книги / Управление большими системами. УБС-2017

Фундаментальные математические основы теории управления

ядерного оператора K. Штрих у знака суммы означает отсутствие членов таких, что λ = μk .

Пусть выполнены условия леммы и теоремы, тогда формула (13) дает существенное сильное решение задачи (2) (3), (5).

Литература

1.SVIRIDYUK G.A., FEDOROV V.E. Linear Sobolev Type Equations and Degenerate Semigroups of Operators. – Utrecht; Boston; K o ln; Tokyo: VSP, 2003.

2.ZAGREBINA S.A. Multipoint initial-final value problem for the

linear model of plane-parallel thermal convection in viscoelastic incompressible fluid // Bulletin of the South Ural State University. Ser. Mathematical Modelling, Programming & Computer Software. – 2014. – Vol. 7, iss. 3. – P. 5–22.

STOCHASTIC DEVIS MODEL WHITH MULTIPOINT INITIAL-FINAL VALUE

Alexandra Konkina, SUSU, Chelyabinsk, assistant (alexandra.konkina@yandex.ru).

Abstract: The evolution of the free surface of the filtering fluid in a reservoir of limited power is modeled by the Davis equation with homogeneous Dirichlet conditions. The solvability of the multipoint initial-finite problem for the stochastic Davis model is given in the article. The main result is the proof of the unique solvability of the evolutionary model with an additive white noise and a multipoint initial-final condition.

Keywords: white noise, Wiener K-process, Davis model

61

61

Управление большими системами. Выпуск XX

УДК 517.977 ББК 22.18

ОЦЕНТРАЛИЗАЦИИ

ИДЕЦЕНТРАЛИЗАЦИИ УПРАВЛЕНИЯ

Горелов М.А.1, Ерешко Ф.И.2

(Вычислительный центр им. А.А. Дородницына ФИЦ ИУ РАН, Москва)

Анализируются простейшие модели, позволяющие оценить целесообразность процедур децентрализации и централизации управления сложными системами.

Ключевые слова: информационная теория иерархических систем, иерархические игры, максимальный гарантированный результат.

Введение

Данная тема централизации-децентрализации имеет бесконечную историю в обществе, что впечатляюще изложено в обзоре децентрализации [1]. Значительно возросший в настоящее время интерес к проблематике основан на взрывном характере проникновения цифровых технологий см. [2] в сферу государственного

имуниципального управления. В работе [3] приведена фраза К. Шваба, «…Дизруптивные изменения, которые несет четвертая промышленная революция, переопределяют деятельность государственных учреждений и организаций… Новые технологии

исоциальные группировки и взаимодействия, которые ими обеспечиваются, позволяют практически кому угодно оказывать влияние на ситуацию и при этом такими способами, о которых невозможно было бы подумать еще несколько лет назад….».

Одной из таких технологий является технология «блокчейн»

(специальная технология ведения распределённых реестров

1МихаилАлександровичГорелов, кандидатфизико-математическихнаук.

2ФеликсИвановичЕрешко, доктортехническихнаук(fereshko@yandex.ru).

62

Фундаментальные математические основы теории управления

с использованием криптографических алгоритмов). В завершающем абзаце обзора [1], непосредственно посвящённом проблематике использования технологий блокчейна в теории принятия решений, указывается, что децентрализованные приложения и децентрализованные организации на базе блокчейна могут создавать затруднения правительственным организациям в исполнении управляющих и регулирующих функций [1, 4–6].

«Like the internet, blockchain technology is designed to be decentralized, with “layers,” where each layer is defined by an interoperable open protocol on top of which companies, as well as individuals, can build products and services. Bitcoin is the killer app for the blockchain. Bitcoin drives adoption of its underlying blockchain, and its strong technical community and robust code review process make it the most secure and reliable of the various blockchains.

Decentralized applications and decentralized blockchain-based organizations could be more difficult for governments to control and regulate.»

Широко распространённые в различных публикациях утверждения о том, что при использовании технологии блокчейна нет необходимости в централизации, не корректны, поскольку всегда наличествует первый шаг в организации коалиции, когда формируется тот самый алгоритм координирующего управления, который действует автоматически. Стратегия блокчейна автоматизирована, а не является полностью автоматической.

Ещё добавим, что важной особенностью, на которую ссылаются многие авторы работ по технологии блокчейна, является то, что технология направлена на исключение посредников [5].

Введение формализации и алгоритмизации при формировании и реализации договорённостей между участниками коалиции позволяет внести элементы автоматизации в этот процесс. Алгоритмическое исполнение договорённостей участников, использующих в сообществе технологию блокчейна, получило название «умный» контракт.

На более высоком уровне организации жизнедеятельности общества можно говорить о подобном использовании цифровых технологий в законодательстве. Примеры «умных» законов приводятся в [3].

63

63

Управление большими системами. Выпуск XX

Могут быть два крайних случая: централизация и децентрализация, что касается организации и полной, и неполной информированности относительно параметров и стратегий участников как правил принятия решений в зависимости от имеющейся в наличии информации.

Внастоящей работе внимание будет уделено двум интерпретациям, имеющим отношение к информационной теории иерархических систем [8].

Впервой рассматривается изначально создание коалицией

сдецентрализованным управлением и обращение коалиции к созданию координирующего центра (далее – Центр), что можно сформулироватькакдвижениеотдецентрализациикцентрализации.

Во втором случае рассматривается делегирование Центром активным подсистемам полномочий по принятию решений, что можно охарактеризовать как движение от централизации к децентрализации.

Часть 1. От децентрализации к централизации. Координирующий Центр

ИСХОДНАЯ ПОСТАНОВКА ПРОБЛЕМЫ

Рассматривается группа экономически независимых, самостоятельно действующих агентов. В своей деятельности они используют наборы технологий, потребляют ресурсы и производят продукцию, которую реализуют на внешнем рынке. Кроме собственных запасов ресурсов имеется набор общих ресурсов, не принадлежащих отдельным членам группы, но пригодных для использования агентами, и делёж общих ресурсов представляет интерес длявсейгруппы.

Члены группы принимают решение объединиться и создать коалицию, деятельность которой будет выгодна для всех, и рассматривают различные механизмы организации функционирования коалиции. Создаётся координирующий Центр, который на основе принятого алгоритма осуществляет автоматически регулирующие функции.

64

Фундаментальные математические основы теории управления

ОПИСАНИЕ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ОГРАНИЧЕНИЙ

Итак, пусть имеется n агентов. Будем обозначать их числами от 1 до n. Каждый агент может производить m видов продукции, затрачивая при этом некоторые ресурсы. Число ресурсов будем обозначать буквой k. На производство единицы продукта вида j

запасы bli и rl неотрицательны. Далее будет удобно использовать следующие матричные обозначения. Обозначим через xi вектор столбец (x1i , x2i ,..., xmi )T (верхний индекс T, как обычно, обозначает транспонирование). Пусть с = (c1, c2 , ..., cm ) , а

значениях предыдущие формулы будут выглядеть следующим образом. Если агент i выпустит продукцию в количестве xi , то он сможет выручить за нее сумму cxi , и при этом будут затрачены ресурсы в количестве yi = Pi xi , где yi – вектор столбец

(y1i , y2i ,..., yki )T .

65

65

Управление большими системами. Выпуск XX

ПЕРВАЯ ЗАДАЧА. ИНТЕРВАЛЬНАЯ НЕОПРЕДЕЛЁННОСТЬ. «ЖЁСТКОЕ» УПРАВЛЕНИЕ

Предположим, что управление системой осуществляется централизованно, т.е. существует некоторый дополнительный орган (Центр), который выбирает объемы общих ресурсов, выделяемых каждому агенту и его программу выпуска продукции. При этом он стремится к максимизации суммарного дохода системы. Будем считать, что характеристики агентов известны Центру неточно. В данной постановке будем предполагать, что

эти условия можно символически записать в виде Pi− ≤ Pi ≤ Pi+ и bi− ≤ bi ≤ bi+ . В описанных условиях будем считать, что Центр должен выбирать управления так, чтобы ресурсов у каждого агента хватило на предложенную ему программу выпуска при любой матрице Pi и любом векторе bi из указанных диапазонов. Таким образом, перед Центром стоит нестандартная задача оптимизации следующего вида:

cx1 + cx2 + ... + cxn → max, Pi xi ≤ bi + yi , i = 1,2,...,n, y1 + y2 + ... + yn ≤ r,

xi ≥ 0, yi ≥ 0, i = 1,2,...,n.

Формально здесь имеется бесконечное число ограничений, поскольку неравенства Pi xi ≤ bi + yi , i = 1,2,...,n должны выпол-

няться для всех Pi− ≤ Pi ≤ Pi+ и bi− ≤ bi ≤ bi+ . Однако от этой трудности легко избавиться. В самом деле, если выполняются условия Pi+ xi ≤ bi− + yi , i = 1,2,...,n, то соответствующие усло-

66

Фундаментальные математические основы теории управления

вия сформулированной выше задачи будут выполнены для любых допустимых матриц Pi и векторов bi . Следовательно, Центру нужно решить стандартную задачу линейного программирования. Управлениями Центра в этой задаче, разумеется, являются векторы выпусков xi и векторы выделенных агентам ресурсов yi ( i = 1,2,...,n ).

cx1 + cx2 + ... + cxn → max, Pi+ xi ≤ bi− + yi , i = 1,2,...,n, y1 + y2 + ... + yn ≤ r,

xi ≥ 0, yi ≥ 0, i = 1,2,...,n.

Согласно теореме Куна–Такера существуют такие неотрицательныечисла λ1,λ2 ,...,λk , чтооднаизточекмаксимумафункции

cx1 + cx2 + ... + cxn − λ y1 − λ y2 − ... − λ yn

при ограничениях

Pi+ xi ≤ bi− + yi , i = 1,2,...,n, xi ≥ 0, yi ≥ 0, i = 1,2,...,n

будет решением интересующей нас задачи линейного программирования (здесь и далее используется обозначение

λ = (λ1,λ2 ,...,λk )).

Последняя задача максимизации очевидным образом распадается на n независимо решаемых задач линейного программирования:

сxi − λ yi → max, Pi+ xi ≤ bi− + yi , xi ≥ 0, yi ≥ 0 .

(в этой задаче управлениями являются векторы xi и yi ).

ВТОРАЯ ЗАДАЧА. α – ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ НЕОПРЕДЕЛЁННОСТЬ. «ЖЁСТКОЕ» УПРАВЛЕНИЕ

В этом варианте постановки задачи будем по-прежнему считать, что управления xi и yi выбираются централизованно

и в условиях неполной информации о параметрах модели. Но неопределенность в данном случае будем задавать несколько иначе. А именно будем считать, что значения коэффициентов

матриц Pi и векторов bi ( i = 1, 2, ..., n ) зависят от некоторого

неопределенного фактора α . Про этот фактор лицу, принимающему решение, известно лишь некоторое множество воз-

67

67

Управление большими системами. Выпуск XX

можных значений A . Для простоты будем предполагать, что множество A наделено топологией и компактно, а функции

plji (α ) и bli (α ) непрерывны в этой топологии. Таким образом,

центр должен решать следующую задачу оптимизации: cx1 + cx2 + ... + cxn → max,

Pi (α )xi ≤ bi (α ) + yi , i = 1,2,...,n, α A, y1 + y2 + ... + yn ≤ r,

xi ≥ 0, yi ≥ 0, i = 1,2,...,n.

В случае, когда множество A бесконечно, в этой задаче вновь имеется бесконечное число ограничений. Но и в данном случае ее можно редуцировать к задаче оптимизации с конеч-

задача эквивалентна следующей задаче выпуклого программирования:

cx1 + cx2 + ... + cxn → max, f i (xi ) ≤ yi , i = 1,2,...,n, y1 + y2 + ... + yn ≤ r,

xi ≥ 0, yi ≥ 0, i = 1,2,...,n.

Как и в предыдущем случае, теорема Куна–Такера позволяет осуществить декомпозицию этой задачи. А именно существует вектор λ с неотрицательными компонентами, для которого

Интерпретация этих конструкций такая же, как и в предыдущем случае.

68

Фундаментальные математические основы теории управления

Проблема поиска вектора цен ресурсов λ , разумеется, и в этом случае остается открытой.

Однако описанную процедуру декомпозиции можно использовать для построения итеративного метода «нащупывания» этих цен.

ТРЕТЬЯ ЗАДАЧА. ИНТЕРВАЛЬНАЯ НЕОПРЕДЕЛЁННОСТЬ. «МЯГКОЕ» УПРАВЛЕНИЕ.

В данном варианте будем предполагать, что Центр выбирает распределение ресурсов y1, y2 ,..., yn . Объем выпуска продук-

ции xi выбирает i-й агент. При этом он преследует собственные цели, которые описываются стремлением к максимизации критерия ci xi .

Центру известны пределы, в которых могут меняться коэффициенты матриц Pi и векторов bi ( Pi− ≤ Pi ≤ Pi+ и bi− ≤ bi ≤ bi+ ). Множества матриц Pi и векторов bi , удовлетворяющих условиям Pi− ≤ Pi ≤ Pi+ и bi− ≤ bi ≤ bi+ , обозначим через Πi и Bi соответственно. Кроме того, Центр точно знает интересы партнеров (век-

торы ci = (c1i ,c2i ,...,cmi ) ).

Каждый из агентов точно знает «свои» матрицу Pi и вектор bi . Будем предполагать, что Центр обладает правом первого хода, т.е. он первым выбирает свои управления y1, y2 ,..., yn и со-

общает о своем выборе партнерам. При этом он рассчитывает на то, что все агенты рациональны, т.е. i -й агент выбирает свои

Сравним этот результат с результатом Центра в первой задаче.

69

69

Управление большими системами. Выпуск XX

Пусть y1, y2 ,..., yn , x1, x2 ,..., xn – оптимальное решение пер-

вой задачи. Фиксируем произвольное распределение v1,v2 ,...,vn ресурсов, удовлетворяющее ограничению

v1 + v2 + ... + vn ≤ r, vi ≥ 0, i = 1,2,...,n.

Пусть zi – решение задачи

czi → max, Pi+ zi ≤ bi− + vi , zi ≥ 0 .

Тогда для любого wi , удовлетворяющего условиям

Pi+ wi ≤ bi− + vi , wi ≥ 0 ,

в том числе для wi BR(vi , Pi+ ,bi− ) , выполняется неравенство

cwi ≤ czi .Суммируя эти неравенства, получим: cw1 + cw2 + ... + cwn ≤ cz1 + cz2 + ... + czn .

Как было установлено выше, для решения первой задачи

≤cx1 + cx2 + ... + cxn .

Ав силу произвольности распределения v1,v2 ,...,vn получим

≤ cx1 + cx2 + ... + cxn .

70