книги / Устойчивость и колебания пластинок и оболочек с отверстиями
..pdfВ результате ряда преобразований легко убедиться в том, что из уравнения (2.15) получаются все соотношения, входящие в (2.10) — (2.12). Совпадение результатов свидетельствует о том, что «сплошная» модель с успехом может применяться для исследова ния устойчивости прямоугольных пластинок с вырезами, не закреп ленными по контуру. Подтверждается это следующими сообра жениями:
а) свободные вырезы не препятствуют перемещениям различных частиц деформируемого тела в области, прилегающей к сечениям, ограничивающим внутренний контур, т. е. другими словами, их вве дение не прибавляет дополнительных кинематических условий;
б) решение на основе сплошной модели в точности совпадает с решением, полученным с учетом всех требований, предъявляемых к фундаментальным функциям по методу Ритца для пластинки с вырезом, не закрепленным по контуру.
•По зависимостям (2.11) и (2.12) можно исследовать устойчи вость прямоугольной шарнирно-опертой пластинки, ослабленной центральным прямоугольным вырезом, не закрепленным по конту
ру, при различном соотношении между сжимающими |
усилиями, |
действующими вдоль осей х и у. |
|
Величину критической нагрузки для пластинки с отверстием |
|
обозначим через N *XKр, в упрощенном виде |
|
N*XK, = k*N x^ |
(2.19) |
где k* — коэффициент, -показывающий, как критическая |
нагрузка |
для пластинки с отверстием соотносится с критической нагрузкой для сплошной -пластинки Nxкр.
Результаты вычислений значений коэффициента k* в зависимо сти от отношения а(Ь для пластинок с центральным квадратным вырезом при a\* = bi* = 0,bb для двух случаев нагружения пред ставлены в виде графиков на рис. 2.1 и 2.2. В первом случае рас смотрены пластинки, нагруженные с четырех сторон равномерно распределенными сжимающими силами, а во втором — только вдоль оси х.
Из кривых изменения коэффициента k* следует, что при одном и том же размере выреза с увеличением соотношения между а и b степень влияния уменьшается. Кроме того, из приведенных графиков следует, что для прямоугольных пластинок одного и того же размера с увеличением размеров центрального выреза степень снижения ве личины критической нагрузки возрастает.
По найденным соотношениям была ис следована устойчивость квадратных плас тинок одного размера с центральным квад
ратным вырезом, сторона которого постепенно увеличивалась. Х а рактер изменения коэффициента k* для этого случая при различ ных к ясен из рассмотрения кривых, построенных по результатам расчета (рис. 2 .3 ).
В данном разделе представлены аналитические зависимости, по зволяющие определять критические нагрузки для прямоугольных пластинок, у которых наружный контур шарнирно оперт. Случаи жестко защемленного с четырех сторон наружного контура или же комбинированных граничных условий, когда две противоположные стороны внешнего контура прямоугольной пластинки шарнирно оперты, а две другие жестко защемлены или, когпа две противопо ложных стороны закреплены шарнирно, одна защемлена и одна свободна, рассмотрены ниже в разд. 2.6.
2.3.ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ ПЛАСТИНКИ
СПРОИЗВОЛЬНЫМ ч и с л о м ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ВЫРЕЗОВ
Вданном разделе рассмотрим упругую устойчивость перфори рованных прямоугольных, шарнирно-опертых <по наружному конту ру пластинок, натруженных сжимающими усилиями N x, действую щими вдоль сторон, длины которых равны Ь, и сжимающими либо
растягивающими усилиями Ny, действу ющими по сторонам длиною а.
Предполагаем, что пластинка имеет /
прямоугольных вырезов, |
не |
закреплен |
||
ных по контуру, ориентированных таким |
||||
образом, |
что их стороны |
параллельны |
||
соответствующим |
сторонам |
внешнего NK— |
||
контура |
(см. рис. |
2 .4). |
Исследование |
|
будем проводить в геометрически линей |
||||
ной постановке с использованием аппа-- |
||||
рата импульсивных |
функций, предвари |
|||
тельно установив, что ось х |
направлена |
|||
вдоль стороны а, а ось |
у — вдоль сто |
|||
роны Ь. |
|
|
|
Рис. 2.4 |
-В соответствии с принятым метолом исследования реальную пластинку заменяем сплошной моделью-аналогом, характерный па раметр жесткости которой — Е = Е ( х , у). Последний записывается в единой аналитической форме с помощью импульсных функций нулевого порядка и имеет вид
|
|
|
|
Е = Е 0у(х,,у), |
(2.20) |
|
где Е 0 —-модуль упругости реального материала пластинки; |
|
|||||
|
|
|
J |
|
|
|
|
у (Х , У ) = |
1 ~ 2 |
[Г о ( - * - * п ; |
У — У и ) ~ ^ 0 [X — X2i'i У — Уи) — |
||
|
|
|
1~1 |
|
|
|
|
|
|
Г 0(х |
Хцш, y — y 2 i) |
+ V0(x — x2i; y — y2i)]\ |
(2 .21) |
Xu] |
x2i\ уц |
и |
у2г — координаты, |
фиксирующие контурные |
линии |
|
i-ro |
отверстия, |
* = 1 , |
2 , . . / . |
|
|
|
|
С учетом |
зависимости (2.20) |
изгибную жесткость системы за |
|||
писываем таким образом: |
|
|
||||
|
|
|
|
D = D 0y(x, у). |
(2. 22) |
|
Здесь под Do понимается обычная цилиндрическая жесткость. |
||||||
|
Зависимости (2.20) — (2.22) |
строго справедливы лишь в предз-* |
||||
лах стенки конструкции, так как только здесь они имеют опреде ленное значение. Вне рассматриваемой области— на участках, ог раниченных контурными линиями отверстий, эти зависимости мо гут принимать бесконечные значения. Подобное ограничение не противоречит энергетическим принципам, используемым при реше нии задач устойчивости, потому что области эквивалентной пла стинки-аналога внутри отверстий не обладают свойством накапли вания энергии в процессе деформации конструкции.
Устойчивость перфорированной пластинки будем исследовать с помощью уравнения равновесия (1.86), решая его по методу Буб нова — Галеркина. Функцию прогиба зададим в виде (2.6), так как она удовлетворяет как силовым, так и геометрическим граничным условиям опирания внешнего контура пластинки. В результате ре шения уравнения равновесия по методу Бубнова — Галеркина по лучим после ряда преобразований формулу для определения кри тической сжимающей нагрузки в форме (2.10). В отличие от ра нее полученной, формула (2.10) будет содержать новый коэффи циент k, В этом случае
j
k = c g { S - S x) - c ^ и { ш {2б‘ + т ' ,Щ 1 ) ~ 2 (1 — н-) |
(2 .2 3 ) |
Здесь использованы следующие обозначения:
l = N y/N x; с = ^ ( а Н ^ 2)я2; а = т ф ',
|
|
|
$= |
nn/b; |
^ = ( a 2- f р2)2; a t = x 2i— x u ; |
|
|
|
|
|
|
|
Ь ]= У а — уи \ |
|
|
|
|
|
|
|
Q .= Wli6*P4-OT2/^ a ; |
(2. 24) |
|
|
|
|
|
|
Ш ц= sin 2ал:и — sin 2ад:2;; |
||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
тп2,-= sin 2$уи — sin 2ffy2,; |
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
где |
S = a b — площадь |
пластинки; S x= |
^ a]b* — площадь |
вырезов; |
|||
|
|
|
|
|
|
/=i |
|
m, n — число полуволн, возникающих в пластинке после |
потери |
||||||
устойчивости, вдоль сторон а и b соответственно. |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
Т аб л и ц а 2.1 |
|
|
|
|
|
|
|
Значения k—Nu /N x |
|
|
Номера отверстий |
0 |
0,5 |
1,0 |
|||
|
|
|
|
|
|||
5 |
|
|
|
|
3,74 |
2,50 |
1,87 |
1, |
5, |
9 |
|
|
3,60 |
2,40 |
1,80 |
2, |
4, |
6, |
8 |
|
3,62 |
2,41 |
1,81 |
2, |
4, |
о, |
6, |
8 |
3,42 |
2,28 |
1,71 |
1, |
3, |
7, |
9 |
|
3,6о |
2,44 |
1,83 |
1, |
3, |
5, |
7, |
9 |
3,45 |
2,30 |
1,72 |
1 |
|
|
|
|
3,87 |
2,28 |
1,94 |
3, |
7 |
|
|
|
3,80 |
2,53 |
1,90 |
1, |
7 |
|
|
|
3,80 |
2,53 |
1,90 |
2, |
5, |
8 |
|
|
3,58 |
2,39 |
1,79 |
2, |
3, |
5, |
7, |
8 |
3,43 |
2,29 |
1,72 |
1, |
2, |
. . . , |
9 |
|
3,12 |
2,08 |
1,56 |
В качестве примера были проведены числовые расчеты для квадратной пластинки, изображенной на рис. 2.4, имеющей девять квадратных вырезов, при различном соотношении сжимающих уси лий. В табл. 2.1 приведены результаты расчету коэффициента k для различного числа квадратных отверстий с различными коорди натами. Координаты отверстий приведены в табл. 2.2.
Номера отвер |
|
Координаты вершин |
|
|
|
|
|
|
|
стий |
х ц /а |
x2i/a |
Ни/а |
Vu/a |
1 |
0,143 |
0,286 |
0,143 |
0,286 |
2 |
0,429 |
0,571 |
0,143 |
0,286 |
3 |
0,714 |
0,857 |
0,143 |
0,286 |
4 |
0,143 |
0,286 |
0,429 |
0,571 |
5 |
0,429 |
0,571 |
0,429 |
0,571 |
6 |
0,714 |
0,857 |
0,429 |
0,571 |
7 |
0,143 |
0,286 |
0,714 |
0,857 |
8 |
0,429 |
0,571 |
0,714 |
0,857 |
9 |
0,714 |
0,857 |
0,714 |
0,857 |
2.4. О ПОГРЕШНОСТИ МЕТОДА ИССЛЕДОВАНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ ТОНКОСТЕННЫХ КОНСТРУКЦИЙ
С ВЫРЕЗАМИ НА ОСНОВЕ ИМПУЛЬСИВНЫХ ФУНКЦИЙ
Если анализировать сирого, насколько принятая в предыдущих разделах рас четная модель соответствует .реальной конструкции, то необходимо отдельно рас смотреть вопрос об условиях в сечениях, проходящих вдоль контурных линий вырезов, и сравнить, насколько оии точно соответствуют реальным граничным условиям.
Проведем подобную оценку на примере прямоугольной шарнирно опертой по внешнему контуру пластинки с прямоугольными неподирелденными выреза ми, «е закрепленным по контуру.
Считается, что пластинка сжата вдоль стороны длиною Ъ силами Nxo, а вдоль
стороны длиною а — силами Nv0.
На контуре свободного выреза должны обращаться в «ушь нормальные, сдви гающие и перерезывающие аялы, а также изгибающие моменты. Рассмотрим каж дое граничное условие в отдельности'.
Для пластинки с / прямоугольными вырезамй, размеры которых определяют ся неравенствами типа: хц<х<хг{] Уи<У<.Угх, i=-1, 2, 3 ,..., J, мажем записать в соответствии с методом сплошных моделей, что
£ = £ 0Y (*. У)- |
(2.25) |
Параметр у(х, у) определяется в данном случае по зависимости (2.21)
Для исследования воспользуемся уравнением равновесия для сплошной мо дели с переменной жесткостью в виде (1.86).
■Выясним, чему равны усилия и изгибающие моменты в поперечных сечениях рассматриваемой модели, проходящих вдоль контурных линий вырезав. Прежде воело отметим, что изгибающие моменты
(2.26)
У |
|
Nyo |
|
|
Nyo |
|
'' н Й Н f 1 ь '■ |
|
\ h L ti iJ A * H I .. |
||||
|
Г |
1 |
|
|
P |
1 |
N,o~ |
*NX0 |
Nl0Z |
T H Ny Hz |
~Nxo |
||
1 |
1 |
ZNl Ny Mz |
||||
|
L------------ 1 |
|
|
|
rf.- |
|
|
п т т т т т т г п |
X |
|
1 Т Г Г Г Г П Т П |
|
|
|
|
Nyo |
|
|
Nyo |
|
|
|
Ч) |
|
|
5) |
|
|
|
|
Ряс. |
2,5 |
|
|
на участке yz>y">yi и |
обращаются в нуль благодаря жесткости, пред |
|||||
ставляемой зависимостью (2,22). То же самое можно оказать относительно пере резывающих усилий
„ |
f dD |
/’ d^w |
(92ffi) |
|
|
+ |
(92W |
\ |
|
" дхду J ' |
Q x — — |
| |
[ dx* |
dy* |
) + D b |
- |
дхдуъ) |
dij ( |
|||
|
.d x |
|
||||||||
|
Г dD |
td^w |
|
|
|
|
|
|
|
(2.27) |
Q y = - |
d%w \ |
fd^w |
|
дЗда |
\ |
дD |
d?w ~] |
|||
[ d y |
U«/2 +iL |
dx j |
+ D b |
F |
+ дхЩ ) + 57(1_|1) дхду J ’ |
|||||
Далее определим, чему равиы нормальные усилия в тех же сечениях моде ли. Для этого рассмотрим сплошную изотропную пластинку, изображенную на рас, 2.5, а, сжатую с четырех сторон. Вырежем из нее центральное отверстие по пунктирной линии. Реакции отброшенной части обозначим в соответствии с на
правлением действия через Nx и Nv. Приложим их к контуру образовавшегося выреза (см. .рис. 2.5,6). В этом случае в плоскости Р, ограниченной внешним ы внутренним контурами, напряженное состояние не изменится в сравнении с на пряженным состоянием того же участка сплошной пластинки.- Если бы_ в пла
стинке отсутствовал участок Р, то в этом случае были бы равны нулю Nx и Nv. А для того чтобы рассмотреть пластинку, изображенную на ргас. 2.5,6 в виде сплошной, не_вагося при этом погрешности из-за центральной части, дающей ре
акции Nx и Ny, необходимо эти силы уравновесить аналогичными, действующими в противоположную сторону. На этом основании в пластинке будут действовать нормальные усилия по всей площади. Их можно представить в применении к нашей модели в виде
N’x = М м Г1 + [Г0 |
(х — Xi)— TQ( x — х 2)] [Г0 (У — yi) — Г0 |
(у — у2)]) (2.28) |
Nfy — Nyo {1 + [Г0 |
{у — Ух) — Г0 (у — у2)] [Г0 (х — Xi) — Г0 |
(х — х 2)]}. |
Так как касательные усилия отсутствуют на внешнем контуре пластинки, то можно предположить, что они будут равны нулю и на контурах вырезов.
При учете зависимостей (2.28) получаются результаты, более соответствую щие реальной конструкции, чем результаты решения по методике разд. 2.3. Со
поставление позволит |
установить ту |
погрешность, которая |
вносится |
сплошной |
|||
моделью, неточно учитывающей условия на контурах свободных вырезов. |
|||||||
Вводя фиктивные |
усилия |
(2.28) |
в уравнение равновесия |
( 1 .86), |
найдем его |
||
решение тем же путем, что |
и в разд. 2.3. В результате получем |
|
|||||
|
|
„ „ |
„ |
S — Si |
|
|
|
|
(Л Г д - а 2 - f - N у$2) ^ — D $ g |
^ |
— |
|
|
||
_°°(Sf f i ^ ^+щ,тш) ~ ^ o?ei/
Pise. 2.6
Здесь введено дополнительное обозначение
Ф - 1 + |
(2.30) |
5 |
|
В уравнении устойчивости (2.29) коэффициент ф характеризует поправку, |
|
учитывающую отсутствие |
нормальных усилий на контурах прямоугольных вы |
резов. |
|
На рис. 2.6, а, б приведены результаты .расчета коэффициента kx, получающе гося из ■уравнения (2.29) при переходе к критическому усилию Nx, определяе мому по формуле (2.10).
Данные определены для квадратных н прямоугольных пластинок с централь ным ^квадратным вырезом различных размеров со стороной иД Первая кривая соответствует вычислениям без поправки (ф=1), вторая — с учетом члена ф. Кдк видно }гз рисунка, учет граничных условий сказывается на величине критиче ской нагрузки.
Для сопоставления используем значение параметра kxn2, который можно определить из работы Г. П. Зиненко (39]. В последней приведено решение, полу ченное методом конечных разностей для прямоугольной шарнирно опертой по внешнему контуру пластинки (а/6=* 1,5) с центральным квадратным вырезом, не закрепленным по контуру, со стороною ai*=0,56. Пласгшнка рассматривалась сжатой лишь в направлении оси х (i= 0). Параметр kxit2 оказался равным 25,60. Если же ело определить по зависимостям (2.10) — (2.12), т. е. без учета поправ ки на граничные условия, то кхлг= 29,65. Внесение компенсирующей нагрузки снижает его величину до 25,00.
Для выяснения влияния поправок на значения коэффициента kx, которые за висят от числа вырезов и их координат, были проведены расчеты для квадрат ных пластинок, имеющих одинаковые квадратные вырезы а */а = 0,4 и различ ные координаты контурных линий, представляемые в отношении к а. Получен* ные значения kx собраны в табл. 2.3. Здесь же приведены данные для различно го числа вырезов тех же размеров.
2.5.ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ ПЛАСТИНОК
СВЫРЕЗАМИ В «ВЫСОКИХ» ПРИБЛИЖЕНИЯХ
Предполагаем, что пластинка имеет J прямоугольных, не закрепленных по контуру вырезов, ориентированных таким образом, что их стороны параллельны
соответствующим сторонам внешнего контура. Исследование |
проводится в |
гео |
метрически линейной постановке. |
ось у — вдоль |
сто |
Предположим, что ось х направлена вдоль стороны а, |
||
роны Ъ. |
|
|
№
по
пор.
I
2
3
4
5
6
7
Координаты центров квадратных отверстий
xi=xila\ iji=y-Ja
*i= 0,50; #i=0,50
7 = 0 ,2 5 ; ;# i= 0,25
*2=0,75; #2=0,25
7 = 0 ,2 5 ; #3= 0,75
*4=0,75; #4=0,75
*1=0,125; #i=0,25
*2=0,75; #2=0,25
*3=0,25; #3=0,75
*1=0,25; #i=0,25
*2=0,75; #2=0,75
7 = 0 ,2 5 ; #1=0,50
*2=0,75; #2=0,50
*i= 0,25; # i= 0,‘25
*1= 0,25; #1=0,50
|
ф— 1 |
|
|
<j^l |
|
|
X |
|
|
X |
|
1,0 |
0,5 |
0 |
1,0 |
0,5 |
0 |
1,33 |
1,78 |
2,67 |
1,15 |
1,53 |
2,30 |
0,71 |
0,95 |
1,42 |
0,43 |
0,58 |
0,86 |
1,03 |
1,37 |
2,05 |
0,69 |
0,92 |
1,38 |
1,34 |
1,79 |
2,68 |
1,02 |
1,36 |
2,03 |
1,20 |
1,60 |
2,40 |
0,90 |
1,21 |
1,80 |
1,66 |
2,21 |
3,32 |
1,43 |
1,91 |
2,86 |
1,59 |
2,12 |
3,17 |
1,37 |
1,83 |
2,74 |
Так как мы будем изучать поведение плаошнни с вырезами, аналогичной рассмотренной в разд. 2.4, и исследование будем проводит» на оонове сплошных моделей, то параметр жесткости В и уравнение равновесия остаются неизмен ным*. Меняется число степеней свободы, которыми мы наделяем функцию про гиба. Последнюю представим в виде двойного тригонометрического ряда
ОО |
00 |
|
w = 2 |
2 /дав sin а тх sin §„#, |
(2.31) |
т=1 я—1
где ат = т я /с ; рп«ля/й.
Так как условия, удовлетворение которых необходимо при использовании ме тода Бубнова — Галеркина, выполнены, то, введя в уравнение (1.86) функцшо w и умножая последовательно обе части его на sin арх sin (5,у, в результате ин тегрирования получчм систему алгебраических уравнений, в которую войдет как внешняя нагрузка, так и ряд неизвестных параметров типа fmn.
С целью выяснения необходимого числа членов в выражении для прогиба, достаточного для получения заданной точности, предварительно были проведены вычисления для функций, содержащих от одного до десяти членов двойного
тригонометрического ряда, когда m=n. В дальнейшем для упрощения запнея вместо /,„« будем писать В случае максимального числа членов алгебраиче ская система уравнений (/=10) имеет вид
2 Aufi ~ 0
о
( / « I , 2,..., 10). |
(2.32) |
Коэффициенты, стоящие при неизвестных |
находятся по следующей завися* |
мости: |
|
VI |
|
^,- = 2 4 * |
(2-ЗЭ) |
L~!
где / — порядковый номер уравнения, зависящий от числа членов в функции про гиба; I — «номер слагаемого в данном уравнении.
Если i>j, то 4 вычисляются по соотношениям вида
*"=-к+р«)т|— |
--- 1” |
]|. h - , |
*+, |
J' |
||||||||||
/ |
|
|
/ |
, . |
|
1 |
Г |
т а - л |
1 |
m v + j ) |
1 1 Г да( * - л » |
m V |
n 2 |
1 |
II |
|
1 |
/ |
2 |
ao\ г |
|
|
|
|
, Г |
|
|
. |
|
а }1 = |
— "4" ( a? + |
m |
) с°(г— |
|
I — a V+J)mO + j ) 1J [ |
|
pl+ / J ’ |
|||||||
|
1 = |
~jr ai (a? + |
P?) |
|
i "" т (^+лl] |
mg - i )2 mV+i) 2 |
|
(2.34) |
||||||
4 |
|
Р(1-У) |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
4 |
V = |
“2” P* (a? + |
P?) |
|
2 “ |
m(/+/)2l |
|
|
|
||||
aJi —— |
(P?+H-a5) fP( / - / ) /n( |
2 —Р(*+Лда('+/>^[_ |
~ |
a(«+y) |
||||||||||
4 1 = - у (1 -fi)cc^i
m ( i + n i] [m (C -/ )2 — т { С + т ] ,
Если i — j, TO
■4» = T |
(“? + $ г[ 5 |
|
“ W 1'_ i f " |
"W |
~ |
|
|
|||
|
|
-1 |
1 |
|
|
|
д* |
***(21)2 |
1 |
|
|
|
i «( 2o 2j |
(a / + H-P?) *(Х)тт |
1 |
6 / + |
p(20 |
J |
+ |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
P(20 |
J |
|
+ |
1 |
/ о o2\ |
ft* , |
m(2П |
+ ~~n |
Pi (“ i + |
Pi) X |
|
|
|
— a, (a?4-P/) «<201 |
[* / + |
Р(и, |
|
|
||||||
x - « |
. [ 4 |
|
<p5+' “Э |
|
2H |
+ _ 2 f |
|
“ |
||
— у (1 — J*) а,& т(2<) ^(2/) 2; |
(2.35) |
|
|
|
|
*г^+^таL 11 |
*(У+0 |
т г ти~П 2 |
mU+I)2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
»-01 |
ти + т |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
au-i) |
|
|
_ Р(7-0 |
|
Р(У+/) J |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-Q 2 _ |
mU+i) 2 I |
^ |
||
fl”f ------ 4 |
(<*i + l*$) [a(;-/)m(/^ £ )l~ a//+i),”(/+/)l] |
|
Ч^Н |
|
|
|
|
||||||||||
|
L Р(/'-- 0 |
|
P(/+0 J |
’ |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
= |
— |
2 |
tf* ( a <+ P /)[m( / - 0 i + |
w(y+0i]|^ |
р{/_ . } |
|
|
|
(2. 36) |
||||||||
3(У+0 J |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
•ДЛ |
= |
— ~ |
^ (а? + Р/) [я (/-о 2 + |
|
|
m(/—01 |
|
,л(Я-/)1 |
|
||||||||
|
)2] | |
|
j |
|
° W ) |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
V |
“ |
1 |
/л9 . |
9\ ,n |
|
n |
|
. |
|
|
F ^ ( J —0* |
^(/+<)1 |
|
||||
a 7 = |
|
— |
(Э/ -b I^a/) [P( / —/ ) m ( / —0 2 |
— P/+.m(/+ 0 2 ] |
a ^ _ .} |
- |
a {^+0 |
|
|||||||||
a/ / |
= |
— "У |
(1 — fO rf«P« [m(/—i) 1 + ”*(/+0 1 ] lmU-t)2 |
m(;'+*)2]- |
|
||||||||||||
Кроме параметров |
(2.34) — (2.36) в уравнения (2.33) |
входят: |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
Лц = Аи + |
(a? + |
Х $ |
|
N, I = 1, |
2.....10; |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
in |
„ |
in |
, |
^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
° ' - т :Р ' = т ; Х = ^ ; : |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
= |
sin амх ц — sin a - ,.*2* |
] |
= l , 2 .....y + |
(....2 i; |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
" |
. |
/ |
|
W |
|
|
|
|
||||
|
OT^2 = |
sm $Nyu ~ |
Sm ^ |
2t' |
‘ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
b\ = |
*/2£ — Уи\ A = *2« — *i£; 5 = |
ai; |
|
|
(2.37) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
_ |
kv?_ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5i = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
№ |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
та "
Впоследнюю формулу соотношений (2.37) входит коэффициент k, с помощью которого можно определять критическую нагрузку по иэвестнюй формуле для
сплошных пластинок:
Я2£>п |
(2*38) |
Nx=zk~ j T ' |
Система уравнений (2,32) имеет единственное решение в том случае, когда определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, равен нулю. Это условие позволяет определить те критические нагрузки, при действ;-® которых рассматриваемая пластинка может потерять устойчивость. Нахождение их це лесообразно осуществлять с помощью ЭВМ. Раскрытие определителя для задан ного числа членов в функции; прогиба приводило к алгебраическому многочлену,
вкотором неизвестной величиной была лишь нагрузка, тик как числа полуволн
ти п заранее задавались начинав с единицы. Определение корней алгебраиче ского многочлена осуществлялось методом Мюллера (парабол) по специальной программе на ЭВМ М-22С. На рис. 2.7 приведена кривая, характеризующая из менение параметра кх для квадратной шарнирно опертой .пластинки с централь ным квадратным вырезом at*=6i*=0,5a=0,5& в зависимости от числа членов в функции, аппроксимирующей прогиб пластинки. Из представленного графика видно, что влияние числа членов на окончательный результат в функции ш не