

Легко убедиться, что необходимым условием выполнения этого неравенства яв­ ляется требование 11 + хХ | <; 0 для всех собственных значений К оператора X . Это требование существенно сильнее условия зир Ке X < 0, и его выполнение хотя бы для одного х 0 означает не только расположение спектра в левой полуплоскости, но и его ограниченность. Для дифференциальных операторов это, как правило, не выполняется и итерационный процесс (8.10) расходится.

Существенно меняет дело аппроксимация % разностным оператором и соот­ ветствующий переход от функционального пространства 33 к пространству ЗЗь. дис­ кретных функций Х н, определенных на сетке, характеризуемой параметром к. Спектр оператора ХК при фиксированном к , как правило, ограничен, и надлежащий выбор х обеспечивает сходимость процесса установления, связанную, как легко ви­ деть, с устойчивостью разностной схемы.

чтобы П т р (гг, т, к)= 0 при фиксированных т, к . Поэтому может оказаться, что при

л-* оо

гг-> оо р(гг, т, к) растет безгранично, если ггт = Г, но стремится к нулю, если т, к

фиксированы, так что процесс установления формально сходится.

Однако полностью это верно только для идеального расчета с бесконечным чис­ лом знаков, а при реальном расчете с конечным числом знаков точность установления предельного решения разностных уравнений может ухудшиться из-за погрешностей округления. В самом деле, пусть е — величина, характеризующая норму случайной погрешности округления и р* = р*(т, к) = зир \\{Е + хХ}г)п\\ при фиксированных

л

т, к . Тогда, как бы ни было велико число итераций, нельзя получить точность уста­ новления предельного решения выше, чем р*е, так как норма непрерывно возникаю­ щих погрешностей округления все время будет расти до максимума р*е. При р*е —1 процесс установления может вообще не сходиться, несмотря на то, что р(гг, т,/г)—>0.

Это замечание относится не только к неустойчивым схемам, но и к таким устой­ чивым, для которых р* 1. С другой стороны, если р*е мало, то расчет методом установления можно производить и по неустойчивой в обычном смысле схеме. В за­ ключение заметим, что хотя непосредственно оценить величину р* в реальной задаче

обычно не представляется возможным, однако все перечисленные возможности фак­ тически наблюдались в расчетах.

2. Примеры вычисления собственных значений и собственных функций. Пример 1. Пусть дана система линейных алгебраических уравнений

где ем определяется как всюду сходящийся ряд с матричными коэффициентами [1751

оо

,..., Хк с кратностями у1? у21--.,ук соответственно. Пусть А приводится преобразо­ ванием Т к каноническому виду

А,

Т~1АТ = А =

Аг<

Если все А к диагональны, то оператор X имеет полную систему собственных векторов и условие шах Ке Хк< 0 необходимо и достаточно для устойчивости предель­

называет, что это условие .и в случае неполноты системы собственных векторов яв­ ляется достаточным.

Очевидно, достаточно рассмотреть случай, когда Л есть клетка Жордана, т. е. А = = КЕ + Ну где в матрице Н стоят нули везде, кроме одной диагонали, соседней с главной, которая заполнена единицами. Так как ВеЦН — ХЕ) = (—1)ГА.Г, то Нг= О,

есть полином с матричными коэффициентами, откуда следует, что П т 2,(1) = 0, если

и(х, I) может быть представлено рядом [176]:

00

и (х, I) = 2 ск ^ к( зш ккх. к=1

Очевидно, что и(х, I) —>- 0 тогда и только тогда, когда выполнено неравенство

Переход к разностным уравнениям только по переменной I дает итерационный процесс