книги / Управление большими системами. УБС-2017

Фундаментальные математические основы теории управления

Управление большими системами. Выпуск XX

Таблица 1. Переменные и константы асинхронного двигателя и механической нагрузки.

Управление большими системами. Выпуск XXСистемный анализ

ными неизвестными величинами, при этом технически заданы границы интервалов, к которым принадлежат их значения, а также их номинальные значения n, n, = 1, 5

где min = const > 0, max = const > 0, min = const > 0,max = const > 0.

Введем в рассмотрение желаемые значения угловой скорости и модуля вектора магнитного потокосцепления ротора

( ), ( ), численные значения которых известны точно.

При указанных ограничениях (2), (5)–(6), а также в предположении, что все переменные системы (3) доступны измерению, в статье ставится задача асимптотического слежения за заданными значениями угловой скорости ротора ( ) и модуля вектора магнитного потокосцепления ротора ( )

(7)lim | ( )| = 0, lim | ( )| = 0,

→∞ →∞

где ( ) = || ( )|| − ( ), || ( )|| = 2 ( ) + 2 ( ),( ) = ( ) − ( ).

В следующем разделе рассмотрен синтез закона управления, обеспечивающего решение поставленной задачи.

Фундаментальные математические основы теории управления

Управление большими системами. Выпуск XX

2. Синтез алгоритма управления

Процедура синтеза робастного закона управления асинхронным электроприводом базируется на использовании декомпозиционного подхода на основе пошаговой процедуры и базового алгоритма управления, разработанного в публикации [1]

Шаг 1. Запишем дифференциальное уравнение для модуля вектора потокосцепления на основе (3)

В дальнейшем для синтеза робастного закона управления будем использовать номинальные значения параметров асинхронного электропривода. На первом шаге введем вспомогательные переменные на основе алгебраических

внутреннего виртуального контроллера, sign(·) – функция знака, доопределенная в смысле Филиппова А.Ф. [3]

1, при > 0;

sign( ) = −1, при < 0;

[−1, 1], при = 0.

Уравнения (10) реализуются в вычислительной среде. В связи с этим начальные условия для интеграторов (10) могут быть вы-

Управление большими системами. Выпуск XXСистемный анализ

браны произвольным образом. В дальнейшем при синтезе реальных управляющих воздействий удобно выбрать начальные условия следующим образом

где 0 – начальный момент времени.

На следующем шаге за счет выбора реальных управляющих воздействий будут обеспечены соотношения (9). Далее будет показано, как выбрать параметры внутреннего контроллера, чтобы обеспечить решение поставленной задачи при выполнении (9). Объединяя уравнения (8)–(10), получим

и перепишем последнюю систему в новых обозначениях

_ = *, _* = − 1 * − 1 − 1sign( ) + 1(t);

(12)_ = *, _* = −(2 3 + 2) * − 2 3 2 −

− 2sign( ) + 2( ),

Фундаментальные математические основы теории управления

Управление большими системами. Выпуск XX

Тогда (12) переменные системы сходятся к нулю экспоненциально.

Доказательство. В силу ограниченности статьи рассмотрим доказательство сходимости только для переменных , * в случае, когда 12/4 − 1 ̸= 0. Доказательство сходимости переменных второй подсистемы (относительно , *) проводится аналогично.

Управление большими системами. Выпуск XXСистемный анализ

ственное число матрицы .

Вычисляя собственные числа матрицы , легко показать, что квадратичная форма T отрицательно определена 1 > 0,1 > 0, 1 > 0. Из условий (15) теоремы 1 следует, что > 0 для всех значений из диапазона (5) и производная функции Ляпунова 1 отрицательна всюду кроме начала координат.

Для функции (17) напишем верхнюю оценку

Перепишем (18) с учетом последнего неравенства

_1 6 max( )[ 12 + 22] − | 1| 6 6 − 1(| 1| + 12 + 22) 6 − 1,

где = 1 , 1 = min { | max( )|, }.

0

Для переменной 1 при произвольных начальных условиях, заданных в момент времени 0, запишем оценку

| 1( )| 6 0 − ( − 0) | ( )| 6 0 − ( − 0), > 0,

Учитывая, что преобразование (16) – неособое, из сходимости переменных 1, 2 следует сходимость исходных переменных , *.

Фундаментальные математические основы теории управления

Управление большими системами. Выпуск XX

Шаг 2. На предыдущем шаге было показано, что если параметры внутреннего контроллера (9)–(11) были выбраны согласно неравенствам (15), то ошибки слежения за заданными траекториями стремятся к нулю экспоненциально. На втором шаге разработчики должны принудительно обеспечить соотношения (9)–(10) за счет выбора реальных управляющих воздействий , . Для этого зададим желаемые значения токов статора в двухфазной системе координат из равенств (9)

где суффикс d означает желаемые значения токов статора в _ - координатной системе.

Для отработки желаемых значений токов статора может быть использовано множество современных подходов на основе релейных систем, скользящих режимов и широтно-импульсной модуляции [9]. В данной статье предлагается пересчитать желаемые токи (19) в трехфазную систему координат с помощью матрицы преобразования

где a, b, c – желаемые значения токов в трехфазной системе координат

Для отработки заданных токов (20) воспользуемся техникой скользящих режимов [12]. Для этого выберем поверхности скольжения в виде

(21)= a − a, = b − b, = c − c,

и организуем скольжение по ним за счет выбора разрывных управляющих воздействий в форме

Управление большими системами. Выпуск XXСистемный анализ

где a, b, c – измеряемые компоненты вектора тока статора в трехфазной системе координат, – постоянное напряжение ключевого преобразователя энергии.

За счет выбора достаточно большой величины можно обеспечить возникновение скользящего режима на поверхностях, , за конечное время при всех неопределенностях параметров (5) и для некоторых заданных областях начальных условий исходной системы (3) и внутреннего контроллера (11). Оценивание данных областей в цель данной работы не входило.

3.Заключение

Встатье была рассмотрена проблема робастного управления асинхронным электроприводом в задаче слежения за заданными значениями магнитного потока ротора и угловой скорости вала. Были приведены оценки сходимости при заданных значениях параметров контроллера. В качестве перспективы дальнейших исследований могут быть отмечены следующие задачи:

– задача выбора параметров контроллера для обеспечения заданной степени сходимости;

–задача оценивания областей притяжения при заданных параметрах контроллера.

Литература

1.КОЧЕТКОВ С.А. Задача регулирования для асинхронного электропривода при воздействии внешних возмущений

// Материалы 13-й Всероссийской школы-конференции молодых ученых «Управление большими системами» (УБС’2016, Самара). – М.: ИПУ РАН, 2016. – С. 631–642.

2.КРАСНОВА С.А., УТКИН В.А., МИХЕЕВ Ю.В. Каскадный синтез наблюдателей состояния нелинейных многомерных систем // АиТ. – 2001. – №2. – С. 43–63.

3.ФИЛИППОВ А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. – М.: Наука, 1985.

Фундаментальные математические основы теории управления

Управление большими системами. Выпуск XX

4.ЧИЛИКИН М. Г., КЛЮЧЕВ В. И., САНДЛЕР А.С. Теория автоматизированного электропривода. – М.: Энергия, 1979.

5.DODDS J.S., UTKIN V.A., VITTEK J. Sensorless Induction Motor Drive with Independent Speed and Rotor Magnetic Flux Control. Part 1. Theoretical Background // J. Electrical Eng.

–1998. – Vol. 49, № 7. – P. 186–193.

6.DRAZENOVIC B. The Invariance Conditions in Variable Structure Systems // Automatica. – 1969. – Vol. 5, № 3. – P. 287–295.

7.KOCHETKOV S.A., UTKIN V.A. Invariance in Systems with Unmatched Perturbations // Autom. Remote Control. – 2013.

–Vol. 74, № 7. – P. 1097–1127.

8.MARINO R., TOMEI P., AND VERRELLI C. An adaptive tracking control from current measurements for induction motors with uncertain load torque and rotor resistance // Automatica. – 2008. – Vol. 44, № 10. – P. 2593–2599.

9.TSYPKIN YA. Z. Relay Control Systems. – Cambridge: PlaceTypeUniversity Press, 1984.

10.UTKIN V. A. Problems of Control of an Asynchronous Motor

// Autom. Remote Control. – 1993. – Vol. 54, № 12. – P. 1769–1779.

11.UTKIN V.A. Invariance and Independence in Systems with Separable Motion // Autom. Remote Control. – 2001. – Vol. 62, № 11. – P. 1825–1843.

12.UTKIN V.I., GULDNER J. AND J. SHI. Sliding Mode Control in Electromechanical Systems. – London: Tailor and Francis, 2009.

13.WONHAM W.M. Linear Multivariable Control: A Geometric Approach. – New York: Springer, 1979.

ROBUST CONTROL OF INDUCTION MOTOR UNDER INFLUENCE OF EXTERNAL DISTURBANCES

Управление большими системами. Выпуск XXСистемный анализ

Sergey Kochetkov, Institute of Control Sciences of RAS, Doctor of Science, leader research worker, kos@ipu.ru.

Abstract: During operation of the induction electric drive, its parameters included in the description of mathematical model, can change significantly. These processes involve heating of squirrel cage windings of the rotor, the saturation of the magnetic circuits of the rotor and the stator, and changes the given moment of inertia. The article considers the problem of tracking for a given angular velocity of the rotor under conditions of uncertainty of parameters of the mathematical model, describing the behavior of the electric motor, and influence of external uncontrolled disturbances. The using of nonlinear discontinuous control law provides exponential convergence of tracking error to zero.

Keywords: induction motor drive, tracking problem, unknown load torque, relay control law.

Статья представлена к публикации

членом редакционной коллегии ...

Поступила в редакцию ...

Дата опубликования ...