книги / Устойчивость и колебания пластинок и оболочек с отверстиями

Если предположить, что в пластинке отсутствуют вырезы, то из соотношения (5.12) легко получаются выражения для критических параметров оплошных анизотропных пластинок. Например, в слу­ чае одноосного сжатия может быть получено известное выражение для критического напряжения [22]:

Число полуволн как в .перфорированной, так и в сплошной пла­ стинке, образующихся по направлению сжатия, существенным об­ разом зависит от соотношения жесткостей DyfDx-

Полагая в формулах (5.12) и (5.13) и л — 0, получим кри­ тическое напряжение для пластинок, у которых две нагруженные стороны шарнирно оперты, а две ненагруженные — свободны от опор:

С использованием зависимостей (5.15) и (5.16) были определе­ ны критические напряжения для квадратных пластинок с цент­ ральным квадратным вырезом, стороны которого составляют поло­ вину длины стороны пластинки. Последние предполагались выпол­ ненными из материалов: сталь, СВАМ 1 : 1, СВАМ 5 :1 и СВАМ 1 0 :1 . Эти примеры были разобраны в работе [92], поэтому для со­ поставления формула (5.15) приведена к виду, полученному в этой работе:

В табл. 5.1 приведены механические характеристики указанных материалов и сопоставлены величины коэффициента k*. Как вид­ но из сравнения, значения k*, полученные в работе [92], несколько выше. Это может быть объяснено тем, что они получены на осно­ ве метода конечных разностей при большом шаге счета (а/12).

В случае изотропных пластинок выражение, выведенное для критического напряжения, существенно упрощается и может быть сведено к известному виду:

ни точности. Считаем, что контуры прямоугольных вырезов распо­ ложены в пределах

Х ц ] х -Х2//> y u j<^ y <^iy2i}i ^==1) 2 ,..., У, j — 11 2 ,..., г.

Упругие свойства ортотропного материала пластинки будем ха­ рактеризовать, как и в предыдущем разделе, четырьмя независи­ мыми величинами: модулями упругости Е\ и Е 2 по д.вум взаимно

перпендикулярным направлениям х и у, модулвхМ сдвига G и коэф­ фициентом Пуассона pi; отметим соотношение р2= Р 1-£,2/^ ь Введем*

как и ранее, параметры

соответствующие изгибным жесткостям по главным направлениям, через Д<о обозначим крутильную жесткость

Рассмотрим задачу об определении критического усилия NXKP. для прямоугольной пластинки с круговым отверстием, центр кото­ рого расположен в произвольной ее точке. В качестве граничных условий выберем условия шарнирного опирания внешнего края пластинки по всем четырем кромкам. Вначале .в соответствии с принятым методом исследования рассмотрим пластинку с прямо­ угольным вырезом, а затем — с круговым, которое -представим со­ стоящим из достаточно большого числа прямоугольных.

Используем дифференциальное уравнение равновесия модели с неоднородной жесткостью в форме (5.6).

Выберем функцию, аппроксимирующую прогиб пластинки после

Здесь т — число полуволн вдоль стороны а\ п — число полуволн вдоль стороны Ь. Такой выбор аппроксимирующего выражения от­ вечает условиям шарнирного опирания наружного контура пла­ стинки. При решении уравнения (5.3) воспользуемся методом Буб­ нова —•Г алеркина.

В результате для критического сжимающего усилия получим выражение

в котором использованы следующие обозначения:

Введем параметр критического усилия

Наличие в (5.24) членов, включающих в себя суммирование по па­ раметру j, объясняется переходом от одного кругового выреза к серии прямоугольных, т. е. считается, что круговое отверстие ап­ проксимируется достаточно большим числом г-прямоугольных. При­ ведем соотношения, связанные с переходом от кругового отверстия к серии прямоугольных

угольников г, аппроксимировавших круговое отверстие, удваива­ лось до тех пор, пока последующее значение параметра k не отли­ чалось от-предыдущего на величину Д = 1 0 4.

Обсудим вначале результаты, характеризующие влияние жесткостных параметров на поведение конструкции. На графиках, представленных на рис. 5.1 и 5 .2, показано изменение параметра

критической нагрузки k для квадратной пластинки в зависимости от отношения rjb, где г — радиус отверстия, b — ширина пластин­ ки. Расчеты были выполнены для пластинок из алюминиевого спла­ ва, подкрепленных часто расположенными ребрами в направлении сжимающих усилий. Эксцентричность расположения ребер во вни­ мание не принимались. Такие пластинки будем условно рассматри­

стию, центр которого расположен на средней линии пластинки на расстоянии 1/4 ширины от продольного края и на продольной оси симметрии на расстоянии 1/4 длины пластинки от загруженного края (данные вычислений для этих двух случаев совпадают). Н а­ конец, верхняя кривая относится к случаю, когда центр отверстия

нель имеет прямоугольные отверстия, вершины которых определя­ ются координатами x2i\ у и ; y2i (x n < x 2i-, ун<Уы ; 1 — порядко­

вый номер отверстия). Стороны панели параллельны сторонам от­ верстий.

Введем в рассмотрение геометрически и физически подобную модель в виде «сплошной» панели. Сплошность последней условно обеспечивается, так как отсутствие массы и жесткости в реальной конструкции в районе выреза учитывается тем, что физические па­ раметры, определяющие массу (плотность £>,-&) и жесткость (мо­ дуль упругости Eik), терпят в районе отверстий разрывы однород­ ности. Это достигается в математической записи с помощью им­ пульсивных функций.

При помощи единичной функции модуль упругости ортотропного слоя модели панели можно представить в виде

ответствующей переменной столько раз, сколько она повторяется. Для коэффициентов жесткости, входящих в (5.29), в которых