книги / Управление большими системами. УБС-2017

Фундаментальные математические основы теории управления

Лемма доказана.

Заметим, что оценки (17) справедливы при нулевых начальных условиях zi (0) = 0 в наблюдателе (17). По измерениям

e1(t) можно сразу установить z1(0) = e1(0) ε1(0) , что несколь-

ко ускорит процесс сходимости ошибок наблюдения.

При использовании наблюдателя смешанных переменных (14), (16) базовый закон разрывного управления (11) будет реализован в виде

место реальный скользящий режим

e1 = e2 , i = 1,n − 2; e2 = −c1e1 − c2e2 + s, s(t) ≤ ,

что обусловливает решение задачи слежения (6) с некоторой точностью e1(t) ≤ δ t > ts .

5. Результаты моделирования

Моделирование замкнутой системы (1), (14), (16), (32) проводилось в среде Matlab–Simulink при следующих параметрах:

c1 = c2 = 4 , a32 = 2 , a33 = 10 , b3 = 10 , X1 = 2π , X 2 = 1.

Рассматривались различные допустимые режимы работы при различных возмущениях с вариациями параметров:

m [0.9;1.1] , l [0.9;1.1] , κ [7;9].

Для худшего расчетного случая на основе неравенств, полученных при доказательстве леммы, были приняты следующие

51

51

Управление большими системами. Выпуск XX

коэффициенты корректирующих воздействий (16) и амплитуда разрывного управления (5), (12):

(33)l1 = 50,l2 = 100 , M1 = 5 , M 2 = 10 , M = 24 .

На рис. 1 показан процесс слежения выходной переменной x1(t) [рад] системы (1) за постоянным сигналом g(t) =1,5 при

внешнем возмущении η1 (t) = sin t . На рис. 2 показан процесс слежения за переменным сигналом g = sin(0.5t) при внешнем возмущении η (t) = 0.5sin 2t при тех же коэффициентах (33).

Основная идея работы, позволяющая расширить класс робастных замкнутых систем для динамических объектов, функционирующих в условиях неопределенности, заключается в разработке методов оценивания смешанных переменных с помощью наблюдателя состояния, построенного на основе виртуальной канонической модели. Результаты моделирования подтвердили эффективность разработанного метода синтеза.

Литература

1.АНДРЕЕВ Ю.Н. Управление конечномерными линейными объектами. – М.: Наука, 1976. – 424 c.

2.АХОБАДЗЕ А.Г., КРАСНОВА С.А. Решение задачи слежения в условиях неопределенности на основе совместной блочно-

52

Фундаментальные математические основы теории управления

канонической формы управляемости и наблюдаемости // Уп-

равлениебольшимисистемами. – 2009. – Вып. 24. – С. 34–80.

3.КРАСНОВА С.А., УТКИН А.В. Сигма-функция в задачах синтеза наблюдателей состояний и возмущений // Проблемы управления. – 2015. – № 5. – С. 27–36.

4.КРАСНОВА С.А., УТКИН А.В. Анализ и синтез минималь- но-фазовых нелинейных SISO-систем при действии внешних несогласованных возмущений // Проблемы управления. – 2014. – № 6. – C. 22–30.

5.КРАСНОВ Д.В., РАССАДИН Ю.М., ШИНКАРЮК А.Г. Реа-

лизации метода разделения движений в задачах наблюдения

[Электронный ресурс] // Управление большими системами (УБС’2016): материалы XIII Всерос. шк.-конф. молодых ученых; 5–9 сентября 2016 г., Самара. – М.: Изд-во ИПУ РАН, 2016. – С. 121–133.

6.МИРОШНИК И.В., НИКИФОРОВ В.А., ФРАДКОВ А.Л.

Нелинейное и адаптивное управление сложными динамиче-

скими системами. – СПб.: Наука, 2000. – 549 c.

7.НИКИФОРОВ В.О. Адаптивное и робастное управление с компенсацией возмущений. – СПб.: Наука, 2003. – 282 с.

8.УТКИН В.И. Скользящие режимы в задачах оптимизации и управления. – М.: Наука, 1981. – 368 c.

9.ANGELI D. Almost global stabilization of the inverted pendulum via continuous state feedback // Automatica. – 2001. – Vol. 37. – P. 1103–1108.

10.ISIDORI A. Nonlinear control systems. 3rd Ed. – Berlin: Springer-Verlag, 1995. – 550 р.

11.KHALIL H.K., PRALY L. High-gain observers in nonlinear feedback control // International Journal Robust and Nonlinear Control. – 2014. – Vol. 24. – P. 993–1015.

53

53

Управление большими системами. Выпуск XX

SYNTHESIS OF THE ROBUST CONTROL SYSTEM OF THE PENDULUM POSITION

Dmitriy Krasnov, V.A. Trapeznikov Institute of Control Sciences of Russian Academy of Sciences (dim93kr@mail.ru).

Abstract: Electromechanical control plant in the form of an inverted pendulum with allowance for the reduced dynamic model of the DC motor is considered. The parametric uncertainties of the mechanical system and external perturbations do not belong to the control space. Based on the representation of the system in the canonical input-output form with allowance for smooth perturbations, a discontinuous control law is design. This law ensures different modes of operation of the system invariant with respect to the existing uncertainties and it does not require reconfiguration when changing external influences. By measurements only tracking errors, method for the synthesis of a reduced observer for estimating mixed variables (combinations of state variables, external influences and their derivatives) is developed.

Keywords: electromechanical system, tracking, discontinuous control, state observer, robustness.

54

Фундаментальные математические основы теории управления

УДК 517.9 ББК 22.16

СТОХАСТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДЕВИСА С МНОГОТОЧЕЧНЫМ НАЧАЛЬНО-КОНЕЧНЫМ УСЛОВИЕМ

Конкина А.С.1

(Южно-Уральский государственный университет, Челябинск)

Эволюция свободной поверхности фильтрующейся жидкости в пласте ограниченной мощности моделируется уравнением Девиса с однородными условиями Дирихле. В статье приводится разрешимость многоточечной начально-конечной задачи для стохастической модели Девиса. Основной результат – доказательство однозначной разрешимости эволюционной модели с аддетивным белым шумом имноготочечным начально-конечным условием.

Ключевые слова: белый шум, винеровский K-процесс, модель Девиса.

1. Введение

линеен, замкнут и плотно определен), причем М (L, p) -секто-

которые имеют место либо в случае сильной (L, p) -секториаль-

1 АлександраСергеевнаКонкина, ассистент(alexandra.konkina@yandex.ru).

55

55

Управление большими системами. Выпуск XX

которое имеет место в случае сильной (L, p) -секториальности оператора M , p {0} N . Ранее было показано, что (A1) вместе с условием (L, p) -секториальности оператора М, p {0} N дает сильную (L, p) -секториальность оператора M справа (слева), p {0} N , а если к ним добавить условие (A2), то получим сильную (L, p) -секториальность оператора М, p {0} N [?]. Тогдаоператор G = M0−1L0 L(U 0 ) нильпотентенстепени p, аоператор S = L1−1M1 Cl(U1 ) секториален. (А3) ещеодноважноеусловиенаотносительныйспектроператораМ [1].

причем оказывается, что при условии (L, p) -секториальности

где λ R , α , β R+ . Уравнение (2) вместе с условиями (3), где свободным членом f = f (t) выступает белый шум, можно привести к стохастическому уравнению соболевского типа:

Фундаментальные математические основы теории управления

Возьмем τ 0 = 0 и τ j R+ , если τ j−1 < τ j для j = 1,n . Урав-

нение (4) можно дополнить многоточечным начально-конечным условием:

Вектор-функцию u C1 ([τ0 , τn ];U ) ∩ C([τ0 , τn ];U ) , удовлетворяющую уравнению (4), назовем его решением; решение u = u(t) уравнения (4), удовлетворяющее условию (5), назовем

решением многоточечной начально-конечной задачи (4), (5).

2. Пространство шумов

Пусть Ω ≡ (Ω, A, P) – полное вероятностное пространство,

снабжено борелевской σ -алгеброй. Назовем случайной величиной измеримое отображение. Отметим, что все случайные величины, имеющие нормальное распределение (т.е. гауссовы), содержатся в пространстве L2 .

Рассмотрим два отображения: f :I → L2 , ставящее в соответствие каждому t I случайную величину ξ L2 , и g :L2 × Ω → R , ставящее в соответствие каждой паре (ξ ,ω) точку ξ (ω) R , где

I R – некоторый промежуток. Cтохастический процесс – это отображение η:I× Ω → L2 , имеющее вид η= η(t,ω) = g( f (t),ω) . Отметим, что стохастический процесс η= η(t, ) , т.е если зафикси-

ровать t I, является случайной величиной, а стохастический процесс η= η( ,ω) , т.е. если зафиксировать ω Ω , будет назы-

ваться (выборочной) траекторией. Назовем непрерывным стохастический процесс η , если при почти всех (п.в.)) ω Ω траектория

η(t,ω) непрерывнана I .

Обозначим символом P ≡ P(I× Ω;U) пространство стохастических процессов. Пространство непрерывнх стохастических процессов, чьи случайные величины принадлежат L 2 , обозна-

чим CL2 , т.е. η CL2 , если η (t, ) L2 при всех t I. Отметим что CL2 является подпространстовом P . Отметим, что прост-

57

57

Управление большими системами. Выпуск XX

ранство CL2 содержит, в частности, те стохастические процес-

сы, все траектории которых п.н. непрерывны, а все (независимые) случайные величины – гауссовы. Рассмотрим оператор

K L(R) , спектр которого σ (K) положителен, т.е. σ (K ) R+ . Это возможно, когда σ (K) положительно определен и самосо-

пряжен. Последовательность собственных значений оператора K обозначим через {λk }. Пусть спектр σ (K) дискретен, конечно-

кратен и сгущается только к точке нуль, тогда {λk } занумеруем

по невозрастанию с учетом их кратности. Оператор K назы-

∞

вается ядерным, если TrK = λk < +∞. Отметим, что линейная

k =1

оболочка множества {φk } соответствующих собственных векторов оператора K плотна в U . Рассмотрим броуновские движения, иначе говоря, последовательность {ξk } .

Стохастический процесс

∞π

(6)β (t) ≡ β (t,ω) = k =0ξk sin 2 (2k +1),t R+ ,

обладающий свойствами:

недифференцируемы t R+ и на любом промежутке I R+

имеют неограниченнную вариацию, называется винеровским K-процессом.

При любых ядерном операторе K L(U) и последовательности броуновских движений {ξk } винеровский K-процесс

W CL2 .

конечной задачи для уравнения (4) будет иметь вид

58

Фундаментальные математические основы теории управления

удовлетворяющих условию (7), существует единственное сильное решение задачи (4), (5), которое к тому же имеет вид (18).

3. Модель Девиса

с краевыми условиями

(10)u(x,t) = u(x,t) = 0,(x,t) ∂Ω × R+ .

Управление большими системами. Выпуск XX

Ряд в (8) сходится абсолютно и равномерно на любом компакте в C , не содержащем точек:

и сгущается только к −∞ . При рассмотрении задачи ограничимся только значениями параметра λ , лежащими в спектре оператора . Поэтому из множества чисел (12) следует удалить числа

где штрих у знака суммы означает отсутствие слагаемых с номерами k такими, что λ = λk . Отсюда нетрудно получить силь-

ную L -спектральность оператора M . Простоты ради возьмем оператор N = Q, тогда условие (7) очевидно выполняется.

Обозначим через {μk } последовательность собственных значений оператора Лапласа в области Ω с условием (3), занумерованную по невозрастанию с учетом их кратности, а через {φk } – последовательность собственных функций. Тогда

собственные значения специальными образом построенного

60