книги / Устойчивость и колебания пластинок и оболочек с отверстиями

Обозначим величину, обратную жесткости оболочки на растяжение, через В:

В связи с тем, что изучение поведения оболочек с вырезами мы условились осуществлять на оплошной модели, В будет переменной

Зависимости (1.59) подставим в уравнение совместности дефор маадии (1 .7 ), в результате получим:

Окончательно получаем следующие нелинейные дифференциаль­ ные уравнения теории пологих оболочек с неоднородной жестко­ стью:

1десь под Vft2 .понимается оператор

дх2

Если исследование проводится с учетом начальных неправиль­ ностей в форме срединной поверхности, то уравнения, аналогичные (1.64) .и (1.65), будут иметь вид:

оболочки, а .под WQ — начальный.

(1.70)

Для пластинки из уравнений (1.67) и (1.68) получим:

При интегрировании уравнений движения используются кон­ кретные граничные и начальные, условия.

1.6. ИМПУЛЬСИВНЫЕ ФУНКЦИИ

Исходным понятием импульсивных функций нулевого порядка является поснятие единичной функции, которая определяется следующим соотношением:

По установившейся традиция эту функцию будем называть единичной функцией Хевисайда ши же импульсивной функцией нулевого порядка, в отличие от им­ пульсивной функции /1-го порядка Гп(* — *о)- Несмотря на то, что функции Гп'(* — дго) — разрывные, их молено интегр1арова.ть и дифференцировать по пра­

вилу

Строгое обоснование подобной операции доказано Лишь в последние годы в тео­ рии обобщенных функций [’17]. Основы последней были заложены в трудах Н. М. Гюнтера, С. Л. Соболева н Л. Шварца. С позиций этой теории оказыва­ ются законными такие операция, как дифферанцнрогаазше рядов, разложение сингулярных функций в ряды, а также манипулирование с импульсивными функ­ циями.

Производная от функции Хевисайда равна функции Дирака кшч импуль­ сивной функции 1-го порядка с точкой особенности X= XQ. В литературе ее часто называют также дельта-функцией Дирака или просто 6-функцией. Находя про­ изводные от 6-функции, можно получить соответственно иатулызишые функции 2-го, 3-го и более высокого порядка.

Систематическое построение теории импульсивных функций начато Б. Ван дер Полем и Бреммером [17]. Оно характеризуется простотой и наглядностью и основано на предположении о том, что разрывные функции являются схемати­ зацией соответствующих, хотя и резко переменных, но все же неразрывных па­ раметров. Дифференциальные соотношения между импульсивными функциями при таком подходе носят чисто символический характер, так как о дифференци­ ровании подобных «сверхразрывных» функций в рамках классического анали­ за не может быть п речи. С импульсивной функцией нулевого порядка Го свя­

Не имея возможности дифференцировать разрывшую функцию Го, импуль­ сивные функции 1-го, 2-го и. более высоких порядков вводят при помощи пре­

—DO

Теория импульсивных функций для случая п переметных строится аналогич­ но теории для случая одной переменной. Так, например, Д. В. Вайнбергом и А. Л. Синявским построена теория 6-функцкн двух переменных T i(x — х0, У— Уо)- В качестве ее допредельного образа приводится непрерывная функция

весьма широкую папул,ярвисть этой функцг-ш. Это свойство характертазуетоя сле­ дующей формулой:

В справедливости этой формулы можно убедиться непосредственным татегрированием по частям.

1.7. УПРОЩЕННЫЙ ВАРИАНТ ОСНОВНЫХ УРАВНЕНИЙ ЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ

Прежде чем перейти непосредственно .к линейным дифференци­ альным уравнениям, рассмотрим еще раз модели, аппроксимирую­ щие пластинки и оболочки с вырезами.

Замена пластинки с центральным отверстием на «сплошную» с переменной толщиной использовалась Б. Н. Бастатским [11, 12] при изучении ее иапряженно-деф'ормировашюго состояния. Однако подобная модель имеет существенный недостаток: толщина входит

вразной степени в уравнения равновесия и совместности. Причем в уравнение равновесия толщина (через изгибную жесткость) входит

втретьей степени, что значительно усложняет математические опе­ рации с импульсивными функциями. Кроме того, модель Б. Н. Б астатского не позволяет описывать динамический характер деформи­ руемых систем. Предлагаемая в данной работе модель позволяет учитывать инерционность деформируемой системы, что очень $аж - но для решения динамических задач, и физически правильнее опи­ сывать реальные конструкции.

Спомощью функции Хевисайда от двух переменных жесткость прямоугольной пластинки, ослабленной центральным прямоуголь­ ным вырезом со сторонами, параллельными ее наружному контуру

12(1 — р2)

толщина пластинки; Уь х% уi и г/г— координаты вершин прямо­ угольного выреза; Ес — модуль упругости материала пластинки; £ — параметр жесткости сплошной модели, заменяющей при ис­ следовании пластинку с вырезом

£ = £ 0 [1 — r 0(jc — я ,; у — уi)-\-Г 0 {х — х 2\ у — ух) +