книги / Новые подходы к исследованию и идентификации переходных процессов синхронных машин

купности пользуются выборками nв из генеральной совокупности. Для обеспечения корректности исследований особое внимание при этом уделяют репрезентативности выборки и ее объему.

В данных исследованиях выборка n формируется из соображений охвата всех элементов на участке tн′ − tв объёмом не менее 25–30 членов ряда [101]. Для формирования объема выборки nв случайного признака предложен тот же комбинаторный подход, что и для генеральной совокупности, но лишь с возможностью регулирования объема в любую сторону:

Вычисляют среднее арифметическое или МО распределения

признака τ′ выборки nв и ее дисперсию:

kj

2.4.3.2.Получение вариационных рядов

сопределением их свойств

При огромных объёмах генеральной совокупности случайного признака с целью обеспечения эффективности дальнейших исследований целесообразнее, как упоминалось выше, перейти к выборкам из неё, а затем к вариационному ряду. Для этого случайный признак в выборке представляют по его убыванию от максимального до минимального значения или наоборот [62–69]. Затем по величинам случайного признака на концах вариационного ряда определяют его размах (разброс) [101]:

МО вариационного ряда легко определяется по расчётному опытному значению МО выборки из генеральной совокупности либо близко лежащее к нему в вариационном ряду. В процессе проведения исследований размах можно определить относитель-

81

но МО по концам вариационного ряда с целью установления асимметрии предполагаемого нормального распределения случайного признака.

Для определения коэффициента вариации используются основные свойства вариационного ряда, т.е. МО и дисперсия [101]:

τ′в

По размаху вариационного ряда можно судить об уровне зашумленности случайного признака в исследованиях.

По коэффициенту вариации можно судить об отклонениях величины дисперсии различных вариационных рядов от МО, поэтому он является относительной мерой вариации (в наших исследованиях степенью отклонения случайного признака от экспоненциального затухания составляющих ПП).

При известных свойствах ГС (в случае приемлемых объёмов генеральной совокупности случайного признака и соответственно выборки из нее) путем сортировки (отбрасыванием) нереальных величин случайного признака с обязательным последующим перерасчетом МО и дисперсии можно исследованиями получить предварительное сближение параметров данных рядов перед проверкой гипотезы предполагаемого нормального закона распределения случайного признака.

Свойства вариационных рядов, т.е. МО и дисперсия по (24) и (26), позволяют по опытной информации оценить первоначальный разброс случайного признака и степень отклонения переходной составляющей от экспоненциального закона затухания без предварительных преобразований рядов. После завершения запланированных исследований с получением результатов влияния опытной информации на размах случайного признака в рядах и степень отклонения переходной составляющей от экспоненциального затухания после проведённых важнейших преобразований вариационных рядов с генеральной совокупностью случайного признака и выборкой из неё анализом получают количественные оценки влияния опытной информации на величину случайного признака.

82

2.4.3.3. Исследования по подтверждению гипотезы предполагаемого нормального закона распределения случайного признака в вариационных рядах с использованием критерия согласия Пирсона («хи-квадрат»)

Важнейшей процедурой при исследованиях после сортировки случайного признака является подтверждение гипотезы нормального распределения случайного признака по выборке nв (а в случае необходимости и ГС) с использованием критерия согласия Пирсона (χ2 ) [41,42]. Практическое использование критерия Пирсона подробно изложено в [59]. Исходными данными для расчётов служат выборка из генерального ряда случайного признака объёмом nв , упорядоченная после сортировки и представленная

ввиде вариационного ряда с МО, дисперсией и количеством интервалов k, на которые разбивается вся область предполагаемого гипотетического распределения случайного признака. Задаются границами интервалов, которые с расчётами для удобства заносятся в таблицу. Подсчитывается абсолютная частота попадания

вкаждый интервал случайного признака, рассчитывается интервальная вероятность попадания случайного признака в интервалы по формуле:

τ′ – МО или среднее значение случайного признака выборки nв ; σ – среднеквадратичное отклонение выборки nв ; Φ(t) – функция

[59]. Рассчитывают теоретическую частоту для всех интервалов hi′ = nв pi и критерий χi2 по формуле:

83

где i – число интервалов; hэмп – эмпирическое значение интервальной частоты случайного признака; hтеор′ – теоретическое (гипотетическое) значение интервальной частоты случайного признака. После суммирования интервальных значений критерия χi2 , определяемых по формуле (30), получают окончательный результат критерия Пирсона χ2 . С учётом числа степеней свободы, количества интервалов и доверительной вероятности находят табличное значение критерия. Если расчётное значение критерия Пирсона меньше табличного, то выборка не противоречит гипотезе, иначе соответствует нормальному закону распределения случайного признака.

По результатам проведённых расчётов строится гистограмма распределения случайного признака, и для визуального сравнения с ней строится гистограмма по опытным данным. На рис. 24 приведена гистограмма распределения случайного признака по данным ПП из опыта ВКЗ для 11 интервалов разбиения области случайного признака, а на рис. 28 – по результатам расчётов критерия Пирсона с целью сокращения времени расчётов по пяти интервалам разбиения области случайного признака.

2.4.3.4. Аналитический вывод эффективных точечных выборок. Определение их полного и минимизированного объёмов в исследуемом диапазоне ПП с переходной составляющей

В процессе исследований ГС случайного признака и выборки из неё при проверке гипотезы предполагаемого нормального закона распределения случайного признака были обнаружены отдельные τkj -е ПВ с минимальной относительной погрешностью

отклонения их от МО [86–90, 49, 51, 56]. Аналитическое обоснование существования таких выборок подробно представлено в [56, 90]. Краткая сущность его заключается в представлении

84

случайного признака, определяемого по формуле (20), полным дифференциалом через опытные данные и через расчётные экспоненты. Затем после соответствующих их математических преобразований были получены расчётные и опытные зависимости относительного изменения случайного признака от частных производных соответствующих полных дифференциалов:

T – время сдвига первой вершины от начала процесса в опыте ВКЗ, с.

Зависимость, аналогичная неравенству (31), представлена через опытные данные [90]:

Практически полное совпадение полученных зависимостей (31) и (32), особенно в области минимумов функций, позволило по минимуму расчётной погрешности (31) аналитически обосновать верхнюю границу измерения при заданной нижней и после соответ-

85

ствующих математических преобразований получить в виде постоянного коэффициента соотношение, жёстко связывающее значения элементов в искомых границах переходной составляющей [90]:

Полученная важнейшая жёсткая связь (33) позволяет легко извлекать из генерального ряда N или его выборки nв точечную выборку, отклоняющуюся с минимальной относительной погрешностью ε′( tk ) от МО (среднего значения) τ′ переходной со-

ставляющей. За свою минимальную погрешность отклонения от МО она получила название эффективной точечной выборки

(ЭТВ) (τ′ )эф [90, 49, 51, 56]:

kj

Исследованиями подтверждено, что они эффективно могут использоваться при стендовых испытаниях СМ в любых опытах для идентификации синусоидально затухающих или возрастающих составляющих ПП по опытным данным, а также установлено весьма ограниченное количество ЭТВ в ПП МСМ. С увеличением объёма ГС случайного признака процентное количество ЭТВ падает до долей процента, с уменьшением объёма оно растёт, поэтому возникает проблема минимизации объёма ЭТВ.

Полный объём ЭТВ в ПП СМ можно определить с использованием в комбинаторных выражениях (23), (25) ЭТВ по (34) перебором элемента нижней границы исследуемого диапазона tн′ − tв с последующими элементами, определяемыми с учётом условия (33) до верхней границы tв . При огромных объёмах случайного признака в ГС, которая обычно соответствует СМ большой мощности, минимизацию объёма ЭТВ можно осуществить с использованием распределения Пуассона, называемого иногда распределением для редких случайных событий, которое связывают с показательным распределением и с распределением Бернулли.

86

Если число случайных событий имеет распределение Пуассона, то интервалы между событиями имеют экспоненциальное или показательное распределение [102]. Распределение Пуассона для редких событий как раз соответствует появлению в огромных объёмах ГС случайного признака в виде ЭТВ при исследованиях ПП в указанном диапазоне с переходной составляющей, которая из всех других составляющих ПП существует на протяжении всего ПП. При этом количество ЭТВ, как изложено выше, может составлять незначительные доли процентов в выборках из ГС. Как и биномиальное, распределение Пуассона состоит из ряда членов появления 0,1,2,3 или большего числа случайных событий на единицу измерения. Сумма этих вероятностей равна 1. Математически распределение Пуассона представляется в следующем виде:

где а – среднее значение ЭТВ (в исследованиях ПП, равные МО или с наименьшим относительным отклонением от МО для переходной составляющей), которые, как доказано в [102–103], при распределении по закону Пуассона представляют собой дисперсию случайного признака равной её МО или а, определяемое как

произведение а = пр′ , при этом р′ = 100р% ;

е− а – вероятность подтверждения всей контрольной выборки случайных признаков, равных или близких к МО, задаваемых в процентах от объёма ГС;

ае− а – вероятность появления 1-го случайного признака, отклоняющегося ниже установленной минимальной величины погрешности от МО;

а2е− а – вероятность появления 2 случайных признаков, от- 2!

клоняющихся ниже установленной минимальной величины погрешности от МО;

87

а3е− а – вероятность появления 3 случайных признаков, от- 3!

клоняющихся ниже установленной минимальной величины погрешности от МО;

а4е− а – вероятность появления 4 случайных признаков, от- 4!

клоняющихся ниже установленной минимальной величины погрешности от МО;

а5е− а – вероятность появления 5 случайных признаков, от- 5!

клоняющихся ниже установленной минимальной величины погрешности от МО, и так далее. При этом сумма вероятностей должна равняться 1.

Минимизация объёма ЭТВ практически осуществляется с использованием вариационных рядов ГС случайного признака и выборки из неё. Из вариационных рядов выясняют количество ЭТВ с наименьшим отклонением от МО по обе стороны от него. Далее определяется процентное содержание количества ЭТВ р (%) в объёме ГС случайного признака. Берётся для контроля выборка исследуемого объёма ЭТВ nэф для определения параметра а (МО),

используемого в формуле (35). Наконец, рассчитывают вероятности, подтверждающие минимизацию контрольной выборки и в случае её подтверждения определяют свойства минимизированного объёма ЭТВ:

Исследования длительно протекающих ПП в опытах ВКЗ, ГП, ВН МСМ подтверждают, что минимизированный объём ЭТВ практически состоит из четырёх ЭТВ с высокой вероятностью, приближающейся к единице.

Минимизированный объём ЭТВ лежит в основе конструирования и модернизации унифицированных комбинаторных выра-

88

жений с использованием ВСМ исследования и идентификации переходной составляющей симметричного тока якоря СМ, а также для минимизации среднеквадратичной погрешности приближения модели ПП СМ к опытным данным всего ПП в опытах ВКЗ, ВН, ГП, УВ. Наконец, минимизированный объём ЭТВ лежит в основе способа, разработанного для оценки близости свойств генеральной совокупности случайного признака и выборки из неё, который является при этом базовым эталоном сравнения.

2.4.3.5.Оценка близости свойств вариационных рядов

сиспользованием свойств базового минимизированного объёма ЭТВ вместо классического метода интервальных

оценок ТВ и МС

В процессе исследования опытных данных по оценке их отклонения от экспоненциального затухания или возрастания в ПП

спомощью свойств генерального ряда, определенных по формулам (24), случайного признака и выборки из него, вычисленных по выражениям (26), трудно отдать предпочтение одному из них в случае даже незначительного различия их свойств. В ТВ и МС в таких случаях приходится обращаться к интервальным оценкам параметров сравниваемых рядов. Записывать в сопроводительную документацию готовых изделий информацию о параметрах или важнейших величин ПП, что они попадают в тот или иной интервал

сопределённой вероятностью, не годится с инженерных позиций, так как подобная информация не даёт представления о конкретной величине параметра. При этом затрудняются исследования, моделирование и оптимизационные процедуры, а также оценка точности и достоверности результатов идентификации ПП СМ.

Для исследования ПП СМ метод интервальных оценок для инженерной практики неприемлем, так как из-за тесной связи между точностью и достоверностью в ТВ и МС при фиксированном объеме статистических данных ( N = сonst или n = сonst ) всякая попытка повышать точность (уменьшением ширины интервала) неизбежно ведет к снижению достоверности и наоборот [59].

89

Кроме того, если искомые оценки параметров будут смещёнными, то они могут оказаться для исследований также неприемлемыми.

Предлагается другой путь сближения свойств вариационных рядов, получаемых по формулам (24) и (26). Благодаря огромной избыточности объема ГС случайного признака и простому способу извлечения из него ЭТВ с целью повышения достоверности сближения в качестве базы при сравнении свойств вариационных рядов предложен минимизированный объем из четырех ЭТВ nэф = 4, подтвержденный с помощью распределения Пуассона

в [49, 51, 56, 62–70, 90].

При сравнении свойств указанных рядов появляется возможность за счёт эффективного упорядочивания рядов с сортировкой случайного признака непрерывно отслеживать их свойства практически до полного сравнения с базовым вариантом. Формирование формул, определяющих свойства минимизированного объёма ЭТВ, начинается с выбора элемента ПП в нижней границе исследуемого диапазона переходной составляющей, а верхнюю границу определяют по условию (33). Затем берут второй элемент от этой же нижней границы с шагом t или кратным ему (в зависимости от длительности ПП), верхнюю границу определяют также по условию (33) и так далее поступают с последующими элементами из расчёта минимизированного объёма ЭТВ. Представленные ниже формулы для оценки свойств минимизированного объёма ЭТВ являются базовыми при рассмотрении близости свойств генеральной совокупности случайного признака и выборки из нее:

где k – переменная для задания нижней границы, k = 1, 2, 3, 4 , т.е.

90