книги / Устойчивость и колебания пластинок и оболочек с отверстиями

чение учитываемых степеней свободы пластинки приводит к сближению с ре­ зультатом, полученным методом конечных разностей. Несмотря на это, так как разница между результатами расчетов в первом и более высоком приближе­ ниях незначительна, зависимости, полученные в первом приближении, могут широко использоваться на практике, тем более, что в этом случае решение уда­ ется получить в относительно простом замкнутом виде.

2.6. УСТОЙЧИВОСТЬ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ПЛАСТИНОК СО СКАЧКООБРАЗНО ИЗМЕНЯЮЩЕЙСЯ ЖЕСТКОСТЬЮ

Изги-бная жесткость пластинки на каком-либо участке может изменяться из-за включения в нее участка из материала с другим модулем упругости или вследствие изменения толщины. Предпола­ гаем, что во всех случаях форма пластинки симметрична относи­ тельно срединной поверхности. Это позволяет для пластинок с из­ меняющейся толщиной (рис. 2.8) судить об утоненном (утолщен** ном) участке толщиною к\ только по изгибной жесткости D , из ко« Торой легко получить выражение приведенного параметра В для этого участка, «размывая» («сгущая») условно его толщину от ве­ личины h\ до h. Эта операция необходима лишь для того, чтобы можно было с единых позиций рассматривать различные прямо­

С его помощью можно провопить исследование устойчивости пла­ стинок с различными граничными условиями апирания внешнего контура.

Рассмотрим устойчивость пластинок, шарнирно опертых по внешнему контуру. Прогиб пластинки после потери устойчивости w аппроксимируем функцией в виде одного члена двойного триго­ нометрического ряда, удовлетворяющего заданным граничным ус­ ловиям

ло полуволн вдоль оси у. Так как выбранная функция'удовлетво­ ряет и силовым и геометрическим условиям опирания внешнего контура, для решения уравнения равновесия (2.44) можно исполь­ зовать метод Бубнова — Галеркина. Подставляя в уравнение (2.44) выражение для w и умножая его левую часть на sin ах sin $у, пос­

угольных пластинок при комбинированном нагружении. Критиче­ ская сжимающая нагрузка Nx находится варьированием перемен­ ных параметров волнообразования м и л . В качестве примера бо­ лее подробно было проведено исследование устойчивости квадрат­ ных пластинок с центральным участком квадратной формы, жест­ кость которого отличалась от обычной цилиндрической жесткости Ai. Точное решение этих примеров приведено в работе [113]. На рис. 2.9 сопоставлены результаты вычислений критической нагруз­ ки для сжатой с четырех сторон шарнирно-опертой квадратной пла­

N*b2

а=Ь

а*=Ь =0,5а

2.10 аналогичные кривые в зависимости от размеров центрально­ го ослабленного участка. Как видно из рисунков, результаты весь­ ма близки друг к другу, что позволяет считать зависимости (2.46)

и(2.47) пригодными для практических инженерных расчетов. ■Коэффициент ф в расчетах изменяется в пределах от 0 до 1.

Границы предела соответствуют при ф= 0 пластинке с однород­

таким образом легко получить приближенную формулу критиче­ ской нагрузки для пластинки, (перфорированной серией прямо­ угольных вырезов. Исследование их напряженного состояния под­

для критического усилия, сжимающего в двух направлениях сплош­ ную шарнирно опертую пластинку [22]:

где r= a jb .

Рассмотрим прямоугольные пластинки, жестко защемленные с четырех сторон. При исследовании их устойчивости функция про­ гиба, удовлетворяющая и геометрическим и силовым граничным условиям, в отличие от функции (2.45) для шарнирно опертых пла­ стинок, имеет вид

Так как необходимые условия метода Бубнова — Галеркина со­ блюдены, то, в результате интегрирования на его основе уравне­ ния равновесия (2 .44), получим:

Зависимость (2.50) позволяет определить критические состоя­ ния деформируемой системы методом последовательных попыток, меняя соответствующие параметры волнообразования.

В качестве примера рассмотрим квадратную жестко защемлен­ ную пластинку, нагруженную равномерными сжимающими усилия­ ми N, действующими в двух взаимно перпендикулярных направ­ лениях. Считаем, что в центре пластинки имеется квадратная об­ ласть с уменьшенной в четыре раза жесткостью. Сторона квадрат­ ной зоны Я{* равна половине длины стороны пластинки.

Как показали вычисления, приведенные в работе [113], умень­ шение жесткости центрального участка квадратной пластинки в четыре раза приводит к изменению его критической нагрузки в 0,58 раза, а расчет по зависимостям (2.50) и (2 .5 1 )— в 0,52 раза. Как видно из сравнения, результаты близки друг к другу.

Предельные значения коэффициента ф соответствуют в данной задаче тем же частным случаям, что и в предыдущей задаче.

Рассмотрим сочетание граничных условий, когда две противо­ положные стороны прямоугольной пластинки шарнирно оперты, а две другие жестко защемлены. В этом случае изогнутая поверх­ ность пластинки после потери устойчивости может быть описана выражением вида

удовлетворяющим и силовым и геометрическим граничным усло­ виям. Применяя метод Бубнова — Галеркина, после интегрирова­ ния получим

oi>

Для пластинки постоянной жесткости, сжатой с двух сторон, из соотношения (2.53) можно получить зависимость типа (2.48) с той разницей, что коэффициент kx будет определяться по новой фор­ муле

'При другом сочетании граничных условий, когда два противо­ положных края закреплены шарнирно, один защемлен, а один сво­ боден, изогнутая поверхность пластинки после потери устойчиво­ сти может быть аппроксимирована функцией

В этом случае критические нагрузки можно находить по форму­ лам (2.53) и (2 .54), если в них провести замену р на р/2.

•Все выведенные в настоящем разделе выражения для определе­ ния критических натрузок можно использовать при ф = 1 для изу­ чения поведения пластинок с вырезами, не закрепленными по кон­ туру. Сложность заключается лишь в том, что отсутствие точных решений задач об устойчивости пластинок с вырезами вынуждает давать только косвенную оценку погрешности полученных резуль­ татов.

2.7. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ДАННЫЕ ПО УСТОЙЧИВОСТИ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ПЛАСТИНОК

С ВЫРЕЗАМИ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ФОРМЫ

Выше рассмотрены некоторые методы решения задачи о крити­ ческом повелении прямоугольной пластинки, ослабленной выреза­ ми прямоугольной формы, для которых .получаются различные рас­ четные графики и формулы. Какие же из них надо рекомендовать для практических расчетов? Ответ на поставленный вопрос, оче­ видно, может быть получен лишь на основании сравнения теорети­ ческих результатов исследования с экспериментальными.

Экспериментальным исследованиям критических нагрузок для прямоугольных пластинок с прямоугольными отверстиями при все* стороннем сжатии посвящена работа В. И. Липкина [50]. Для со* здания в пластинках сжатия в двух направлениях он изготовил установку, представляющую собой трехзвенную шарнирную цепь. Контроль за качеством передачи нагрузки на пластинку и дальней­ шее наблюдение картины напряженного состояния осуществлялись с помощью полярископа типа ПКС-50С. Испытаниям подвергались квадратные пластинки размером 188X 188 мм с квадратным отвер­ стием в центре и толщиною h = 8 мм. Размер отверстия 6 2 X 6 2 мм. Модель была выполнена из органического стекла с модулем упру­ гости £ = 2 ,9 ГП а и коэффициентом Пуассона р ,= 0,35. Прогибы пластинки измерялись индикаторами часового типа.

В связи с тем, что во время опытов не удается осуществить од­ нородное нагружение в срединной плоскости из-за наличия в ре­ альных системах начальных искривлений или же из-за внецентрениого приложения нагрузки, изгибпые деформации практически по­ являются сразу же в начале нагружения пластинки. Этот вопрос был особым предметом исследования В. И. Липкина. Им было под­ мечено, что в экспериментах величина эксцентриситета существен­ но влияет на -поведение деформирумой системы. При больших экс­ центриситетах пластинка получает значительные прогибы и начи­ нает работать как гибкая раньше, чем нагружающая ее сила до­ стигнет критического значения.

Чтобы свести влияние эксцентриситета к минимуму, положение ножей, с помощью которых усилие передавалось на торцы внешне­ го контура пластинки, регулировалось винтами. После предвари­ тельного нагружения пластинки фиксировалось направление проги­ бов, затем с помощью винтов ножи перемещались в направлении зафиксированного нормального прогиба. Так повторялось до мак­ симально возможной точности установки ножей.

Испытаниям подвергались пластинки, защемленные по наруж­ ному контуру и равномерно сжатые в двух направлениях Nx=

= N y = N . Экспериментальные данные обрабатывались экстраполя­ ционным методом, предложенным Н. В. Кфрноуховым. Критическая

нагрузка определялась по зависимости

Экспериментально были определены величины критических на­ пряжений для четырех подобных опытных образцов. Они оказались равными в результате обработки наблюдаемых данных по зависи­ мости (2.58) соответственно 23,2; 23,9; 24,2 и 23,5 М Па.

Таким образом, критическое напряжение для квадратной пла­ стинки с квадратным отверстием, расположенным в центральной ее

мента брались пластины толщиной 2 мм и шлифовались с двух сторон до равномерной толщины Л = 1,80± 0,02 мм. Одна сторона полировалась до зеркального отражения. Схема нагружения и раз­ меры отверстия пластины показаны на рис. 2.11. Закрепление кро­ мок, параллельных линии действия нагрузки, показано на рис. 2.11, а. Пластинка 4 помещается между двумя вкладышами 3, об­ разующими совместно с пластиной цилиндрическую поверхность. Вкладыши 3 могут (поворачиваться в цилиндрическом желобе 2. Система вкладыш — желоб помещается между двумя рамами 1, которые стягиваются болтом 6. Во избежание перекоса между ра­ мами вставляется распорка 5. Способ передачи нагрузки на кром­ ку показан на рис. 2 .11,6 . Направляющие 7 крепятся к раме 1. Между направляющими скользит жесткий (6 0 x 6 0 ) брус 3 из алю­ миниевого сплава, в паз которого входит пластинка 4. Болт 6 затя­ гивается так, чтобы при .продавливании пластинки из ее плоскостл визуально наблюдался поворот вкладыша 3. Вкладыш 5 распили­ вается ,по длине с шагом 0,1 а.

В процессе нагружения гидропрессом пластинки снималась диа­

на рис. 2.13. Качественный характер волнообразования наблюдал­ ся известным [21] методом отраженной сетки.

При нагрузке, не превышающей половины критической, форма деформированной поверхности близка к принятой в (2.45).

С увеличением нагрузки до « Л ф на общем «синусоидальном» фоне появляются дополнительные (прогибы. Характер деформиро­ ванной поверхности по сечению А — А на этой стадии нагружения показан на рис. 2.13 справа. Прогиб в точке А в этом случае меньше, чем в точке В. Зоны распространения дополнительных прогибов на общем синусоидальном фоне показаны на рис. 2.13 штриховыми линиями.

При нагрузке ~ 1 ,З Р кр в углах отверстия наблюдаются пласти­ ческие шарниры. Прогиб в точке А становится значительно боль­ шим, чем в точке В (см. сечение А — А на рис. 2.13 слева). Смена формы равновесия происходит достаточно быстро, без хлопка, так что легко просматривается движение стрелок индикаторов.

При обработке данных эксперимента учитывались перемещения, соответствующие упругим деформациям. Анализ показывает, что величина прогиба, соответствующая упругим деформациям, не пре­ вышает 0,165 толщины -пластинки.

Результаты (рис. 2.14 — ломаная 3 ) экспериментальных значе­ ний прогиба точки А обрабатывались в интервале

Постоянные е, Р 0, со определялись методом наименьших квад­ ратов. При этом граница левого и правого участков варьировалась. Из совокупности полученных таким образом значений принимался вариант, дающий минимальную сумму квадратов отклонений по интервалу (2 .61).

Реш ая совместно систему (2 .62), (2 .63), получаем точку, аб­ сцисса которой дает начальный прогиб пластинки, ордината — экс­ периментальное значение критической силы.

Обработанные результаты эксперимента представлены кривой 2 на рис. 2.14. Кривая 1 на этом рисунке демонстрирует теорети­

ческую зависимость прогиб — нагрузка, соответствующую решению (5 .4 5 ), при условии, что все абсциссы смещены на величину на­ чального прогиба .пластинки.

Коэффициент, учитывающий снижение критической нагрузки из-за наличия центрального квадратного выреза в квадратной пла­ стинке, в эксперименте оказался, по вычислениям Г. П. Зиненко