книги / Управление большими системами. УБС-2017

Фундаментальные математические основы теории управления

Вывод. Таким образом, максимальный гарантированный результат Центра в третьей задаче при «мягком» управлении всегда не превосходит максимального гарантированного результата Центра в первой задаче при «жёстком» управлении.

Часть 2. От централизации к децентрализации. Формирование иерархии

ИСХОДНАЯ ПОСТАНОВКА ПРОБЛЕМЫ

В[8] Ю.Б. Гермейер и Н.Н. Моисеев выдвинули тезис

отом, что иерархия возникает там и тогда, где и когда для эффективного управления системой необходимо обрабатывать слишком большой объем информации о внешней среде. В этом случае лицо, принимающее решения (Центр), может делегировать часть своих полномочий по выбору управлений подчиненным.

Разумеется, при этом подчиненные, выбирая управления, могут (и будут) преследовать свои цели. Но при некоторых условиях Центр от такой децентрализации все же может выиграть. В данном докладе сделана попытка продемонстрировать этот эффект на простейшей из нетривиальных моделей.

Рассмотрим задачу управления некоторой системой с це-

лью максимизировать выигрыш g(w,α), где w W – управление, а α A – неконтролируемый фактор. Будем предполагать, что система «технологически структурирована». Пока это будет означать, что множество W представимо в виде декартова произведения W = U × V1 ×…×Vn, а множество A = A1 ×…×An. Будем считать, что, принимая решение о выборе управления w = (u,v1,…,vn), Центр может иметь информацию о реализовавшемся значении неопределенного фактора α = (α1,…,αn), но объем этой информации не должен превышать l бит. Содержание этой информации выбирает Центр.

ЦЕНТРАЛИЗОВАННОЕ УПРАВЛЕНИЕ

Здесь управления u, v1, …, vn выбирает Центр, и при этом он осторожен по отношению к имеющейся неопределенности. Такую задачу можно формализовать следующим образом.

71

71

Управление большими системами. Выпуск XX

Положим m = 2l, S = {0,1}l. Обозначим через Φ(X,Y) семейство всех функций из множества X в множество Y.

В силу сделанного предположения информацию о реализовавшихся значениях α можно кодировать словами s S. Семантику этих сообщений можно задавать функциями P Φ(A,S). А выбор управления w W в зависимости от полученного сообщения s S моделируется функцией w* Φ(S,W). Таким образом, стратегиями Центра являются пары (w*,P) из множества

Φ(S,W) × Φ(A,S).

Если Центр зафиксирует такую стратегию (w*,P) и реализуется значение неопределенного фактора α, то выигрыш составит g(w*(P(α)),α). Поэтому в наихудшем случае выбор стратегии (w*,P) гарантирует Центру получение выигрыша

inf g(w* (P(α )),α ) , а максимальный гарантированный результат

α A

будет следующим:

Для вычисления величины R0 может быть использован следующий результат.

Теорема 1. Если множества U, V1, …, Vn, A1, …, An наделены топологиями и компактны, а функция g непрерывна по совокупности аргументов, то

ДЕЦЕНТРАЛИЗОВАННОЕ УПРАВЛЕНИЕ

Теперь предположим, что центр имеет возможность передоверить выбор управления vi некоторому агенту i (i = 1, …, n). При этом, естественно, у агента i появятся свои интересы. Будем считать, что:

1)интересы агента i описываются стремлением к максимизации функции hi(u,vi,αi);

2)выбирая свое управление vi Vi агент I точно знает реализовавшееся значение неопределенного фактора αi

(в действительности это еще два предположения о «технологической структурированности» рассматриваемой системы).

72

Фундаментальные математические основы теории управления

За собой Центр оставляет право выбора управления u U. При этом он по-прежнему может использовать l бит информации о неопределенном факторе. Таким образом, стратегией

Центра в этом случае будет пара (u*,P) Φ(S,U) Φ(A,S). Будем считать, что центр обладает правом первого хода,

т.е. он первым выбирает и сообщает агентам свою стратегию (u*,P). В таком случае естественно предположить, что агент i выберет свое управление из множества

Используя прием, впервые примененный в [9], можно установить следующий факт.

Теорема 2. Для того чтобы число γ было гарантированным результатом Центра, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие:

(u1,…,um) Um α A (λ1,…,λn) Rn j {1,…,m}:

&[ (v1,…,vn) V1 … Vn( i {1,…,n}: hi(uj,vi,αi) < λi)g(uj,v1,…,vn,α) ≥ γ].

Кванторы общности и существования можно заменить операторами минимума и максимума, придав этому результату более привычный вид. Введем обозначение:

Λ(u,α,γ) = {(v1,…,vn) V1 … Vn: g(u,v1,…,vn,α) < γ}.

Теорема 3. Пусть множества U,V1,…,Vn,A1,…,An наделены топологиями и компактны, а функции g,h1,…,hn непрерывны по совокупности аргументов. Число γ является гарантированным результатом Центра тогда и только тогда, когда либо

73

73

Управление большими системами. Выпуск XX

либо это неравенство обращается в равенство и инфимум в нем не достигается.

Понятно, что если имеется достаточно эффективный способ проверки последнего условия, то вычисление величины R1 можно осуществить хотя бы методом деления пополам.

СРАВНЕНИЕ ЦЕНТРАЛИЗАЦИИ И ДЕЦЕНТРАЛИЗАЦИИ

Децентрализация управления рассматриваемой системой целесообразна, если R1 > R0. Примеры систем, для которых выполняются неравенства R1 > R0 и R1 < R0, строятся без труда. Поэтому сформулированное условие целесообразности децентрализации является нетривиальным.

Можно предположить, что с ростом доступного объема информации l величина R1 «растет быстрее», чем R0. Во всяком случае доказывается, что для любой системы и любого ε > 0 при достаточно больших значениях l выполняется неравенство R1 > R0 – ε. Таким образом, целесообразность децентрализации действительно связана с ограничением на объем информации.

Вероятно, в данном случае вычисление величины R1 можно выполнить «традиционным» способом, подобно тому, как была вычислена величина R0. Но есть основания утверждать, что использованный выше способ является более универсальным.

В данном случае он предпочтителен еще и потому, что оценить целесообразность децентрализации можно, не вычисляя величины R1. Достаточно проверить выполнение условия теоремы 3 для γ = R0.

Заключение

Проведенный анализ представляет некие начальные основания для дальнейшего исследования в области централизациидецентрализации.

74

Фундаментальные математические основы теории управления

Кроме того, обратим внимание на факт возможных динамических трансформаций организационных структур, что ил-

люстрируется на схеме в [5, с. 19]. Electronic copy available at: http://ssrn.com/abstract=2580664.

Литература

1.URL: https://en.wikipedia.org/wiki/Decentralization.

2.ШВАБ К. Четвертая промышленная революция / пер. с англ., предисл. Г.О. Грефа. – М.: Эксмо, 2016. – С. 138.

3.ЕРЕШКО Ф.И. Теория иерархических игр в приложении к законотворчеству в цифровом обществе // Бизнес в законе. Жур-

налComputational nanotechnolgy. – 2017. – №2. – С. 52–58.

4.Нarvard Business Review. The Blockchain Will Do to the Financial System What the Internet Did to Media.

5.Aaron Wright* & Primavera De Filippi**. DECENTRALIZED BLOCKCHAIN TECHNOLOGY AND THE RISE OF LEX CRYPTOGRAPHIA // SSRN. – accessed March 21, 2017. – URL: http://ssrn.com/abstract=2580664.

6.McGinnis John (7 March 2017). Bitcoin: Order without Law in the Digital Age. SSRN 2929133 .

7.ГЕРМЕЙЕР Ю.Б., МОИСЕЕВ Н.Н. О некоторых задачах теории иерархических систем // Проблемы прикладной ма-

тематики и механики. – М.: Наука, 1971. – С. 30–43.

75

75

Управление большими системами. Выпуск XX

8.ГОРЕЛОВ М.А. Максимальный гарантированный результат при ограниченном объеме передаваемой информации // Авто-

матика и телемеханика. – 2011. – № 3. – С. 124–144.

ON THE CENTRALIZATION AND DECENTRALIZATION OF CONTROL

Mikhail Gorelov, Dorodnitsyn Computing Center of the Russian Academy of Sciences, Moscow, Cand.Sc.

Feliks Ereshko, Dorodnitsyn Computing Center of the Russian Academy of Sciences, Moscow, Doctor of Science (fereshko@yandex.ru).

Abstract: The simplest models, that make it possible to assess the appropriateness of decentralization and centralization procedures for controlling complex systems, are analyzed.

Keywords: information theory of hierarchical systems, hierarchical games, maximum guaranteed result.

76

Фундаментальные математические основы теории управления

УДК 517.9 ББК 22.193

ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ ОДНОЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ НЕРВНОГО ИМПУЛЬСА В ПРЯМОУГОЛЬНОЙ МЕМБРАНЕ1

Гаврилова О.В.2

(Южно-Уральский государственный университет, Челябинск)

В статье рассматривается численное исследование задачи оптимального управления модели Фитц Хью–Нагумо в прямоугольнике. Система уравнений Фитц Хью–Нагумо моделирует процесс распространения нервного импульса в мембране. Данное уравнение относится к полулинейным уравнениям соболевского типа, которые составляют обширную область неклассических уравнений математической физики. Разработан алгоритм численного решения задачи оптимального управления в прямоугольнике на основе модифицированного метода Галеркина и метода декомпозиции, и приведен результат вычислительного эксперимента.

Ключевые слова: уравнения соболевского типа, метод декомпозиции, численного моделирование.

Введение

В 1961 году Р. Фитц Хью и Дж. Нагумо независимо друг от друга была предложена модель распространения нервного импульса в мембране [4, 5]. Широкое применение эта модель получила в электрофизиологии сердца и головного мозга, в частности для выявления отмирающих нервных клеток в некоторой области. В данной работе будет рассмотрена вырожденная система уравнений Фитц Хью – Нагумо [1] в прямоугольной области

1 Автор признателен Н.А. Манаковой за ценное обсуждение содержания статьи.

2 Гаврилова Ольга Витальевна, аспирант (gavrilova0812@yandex.ru).

Управление большими системами. Выпуск XX

= ( 1, 2, ) – медленная восстанавливающая функция,

проводность среды, 2 – реполяризацию среды, вектор-функция= ( 1, 2) описывает источник возбуждения. Нулевое решение системы при 2 < 0 асимптотически устойчиво, а 2 > 0 неустойчиво.

1.Аналитическое исследование математической модели распространения нервного импульса в прямоугольной мембране

Вцилиндре × (0, ) будем рассматривать систему уравнений (1) в случае, когда 2 < 0 и 1 = {2, с краевым условием

(2)( 1, 2, ) = 0, ( 1, 2, ) = 0, ( 1, 2, ) ∂ × R

и условием Шоуолтера – Сидорова

(3)( 1, 2, 0) − 0( 1, 2) = 0, ( 1, 2) .

Рассмотрим пространство

X = { = ( , )| 2(0, ; 12( )),

∞(0, ; 12( )) ∩ 4(0, ; 4( )}.

Определение 1. Вектор-функцию X при R+ назовем слабым обобщенным решением задачи Шоуолтера – Сидоро-

Фундаментальные математические основы теории управления

ва (1) – (3), если она удовлетворяет

Рассмотрим задачу оптимального управления

(4) ( , ) → inf

решениями задачи (1) – (3) в слабом обобщенном смысле и построим пространство управлений U = { = ( 1, 2) : 1

торое необходимо достичь с минимальными затратами на управление. Таким образом, оптимальное управление решениями задачи (1) – (3) дает возможность минимизировать потери мембранного потенциала при прохождении порога возбуждения.

120 79

Управление большими системами. Выпуск XX

Управление большими системами. Выпуск XX

Определение 2. Пару (^, ^) X × U назовем решением задачи оптимального управления (1) – (4), если

(^, ^) = inf ( , ),

( , )

где пары ( , ) X × U удовлетворяют (1) – (3) в слабом обобщенном смысле.

Теорема 1. [2] Пусть 1, 2, 1, {1 R+, 2 R−, тогда при

любых 0 12( ), R+ существует решение задачи (1) – (4).

2. Алгоритм численного решения

Используя теоретические результаты, полученные в работах [2, 3], нами был разработан и реализован алгоритм нахождения приближенного решения задачи оптимального управления (1) –

(4) на основе модифицированных методов декомпозиции, штрафа, Галеркина и Ритца. Приведем данный алгоритм на модельном примере.

Пример 1. Требуется найти решение задачи (1) – (4) при сле-

дующих условиях: = (0, ) × (0, ), 1 = 1, 2 = 2, 1 = 1,

2 = −1, {1 = 1, 1 = 3, 2 = 3, = 1, = 2, = 12 ,= 10099 , = 1001 , 0( ) = sin( 1) · sin( 2) + sin(2 1) · sin(2 2),= · sin( 1) · sin( 2) + 2 · sin(2 1) sin( 2) + sin( 1) · sin( 2),

= · sin( 1) · sin( 2) + 2 · sin(2 1) sin( 2) + sin( 1) · sin( 2). ∙

Запишем систему уравнений (1) при сформулированных

Применяя метод декомпозиции, описанный в работе [3], линеаризуем систему (6), введением функции = ( 1, 2, ) и получим эквивалентную задачу Шоуолтера – Сидорова – Дирихле