книги / Устойчивость и колебания пластинок и оболочек с отверстиями
..pdfточности совпадают с результатами, полученным* с использованием «сплошной* модели с неоднородной жесткостью и метода Бубнова — Галеркина, то, очевид но, правомерно распространить метод сплошной модели в сочетаний с методом Бубнова — Галеркина на другие задачи.
К настоящему времени сведений о критических нагрузках для пластинок с отверстиями явно недостаточно для практики. В известной мере это объясняет ся тем, что применять обычные формы записи энергетического критерия устой чивости можно только, выполнив соответствующие предварительные условия [45, 46]. Та<к, для использования критерия в форме Брайена [46] необходимо ре шать плоскую задачу теории упругости, что само по себе не является простым для неодносвязных областей. Критерий в форме Н. А. Алфутова и Л. И. Балабука [1, 2] требует построения статически допустимого напряженного состоянчя. Использование критерия в форме С. П. Тимошенко [Э4] связано с необходимо стью предварительного определения бифуркационных перемещений точек контура пластинки. В связи с этим Л. М. Куршшым и К. А. Матвеевым [45—47] для решения задач устойчивости пластинки с отверстием предложен критерий в фор ме, не требующей выполнения каких-либо предварительных условий. Не при водя здесь вывода для критериального соотношения, отметим, что в основе его лежит условие: задачам вариационного типа соответствует не один, а целое мно жество функционалов. Переход от одного функционала к другому осуществля ется с помощью неопределенных множителей Лагранжа и некоторых преобразо ваний. При этом предварительные условия, которым должны удовлетворять иско мые функции, переходят в естественные условия для некоторого преобразованно го функционала. Вариационная задача для нового функционала дает, в частно сти, естественные условия для определения вводимых при преобразованиях функ ций— множителей Лагранжа. Сделанное ранее сравнение результатов вычисле ний по зависимостям Л. М. Куртина и К. А. Матвеева с решениями, приведен ным* в других работах и опытными данными, изложенными в предыдущем раз деле, показывает, что решение задач устойчивости для пластинок с круговым отверстием на оонове критерия работы [45] приводит к значительно занижен ным критическим параметрам, особенно с увеличением размера выреза.
Глава 4
УСТОЙЧИВОСТЬ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ПЛАСТИНОК С ОТВЕРСТИЯМИ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ФОРМЫ
4.1.АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ
Уравнение устойчивости для пластинок с круговым отверстием
(ЛГ,р>+ЛГха ? )-5 -= О о г - £ = £ l —
_D°iiujbAr( e+ |
~ |
v н ’ (4-ц |
|
2 |
т '‘Ы |
|
|
/=1 '/=1 |
|
|
|
полученное в предыдущей главе, может быть попользовано для изу чения поведения прямоугольных пластинок, ослабленных выреза ми произвольной формы. В этом случае параметры, входящие в (4.1), определяются по следующим зависимостям:
£ - = (а 2- г № |
— |
b*ij=y2ij - |
уир |
Q = m ujb*tjV + m2lJa*jа; |
|
||
mXij = |
sin 2 a.xuj — sin 2ax2ij\ |
(4 .2) |
|
m.2,7 = |
sin 2 $yw — sin 2 py2iJ; |
|
|
S = a b ;
/- i ] - 1
Здесь через Si обозначена площадь, занимаемая вырезами.
Конфигурация вырезов сказывается на методе определения ко ординат вершин прямоугольников Хщ; х2ц\ унз\ Ущ, с помощью
которых, как и в случае круговых отверстий, аппроксимируют ре альные вырезы.
Если пластинка перфорирована только вырезами в форме полу круга (рис. 4.1), то координаты вершины прямоугольников для этого случая находим по формулам
у щ = У 1— Ri 4 - АУ(Л |
У г и = У ш + Д&; |
|
Д |
R 2i — ^ и~ У- — у ^ |
(4 .3 ) |
X2lJ= Xt\ У— 0, |
1, 2 , . . . , г. |
|
Число разбиений г подбирается тако вым, чтобы последующий расчет отли чался от предыдущего с наперед за данной степенью точности.
Далее рассмотрим пластинки с вы резами эллиптической формы. Пред полагаем, что они ориентированы та ким образом, когда оси эллиптическо го контура параллельны внешним сто ронам пластинки.
Параметрами эллипса являются координаты центра Х{ и yit а также малая — Ь* и большая а* полуоси. Кроме того, форму эллипса характе ризует ее эксцентриситет
у\ Ny
шшшшгшшхшш
NA !
м w
Vi’Ус Ny
Рве. 4.1
e = V { a * ) 2- {b * fla * . |
(4 .4) |
Координаты прямоугольников, представляющих эллиптический' вырез, будут определяться по формулам
У\)=Ш — £ *+ Д ^ £ |
*; Д ^ = 2 |
6 */г ; |
|
|
k * = 0, 1, 2 , . . . , ( |
г - 1 ) ; / = |
3 , 4 |
, . . . , г, |
(4 .5) |
“V (^*)2 — 0>25 (y2j-\-yij — 2yjf.
Наконец, если контуры прямоугольного выреза не параллель ны наружному контуру пластинки, то в этом случае необходимые для вычисления соотношения значительно усложняются. Ниже бу дем рассматривать этот более общий случай. Для упрощения за писи индекс i опускаем. Вершинам прямоугольников присвоим по рядковые номера 1, 2, 3 и 4. Они имеют координаты соответственно (*ь У\)> (хь Уг), (*з. Уз), (*4, Уа) •Предположим, что последние под чиняются условиям * 1 < * 2 < * з < * 4 ; Уч<У\<У\<Уз-
Прямоугольный вырез для рассматриваемого случая представ ляется серией малых прямоугольников с контурами, параллельны ми сторонам пластинки. Высота этих прямоугольников равна
Ьу=1\1п Г=3, 4,...,
где |
Y |
[(*2 — Х& - |
(У2~ |
[(ха — xzf + (у2— у&] |
|
1 г = ---------------------------------- |
|
|
■*з--------------------------------------- |
- ; |
|
|
|
|
|
Х1 |
|
|
х 'з= х 1 + |
{х з - |
Xi) {УА—Ух)1{уг— t/x). |
||
|
В этом случае ординаты прямоугольников будут: |
||||
|
У ц = У 2+ |
Ьу&; |
k * = 0, 1, |
2 , . . . , (г — 1); |
|
Уч]=У ц+ьу; |
</ср.у=0,5 [yl} -f у2}). |
Если У2< У ц < У и то абсциссы |
этих |
прямоугольников находятся; |
по следующим формулам: |
|
|
х И = Х г- f (х2— X j |
(ycpJ — y.)l(y2 — уf); |
|
XV = X 2 + C*4- X2) (yc[)j - |
y2)/(y2 - 1/4). |
|
Когда yx< y 2 < .y A, TO l2=y-&— y2 — 2lx, L y '= l 2jr.
В этом случае
y2j = y i j + b y r;
y'cPj= 0 ,5 (уу+у'у);
—*i) (У ы — уд/УЛ —Уй Х у = Х2+ {хА— лгх) (г/ср j —уЖ & . — 0.1).
Наконец, когда Уа< У 2) < У з, то
уЬ = t /4 + Ду#*; г/2у= г/1/ + Дг/;
*/ср/=0,5 (^1у+г/2;);
* y = * i + ( * а —* 1 ) (t/cp/— £/i)/(i/3— i/,):
^ 27= ^ 4 - f ( * 8 — x 4) ( y cpJ - г/4)/(£/з - У а ) ‘
Для более ясного представления о степени влияния формы вы реза на устойчивость прямоугольных пластинок были выполнены вычисления по зависимостям (4.1) и (4.2) с учетом значений ко эффициентов для вырезов соответствующей формы.
На рис. 4.2 показан характер изменения коэффициента при ком бинированном нагружении для прямоугольных пластинок с цент
ральным круговым вырезом |
(сплошные кривые) и для |
пластино.с |
|||
с вырезом в форме полукруга |
(пунктирные). |
|
|
||
На рис. 4.3 показан |
характер изменения коэффициента |
дня |
|||
квадратных пластинок с |
эллиптическим центральным |
вырезом в |
|||
функции от эксцентриситета. |
|
|
|
||
В табл. 4.1 приведены значения коэффициента kx для пластин |
|||||
ки (см. рис. 4.1) |
с различным числом вырезов в форме полукруга. |
||||
Координаты Xi/a |
и y ja , |
где / = I, 2, 3......... 16, определяются |
следу- |
||
к
3ft
2,0
1,0
О 0,2 0,4 0,6 0,8 е
Рис. 4,3
ющими правилами: X i/ a = 0,2j ( / = 1 |
.для 1 = 1 , 5, 9, 13; } = 2 для 1 = 2 , |
|||||||
6, |
10, |
14; j = 3 |
для i = 3, 7, 11, 15; |
j = 4 |
для i= 4 , 8, 12, |
16); г/,/а= |
||
= |
0,2г] |
(т]=1 |
для 1=1, 2, 3, 4; т)—2 для |
1 = 5 , |
6, 7, 8; rj = |
3 для |
1 = |
|
= 9 , 10, 11, 12 и т] = 4 для 1 = 1 3 , |
14, 15, 16). |
Все вычисления |
про |
|||||
водились с точностью, равной 1C-7. Время расчета одного вариан та лежит в пределах 1 . . . 2 мин.
Т а б л и ц а 4.1
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Значения \ = N y/ N x |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
Номера отверстий |
0 |
0,2 |
0.4 |
0,6 |
0,8 |
1,0 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1, 6, |
|
11, |
16 |
|
|
|
|
|
|
|
3,74 |
3,12 |
2,68 |
2,34 |
2,08 |
1,87 |
||
1, |
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3,8о |
3,21 |
2,75 |
2,40 |
2,14 |
1,92 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3,90 |
3,25 |
2,78 |
2,44 |
2,16 |
1,95 |
1, 6, |
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3,80 |
3,16 |
2,71 |
2,37 |
2,11 |
1,90 |
|
9, |
10, 13, 14 |
|
|
|
|
|
|
3,74 |
3,12 |
2,68 |
2,34 |
2,08 |
1,87 |
|||||
9, |
10, |
13, |
14, |
15 |
|
|
|
3,70 |
3,08 |
2,64 |
2,31 |
2,05 |
1,85 |
|||||
5, |
9, |
|
10, |
13, |
14, |
15 |
|
3,64 |
3,04 |
2,60 |
2,28 |
2,03 |
1,82 |
|||||
1, 5, 6, 9, 10, И , |
|
13— 16 |
3,45 |
2,87 |
2,46 |
2,15 |
1,91 |
1,72 |
||||||||||
1, 4, 5, 6, 9— 11, |
|
13— 16 |
3,40 |
2,83 |
2,42 |
2,12 |
1,89 |
1,70 |
||||||||||
1— 16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3,32 |
2,76 |
2,37 |
2,07 |
1,84 |
1,66 |
|||
1, 6, |
7, |
10, |
11, |
16 |
|
|
3,65 |
3,04 |
2,60 |
2,28 |
2,03 |
1,82 |
||||||
1, 4, 6, 7,110, |
|
11, |
13, |
16 |
3,55 |
2,96 |
2,53 |
2,22 |
1,97 |
1,77 |
||||||||
4.2.ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ДАННЫЕ
ИСОПОСТАВЛЕНИЕ ИХ С РАСЧЕТНЫМИ
Экспериментальному изучению поведения прямоугольных пла стинок с вырезами овальной формы посвящено, насколько извест но автору, лишь одно исследование В. Г. Налоева [58]. Целью этой работы было выявление влияния размеров выреза на величину ко эффициента устойчивости k0. На специально сконструированной установке [57] были испытаны в условиях одноосного сжатия рав номерно распределенной нагрузкой четыре прямоугольных пластин ки с отношением сторон 1 : 2 ; 2 : 1. Опытные пластинки изготовля лись из органического стекла. Выбор последнего основывался на следующих соображениях: во-первых, органическое стекло легко поддается обработке, что немаловажно, так как в каждом образце при исследовании производилось последовательно по три выреза; во-вторых, органическое стекло — линейно упругий материал с низ ким модулем Юнга, что позволило ограничиться при испытаниях невысокими нагрузками и в то же время испытать достаточно толстые образцы 5 мм) с малым начальным прогибом.
Для определения модуля Юнга материала экспериментальных образцов из оргстекла той же партии была изготовлена отдельная
Mktmt
1
w
0,5
6)
00,5
Pmc. 4 .4
|
|
“ |
1 |
i. |
|
|
|
i |
|
|
сl________ |
|
||
1 |
N |
i |
J |
|
1 |
|
|||
|
|
|||
|
I |
|
|
|
i
i
1________ J_________
1,0 1,5 c/(f
Ряс. 4.5
балка. Ее испытания показали, что £ = 3 , 0 6 ГЛа. Коэффициент Пу ассона считался равным 0,35.
Соотношения линейных размеров экспериментальных образцов, изготовленных согласно рис. 4.4, а, были следующие:
Пластинки I и II: а/Ь = 0,5; с/о=;0,5; dfc= 1;. 1,'5; 2 Пластинки III и IV: а/Ь=2; d/b= 0,5; c/d= 1; 1,5; 2
Через а здесь обозначены стороны, перпендикулярно которым при кладывалась внешняя нагрузка, через Ъ обозначено расстояние между опорными ножами. Длина сторон а опытных образцов у пластинок I— II была равна 448 мм, а у пластинок III и IV — 896 мм.
Следует отметить, что соотношения линейных размеров внешне го контура опытных образцов, а также размеры и форма выреза в пластинке соответствовали аналогичным характеристикам пла стинок набора двойного дна судового корпуса.
Как нагруженные, так и ненагруженные кромки внешнего кон тура опытных образцов находились в условиях свободного опирания и имели возможность в процессе деформации свободно искрив ляться в срединной плоскости пластинки. Методика проведения экс периментального исследования состояла в последовательном вы полнении ряда операций. Прежде всего, были испытаны две сплошные квадратные пластинки с целью выявления характера распределения сжимающих усилий вдоль нагруженных кромок пла стинки в условиях лабораторного нагружения. Анализ результатов тензометрических испытаний этих образцов показал, что усилия в пластинке распределяются равномерно.
Каждый из четырех опытных образцов, отобранных для основ ных исследований, испытывался четыре раза: сначала как оплош ная пластинка, а затем три раза с вырезами, для высверливания которых образец вынимался всякий раз из установки.
Результаты испытаний образцов без выреза вполне удовлетво рительно согласовались с вычисленными значениями критической силы по известной классической (методике Саусвелла — Доннелла для оплошной пластинки. Форма потери устойчивости испытанных образцов также соответствовала расчетной. Наличие выреза не из меняло формы потери устойчивости широких (I, II) пластинок, но, как видно из рис. 4.5 (точки залитые), существенно снижало зна-
чение коэффициента устойчивости. Что касается длинных пластинок типа III, IV (точки не залитые), то вопрос о влиянии вьгреза на их устойчивость не удалось изучить достаточно детально, он тре бует дальнейшего изучения. Это вызвано тем, что появление выре за вносило существенные изменения в форму выпученной пластин ки при малых прогибах.
На рис. 4.5 нанесены не только экспериментальные точки, но и построены теоретические сплошные кривые, для чего использова лись необходимые соотношения предыдущего раздела. Кривая 1 — это вычисления для пластинок типа I, II, а кривая 2 — типа III, IV.
Помимо этого здесь же пунктиром нанесено решение (кривая <?), полученное методом конечных элементов для образцов типа I, II. Как видно из сопоставления, оба метода теоретического исследо вания и опытные данные дают критические параметры, близкие друг к другу. Пластинка и ее схематизация с помощью конечных элементов показаны на рис. 4.4 (а и б). Исследование устойчиво сти пластинок с центральным овальным вырезом на основе метода конечных элементов было проведено В. Г. Налоевым [59]. Благо даря двойной симметрии автор рассматривал только четверть пла стинки. В отличие от широко распространенной процедуры мето да конечных элементов В. Г Налоев рассматривал треугольный элемент как часть прямоугольного с теми же обобщенными коор динатами и тем же числом степеней свободы. Задача решалась в i два этапа. Сначала определялись компоненты напряжений, дейст вующих в пластинке в докритическом состоянии, в зависимости, ог нагрузки на наружном контуре, а затем найденные значения на пряжений использовались для решения задачи устойчивости, из ко торой находилась критическая сжимающая нагрузка. При решении плоской задачи теории упругости закон изменения компонентов перемещения произвольной точки конечного элемента применялся в форме, обеспечивающей линейный закон распределения нормаль ных и касательных напряжений в пределах элемента. Для упроще ния решения задачи устойчивости напряженное состояние в преде лах каждого конечного элемента предполагалось однородным.
При решении задачи устойчивости все элементы были разде лены на две группы: внутренние и внешние, примыкающие к на ружной кромке пластинки.
В исследовании считалось, что каждый внутренний элемент имеет двенадцать степеней свободы, т. е. его нагибная деформация определяется прогибами и углами поворота четырех узлов.
Аппроксимирующие функции прогиба для внутренних элемен тов задавались полиномом Мелоша:
w = a t-\-a^xJr a^y-f- алх 2 + а5ху - f а^у2 - f Д7* 3+ |
а^ 2У+ |
-f- а<рсу2 -]- а 10у3 - f а п х * у - \ - a l2x y * t |
(4 .6 ) |
где х и у — безразмерные прямоугольные координаты. Для внеш них элементов, примыкающих к наружному контуру пластинки, ап-
проксимирующие функции выбирались с учетом кинематических и силовых граничных условий в виде степенных многочленов типа
(1 - |
3 3 ? + 23?); |
|
( 1 - 1 , 5 ? + 0,53?); |
|
||
_ |
_ |
_ |
_ |
_ |
_ |
(4 .7 ) |
( х — 1,5л2+ 0 ,5 .? ) |
( х - 2 х 2 -\-х3). |
|
||||
Многочлены для у выбирались идентичными. Такой подход по зволил избежать составления уравнений равновесия для узлов, ле жащих на наружном контуре.
Для сетки, показанной на рис. 4 .4 ,6 , решение задачи осущест влялось на ЭВМ «Минск-22 » с помощью стандартных программ,
входящих в математическое обеспечение машины.
При решении плоской задачи теории упругости для пластинки с отверстием предполагалось, что напряжения в ней не выходят за предел пропорциональности. В связи с этим возникает вопрос о гра ницах применения теоретических результатов, обусловленных воз
можностью появления пластических деформаций |
в |
пластинке в |
|
районе выреза. Этот вопрос может быть рассмотрен |
по аналогии |
||
с работой [59]. |
|
|
|
|
Условие, при котором определяется напряженное состояние пла |
||
стинки, может быть записано в виде |
|
|
|
|
и)3э < <3пш |
|
(4 * 8) |
где |
сгпп — предел пропорциональности материала |
пластинки; |
|
аэ |
— критическое напряжение для пластинки по |
Эйлеру; <о — ко |
|
эффициент концентрации напряжений в пластинке на границе вы реза.
Полагая модуль Юнга £ = 1 ,9 6 МПа и коэффициент Пуассона ц=С',3, можно получить из (4.8) предельное значение отношения толщины пластинки h к длине стороны а, при котором напряжения в пластинке могут достигнуть предела пропорциональности
fi/a < 0 ,7 4 3 - Ю-з 1 /о ппАсо/<э).
Значения коэффициента ю для некоторых типов пластинок, рас смотренных в этом разделе, получены в работе [58] для Ь{а = 0,5 ;
d / c = l ,0 и |
d j b = 0,2; |
С-,3; 0,4; |
0,5; 0,6 |
соответственно равны |
1,90; |
||
2,36; |
2,87; |
3,47; 4,19, |
а для |
Ь /а = 0,5; |
d j b = 0,5 и dfc = 0,5; 0,6; |
0,7; |
|
0,8; |
0,9; 1,0 . Коэффициент |
со |
имеет значения 8,93; 6,49; 5,21; |
4,41; |
|||
3,87; |
3,47, |
|
|
|
|
|
|
В заключение необходимо, по-видимому, обратить внимание на тот факт, что решение, приведенное в разд. 4.1, было получено без учета неоднородности докритического напряженного состояния. Однако, как мы убедились из Сопоставления с опытными данными и решением на основе метода конечных элементов, результаты вы числения но зависимостям, указанным в разд. 4 . 1, получаются
вполне удовлетворительными, и поэтому они могут быть рекомен дованы для приближенных оценок влияния вырезов на устойчи вость.
Глава 5
УСТОЙЧИВОСТЬ МНОГОСЛОЙНЫХ АНИЗОТРОПНЫХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ПАНЕЛЕЙ И ПЛАСТИНОК С ВЫРЕЗАМИ
ИПЛАСТИНОК С ПОДКРЕПЛЕННЫМИ ВЫРЕЗАМИ
5.1.ОРТОТРОПНЫЕ ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ ПЛАСТИНКИ
СВЫРЕЗАМИ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ФОРМЫ
Вл аилом разделе исследуется устойчивость-прямоугольных ани зотропных пластинок, имеющих произвольное число прямоугольных вырезов, ие закрепленных по контуру. Предполагается, что контур ные линии вырезов параллельны наружному контуру пластинки. Исследование осуществляется в линейной постановке с использо ванием импульсивных функций. Исследуются два типа пластинок: шарнирно опертые по всем четырем сторонам и шарнирно опертые лишь по тем сторонам, ло которым действуют внешние сжимаю щие силы, а по двум другим — свободные.
Рассматриваем пластинки, выполненные из стекловолокнисто го армированного анизотропного материала (СВАМ ), считая его ортотропным материалом, так же, как это принято в работе [92]. Упругие свойства тако-го материала характеризуем четырьмя неза висимыми величинами: модулями упругости В\ и £ 2-по двум взаим
но перпендикулярным направлениям х и у, модулем сдвига G и ко эффициентом Пуассона р, отвечающим поперечной деформации вдоль оси у.
С помощью импульсивной функции нулевого порядка можно записать переменные параметры жесткости сплошной пластинкимодели, эквивалентной перфорированной конструкции. Предпола
гаем, что в последней имеется k прямоугольных вырезов, |
контуры |
|||||||
которых |
расположены |
в |
пределах х н < * < * 2г! У н < у < У 2и |
t= 1, |
||||
2 , |
,, k. В этом случае |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A = -EIOY (* . |
Л1 |
Е 2= Е 2^ ( х , |
у)\ G = G y (x , у)у_ |
|
(5 .1 ) |
|
;где |
Ею, |
E 2Q и G — .модули упругости |
реального |
материала |
пла |
|||
стинки; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
_ |
ft |
|
|
* |
[1 у |
Уц) |
|
|
У (-*1 |
У) — 1 |
|
У Уц)~\~^^*^0 (-Я |
|
|||
|
|
/=»1 |
|
|
1*-| |
|
|
|
|
|
fr |
|
ft |
|
|
|
|
|
|
+ У г 0( * - * 1, ; ’у — |
|
|
|
(5 -2 ) |
||
1-1
