книги / Устойчивость и колебания пластинок и оболочек с отверстиями

Л[f2 [I)— r'\\ Л 10 4~ Л[/2 (/) — rl]ёг‘*Л2о + r3j[/2 (7)—r| j er,f Л 30-f-

—^4] er*^ 4 o = 0 .

Эта система имеет решение, отличное от нуля лишь в том слу­ чае, если определитель, составленный из коэффициентов при неиз­ вестных Aj[0| равен нулю. Раскрывая его и учитывая значения кор­ ней гь г2, г3 и г4, определяемые соотношениями (7.21), получим два -алгебраических уравнения:

Рассмотрим второе из них. Оно легко преобразуется, в результате имеем

Если число полуволн т достаточно велико, то можно записать условие минимума коэффициента a2t включающего внеш­ нюю нагрузку Р, приравнивая нулю производную от а2 по а:

Подставляя (7.36) в (7.35), найдем выражение для критической силы

р _ 2 Уао

(7 .37)

«2

Такое же выражение получается из уравнения (7.34) и (7.2Э). Таким образом, мы получили приближенное выражение для критической нагрузки, действующей на полоску, выделенную из оболочки, ослабленной вырезами произвольной формы. Переходя от него к критическому напряжению для перфорированной оболоч­

ки в целом, найдем

Эта формула получается из (7.37) путем деления на Л.

Решения (7.37) и (7.38) представляют собой лишь нулевое при­ ближение окончательного результата. В -случае необходимости за­ дача может -быть решена с более высокой точностью. Как показы­ вают решения других задач устойчивости [44], выполненные с по­ мощью данного метода, погрешность нулевого приближения, в сравнении с точным, получается небольшая, в пределах 10% . Для нашей задачи погрешность будет зависеть от характера изменения жесткости полоски от участка к участку, а также геометрических размеров оболочки и вырезов.

Рассмотрим, каким образом осуществляется более точное ис­ следование.

По окончании решения задачи в нулевом приближении ищется

выражение для функции р путем подстановки выражений до' и w"y найденных ранее, в отношение (7.26). При этом учитываются за­ висимости (7.21). Кроме того, определяются коэффициенты функ­

ции р по (7.27) с использованием (7.19). Имея выражение для р,

можем записать общее решение уравнения (7.14) в первом при­ ближении. Удовлетворяя граничным условиям, вновь приходим к системе однородных уравнений относительно Аю, А 20, Лзо и Л40.

После приравнивания определителя системы, составленного из ко­ эффициентов при неизвестных А#, нулю, получим алгебраическое уравнение, из решения которого совместно с (7.21) находятся не­ известные величины г: и Р. По окончании расчета первого прибли­ жения вместо (7.38) получим новое выражение для критического напряжения:

где | — коэффициент ( £ < 1), изменяющийся от приближения к при­

ближению и стремящийся к своему постоянному значению. Расчеты второго и всех последующих приближений выполняются аналогич­ но первому.

Если предположить, что диаметр кругового выреза значительно меньше длины и диаметра оболочки, то справедливо будет счи­ тать действие реактивной силы отброшенной части оболочки оди­ наковым по всей длине выделенной полоски.

Далее рассмотрим некоторые частные случаи. Вначале иссле­ дуем устойчивость нагруженных осевой силой оболочек с опреде­ ленным числом вырезов квадратной формы. Прежде всего, подстав­ ляя в (7.38) зависимости (7.15) и (7.5), получим

( 7 . 4 0 )

где сткр определяется формулой (7.11) или (7.13),

Судя по зависимости (7.41), коэффициент к зависит от числа, фор­ мы и места расположения вырезов.

Рассмотрим устойчивость цилиндрической оболочки, ослаблен­ ной четырьмя вырезами, расположенными симметрично относитель­ но оси на средней параллели. Длина стороны выреза равна а. Тогда расстояние между центрами вырезов будет равно /i= 2jtR /4. Момент

к

делением истинной жесткости на ширину участка 1\. Тогда для по­ лоски единичной ширины она равна

(7.42).

Подставляя (7.16) и (7.42) в (7.41) и произведя интегрирование, получим

На рис. 7.2 приведены кривые, показывающие характер изме­ нения величины параметра k в функции от отношения длины квад­ ратного выреза к диаметру и к длине оболочки. О степени влия­ ния на устойчивость числа вырезов можно судить по графику, при­ веденному на рис. 7.3. Расчет был выполнен для оболочки с пара­ метрами a l(2 R )= 0,2 и а /1= 0,4 и различным числом квадратных вырезов, расположенных в среднем сечении.

Предлагаемый метод может быть применен для исследования устойчивости оболочек с подкрепленными вырезами. Подкрепле­ ние подбирается в соответствии с решением задачи прочности тако­ вым, чтобы оболочка получилась равножесткой во всех направле­ ниях. Если же подкрепление задано, то площадь его поперечного сечения можно равномерно распределить («размазать») до толщи­ ны стенки оболочки, уменьшая действительное отверстие. Форма фиктивного эквивалентного выреза аналогична действительной, а его контур эквидистантен.

По поведению вырезанных из оболочек полосок проводилась оценка устойчивости оболочек с вырезами в целом, результаты ко­ торой даны в [119]. Разница состоит лишь в том, в сравнении с дан­ ной работой, что авторы ее подбирали коэффициент, учитывающий наличие вырезов, из геометрических соображений, а не выводили с учетом изменяющейся жесткости полоски и переменности коэф­ фициента постели. В этой связи расчеты по зависимостям работы [119] дают несколько завышенные результаты в сравнении с рас­ сматриваемой работой.

7.3.ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ОБОЛОЧКИ ПРИ ВНЕШНЕМ ДАВЛЕНИИ

Рассмотрим устойчивость длинной цилиндрической оболочки, 'ослабленной системой прямоугольных вырезов, расположенных на равном расстоянии друг от друга вдоль образующей. Предполага­ ется, что при потере устойчивости кривизна оболочки изменяется лишь в окружном направлении, а образующие остаются прямоли­ нейными (рис. 7 .4). Это предположение позволяет приближенно судить об устойчивости оболочки по устойчивости кольца, мыслен­ но выделенного двумя перпендикулярными оси сечениями. Анало­ гичные предпосылки были приняты в работе [68]. В отличие от нее здесь избран другой метол решения, позволивший получить окон­ чательные простые зависимости для определения величины крити­ ческого внешнего давления.

Кольцевой элемент, мысленно выделяемый из оболочки, при­ нимался по ширине равным расстоянию между центрами вырезов по образующей. Действующий на него изгибающий момент М, как известно [93], связан с изменением кривизны следующим соотно­ шением:

ния кольца, который для исследуемого случая является функцией угла 9.

Решение поставленной задачи ищем с учетом малых дефор­ маций.

Путем простых операций дифференциальное уравнение (7.44) преобразуется к виду

где Я — средний начальный радиус кривизны кольца.

Изгибающий момент появляется вследствие радиального упру­ гого смещения. Он равен M = N w , где N — нормальное усилие, возникающее в поперечном сечении кольца. Величину нормально­

Функция прогиба, найденная из решения уравнения (7 .47), дол­ жна удовлетворять условиям симметрии изогнутой формы, выра­ жающимся в том, что

Линейное дифференциальное уравнение (7.48) с переменным коэффициентом k может быть решено, как и в предыдущем разде­ ле, методом последовательных приближений. Сравнивая уравнение (7.47) с (7.16), найдем, что

п = 2; / 2 (0 )= 1 ; / 2 (0)=О ; / 1(6 )= 0 ;

Коэффициенты уравнения (7.51) а0 и а\ пока неопределенные,

т\ФН Оот^О. Уравнение -(7.23) для нашей задачи имеет вид Кроме того, согласно (7.24) имеем

Подставим далее (7.50) в зависимости (7.25) и (7 .27):

Осредняя функции /0(6) и f i(0) на рассматриваемом интервале по зависимостям (7.55), найдем

Их можно найти, удовлетворяя дополнительным условиям, которые следуют из условия симметрии выпученного кольца. Эти условия достаточно выписать для двух .поперечных сечений А к Б (см. рис.

Объединяя (7.5Э) и (7.55), получим систему алгебраических уравнений, с помощью которой можно определить постоянные Лю и Л 20*'

r 1 еГ1®' Л 10+ г 2ег»°» Л20= 0 ; гхe rifl* Л 10-f г2 ег*в» Л20= 0 . (7 .6 0 )

Эта система будет иметь решение, отличное от нудя, в том слу­ чае, если определитель, составленный из коэффициентов при неиз­

положительный корень, отличный от нуля: <7 (02 — 0 i)= jt или, под­

ставляя вместо 02 и 0i их значения, найдем q = 2 . Найденное зна­ чение q подставим в (7.58), в результате получим формулу для вы­ числения критического давления в нулевом приближении:

3 (Bi — 0О)

(7 .6 2 )

0>

|>(б)<го

Рассмотрим решение конкретных задач. Прежде всего, если предположить, что мы имеем оболочку без отверстий, тогда из фор­ мулы (7.62) легко получается известное соотношение: