книги / Устойчивость и колебания пластинок и оболочек с отверстиями

одинаковой. Длина определялась в зависимости от координат места расположения выреза.

После представления круговых вырезов прямоугольными пла­ стинка заменялась, как и ранее, сплошным аналогом из условного материала.

Рассмотрим конкретный пример. Предположим, что прямоуголь­ ная пластинка, шарнирно опертая по краям, имеет I вырезов кру­ говой формы, не закрепленных по контуру. С помощью импульсив­ ной функции нулевого порядка запишем выражение для параметра жесткости эквивалентной модели. При этом полагаем, что коорди­ наты центров вырезов — Xi, t/i, а радиуса — Ri. Каждый круговой вырез заменяем при исследовании г .прямоугольными, число кото­ рых для упрощения подбирается одинаковым независимо от ра­ диуса. Считаем, что контуры прямоугольных вырезов расположе­ ны в пределах х ц } < х < х щ ; у щ < у < у щ ', i = I, 2, k\ j = 1, 2 ,.

величину Е определяем, как и ранее, по формуле (2.25) с той разницей, что в данном случае параметр у (х, у) определяется по зависимости вида

В се дальнейшие операции проделываем, как и в предыдущих раз­ делах при аппроксимировании прогиба одним членом. В результа­

те получим

/

( N ^ + N J[a ? )^ .= D „ g

Более подробно проведено исследование устойчивости шарнир­ но опертых прямоугольных пластинок с центральным круговым вы­ резом. В этом случае из уравнения (3.34) можно получить обыч­ ное выражение для критической нагрузки в виде

(3 .36)

г

где k r=-- eg {S — S J - с 2 [д-^- (2Q + mlUm2lj) — 2 (1 — p.) afaj ;

i-1

(3 .37)

Если предположить, что выреза в пластикке нет, то из (3.37) получается выражение коэффициента, \входящего в формулу для критического усилия (-3.36):

Величина критического усилия Nx по зависимости (3.36) опре­ деляется методом последовательных попыток. Варьируемыми па­ раметрами являются числа полуволн т и п. Кроме того, перемен­ ным является число прямоугольников г (см. рис. 3.4, б) , на кото­ рое разбивается площадь выреза. Координаты вершин прямоуголь­ ников определяются по формулам

Число разбиений г подбирается таким, чтобы последующий расчет отличался от предыдущего с наперед заданной степенью точности.

По полученным зависимостям были проведены вычисления и построены графики. Так, на рис. 3.5 представлены кривые, харак­ теризующие изменение коэффициента кх для различных типов на­ гружения, в зависимости от отношения радиуса кругового выреза i?, расположенного в центре, к ширине квадратной пластинки а. Как видно из рисунка, величина критической нагрузки уменьшает­ ся с различной интенсивностью, что зависит от соотношения сжи­ мающих усилий. Вычисления были выполнены с точностью поряд­ ка 1Cг~7.

Если рассматривать устойчивость пластинок с прямоугольными вырезами, то в зависимостях (3.34) и (3.35) исчезнет сумма по г и процесс вычисления упростится. На рис. 3.6 приведены кривые, характеризующие изменение коэффициента kx для квадратных пла­ стинок с центральным круговым вырезом (кривые 1 ) и квадрат­

ным (кривые 2 ), Предполагалось, что сторона квадратного выре­

за а* равна диаметру кругового. Сплошные кривые относятся к пластинкам, сжатым только с двух сторон, а пунктирные — с че­ тырех. Критические нагрузки для пластинок с круговыми выреза­ ми получаются выше, чем с квадратными.

Сравнение экспериментальных и теоретических данных, полу­ ченных Шлэком и другими исследователями [120], с результатами данной работы приведено на рис. 3.7. Здесь по оси ординат откла­ дывалась величина, равная отношению критичеокой нагрузки N *■ для квадратной пластинки с центральным круговым вырезом, сж а­

Приведенная на рис. 3.7 оплошная кривая получена по зависи­ мостям, выведенным Шлэком, а пунктирная — автором на основе

денных в табл. 3.3, справедливы лишь для квадратных пластинот, имеющих отношение диаметра кругового выреза к длине стороны, равное 0,1-8.

3.3. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ УСТОЙЧИВОСТИ НА ОСНОВЕ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

И СОПОСТАВЛЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ, ПОЛУЧЕННЫХ РАЗЛИЧНЫМИ ИССЛЕДОВАТЕЛЯМИ

В предыдущей главе рассмотрены задачи устойчивости для двухсвязных пластинок прямоугольной формы в «точной» постановке на основе метода ко­ нечных разностей. Мы отмечали, что в этом случае выбранный метод исследо­ вания с 1нспользоваш1ем конечных разностей не случаем. Он обусловлен в значи­

тельной мере фигурой выреза, имеющего прямоугольную форму. Это первое

замечание, на которое необходимо было обратят» особое внимание. Второе за­ мечание касается того, что (как видно из работ, посвященных устойчивости пря­ моугольных пластинок с прямоугольными вырезами) они относятся в основном к пластинкам с закрепленными вырезами, что объясняется сложностью обеспе­ чения сходимости решения при удовлетворении граничным условиям свободно­ го края. Это связано с трудностями, появляющимися при удовлетворении усло­ вий по третьей производной (по перерезывающей силе). Высказанные замечания подтверждаются публикациями по устойчивости пластинок с отверстиями, фор­ ма которых отлична от прямоугольной. Из их анализа молено убедиться, чТо для некоторых задач оказались пригодными новые численные методы. Главные из них — это метод конечных элементов (МКЭ) и метод, основанный на использо­ вании комплексных потенциалов Колосова.

В настоящем разделе приведены исходные предпосылки, используемые при исследовании устойчивости на основе метода конечных элементов. Последний является одним из наиболее эффективных и общих методов дискретизации кон­ тинуальных задач [71], разработанных в последние годы и нашедших широкое распространение благодаря совершенствованию электронно-вычислительной тех­ ники.

Развитие метода конечных элементов исторически шло но двум направле­ ниям. Первоначально исследование конструкций при аналитическом подходе на основе модели из элементов конечных размеров ооуществлялось лишь примени­ тельно к стержневым и рамным деформируемым системам. В связи с этим раз­ работанный метод исследования был основан на идеях, используемых в строи­ тельной механике стержневых систем. Так возникла первая модификация мето­ да конечных элементов. По мере совершенствования ЭЦВМ метод конечных элементов начал применяться к исследованиям прочности, жесткости, устойчиво­ сти деформируемых пластинок и оболочек.

Другое направление, по которому развивался МКЭ, это как бы разновид­ ность вариащюнно-разностн'ого метода решения задач математической физики. В дальнейшем оба направления слились воедино. Систематическое изложение МКЭ применительно к упругим системам можно найти в работах Л. А. Розина [85, 86], В. А. Постнова и И. Я. Хархурима.

Сущность МКЭ в общих чертах состоит в следующем. Континуум заменя­ ется соединением конечного числа конструктивных элементов, каждый из ко­ торых может принять при деформировании определенное число форм. На элемен­ ты действует соответствующим образом разделенная на части нагрузка. Погреш­ ность решения для такой системы определяется размерами элемента и числом степеней свободы. Она может быть снижена путем уменьшения размеров эле­ мента или увеличения числа возможных форм при деформации, когда возра­ стает количество узловых точек, где совместность деформации выполняется точ­ но. Математически задача решается с помощью аппарата линейной алгебры. Матричный язык позволяет систематизировать и упростить процедуру анализа

иявляется хорошо приспособленным средством для общения с ЭЦВМ.

Впределах каждого элемента выбираются узлы и искомые функции, кото­ рые представляются в виде интерполяционных формул по значениям этих функ­ ций и их производных в узлах. В результате состояние как каждого элемента, так и всей системы в целом приближенно описывается конечным числом пара­ метров. Последующая процедура состоит в том, что эти параметры находятся из вариационной задачи для класса функций, определенных для каждого эле­ мента в виде указанных интерполяционных формул. Такая вариационная задача приводит к -решению системы алгебраических уравнений относительно 'чекомых параметров интерполяции. Отсюда следует важное заключение, что МКЭ имеет,

содной стороны, сеточный (разбивка на элементы) и, с другой стороны, вариа­ ционный (решение непосредственно вариационной задачи) характер. Именно с

Вариационный подход позволяет использовать более свободные от ограниче­ ний теоремы существования, так как выражения, стоящие в функционалах, име­ ют более низкий порядок производных, чем в исходных дифференциальных ур|авнени!ях. Это расширяет клнос допустимых функций и, в частности, позво­

ляет находить решение при помощи не очень гладких, но, что важно, локали­ зованных функций, составляющих основу МКЭ.

Вариационные методы позволяют исключать из специальною рассмотре''Ч1 естественные граничные условия.

Наконец, получаемые сеточные уравнения отражают интегральные принци­ пы 'механики рассматриваемых систем. Сеточные методы в значительной степени' облегчают преодоление известных трудностей, связанных с выбором координат­ ных функций в вариационных задачах.

Являясь общим приемом дискретизации, МКЭ применяется при решенииразличного рода задач статики, динамики и устойчивости в линейной и нели­ нейной постановках. Для решения сложных задач с большим числом элементов и узлов разработан способ перехода -к суперэлементам и суперузлам.

Исследованию жесткости устойчивости прямоугольных пластинок с кру­ говыми отверстиями при помощи метода конечных элементов посвящены немно­ гие работы. В их числе публикации В. Г. Блохова [14, 15], В. Г. Налоева [59],. Р. Ритхе и И. Родеса [118], Н. Такесхи и К- Схинджя, Гроскурда, Вита и Галахера [101].

Рассмотрим подходы к решению некоторых задач механики типа изгиба иляустойчивости пластинок с вырезами на основе суперпозиции методов конечных элементов н вариационного, например метода Ритца, При этом вводятся обычные допущения теории тонких пластинок [21]. Исследование начинается с еадаиия формы конечного элемента, которое лимитируется рядом факторов и, в частно­ сти, геометрией деформируемой системы. Для рассматриваемого класса задач применялись элементы прямоугольной либо треугольной формы. Из работ на эту тему видно, что точность решения задач на основе конечно-элементной модели регулируется функциями, аппроксимирующими перемещение или силы внутри и по границам рассматриваемого конечного элемента, а также их числом и ко­ личеством степеней свободы, которыми элемент наделяется. Таким образом, погрешность решений всегда можно уменьшить, увеличивая число конечных эле­ ментов, заменяющих конструкцию, или число возможных форм изгиба при де­ формировании элемента, что равнозначно увеличению числа членов аппроксими­ рующего ряда.

Как мы отмечал* ранее, при исследовании устойчивости перфорированных пластинок в «точной» постановке рассматривают две задачи: задачу определе­ ния докритического напряженного состояния, для чего решается плоокая задача теории упругости иа основе МКЭ, и собственно задачу устойчивости, для чего используется энергетический метод. Необходимые исходные соотлошеияя записы­ ваются по отношению к отдельному конечному элементу, после чего осуществля­ ется суммирование по всем элементам, аппроксимирующим исследуемую дефор­ мируемую систему. Для упрощения исследования могут быть введены дополни­ тельные удрощеияя:

1) применительно к решению плоской задачи теории упругости. В этом слу­ чае считается, что закон изменения компонентов перемещения произвольной точки конечного элемента применяется в форме, обеспечивающей линейный за­ кон распределения нормальных и касательных напряжений в пределах элемен­ та [104];

2) для упрощения собственно задачи устойчивости напряженное состояние в пределах каждого конечного элемента может полагаться однородным.

На рис. 3.8, а [103] и 3.8,6 [59] приведены примеры возможного разбиения на конечные элементы прямоугольной пластинки с центральным квадратным и круговым отверстиями находящейся под действием сжимающих нагрузок, а на рис. 3.8, а [103] — для пластинки, исследуемой на устойчивость, при действии в ее плоскости по наружному контуру, сдвигающих усилий.

Не приводим здесь соответствующих исходных дифференциальных соотно­ шений для исследования поведения пластинок с помощью конечных элементов, так как они могут быть найдены либо в названных выше работах, либо взяты из соотношений первой главы с учетом перехода к конечно-элементной модели. Для сравнения «а рис. 3.9 приведены результаты вычислений, полученные различ­ ными методами: Леви и др. (кривая 1) [111], Кумаи (кривая 2) [ПО], Каваи н Отоубо (кривая 3) [106], Л. М. Куршиньш и К- А. Матвеевым (кривая 4) [45], Д. Ритхе и И. Родесом (кривая 5) [118]. Последние получили данные на оонове

и элементы установки, позволяющие имитировать различные виды закрепления внешнего контура. Кроме этого, в работе приводится схема измерения переме­ щений в результате выпучивания. Построен график зависимости коэффициента устойчивости от размера выреза при двух видах закрепления сторон пластинки.. Из полученных опытных данных видно, что коэффициент устойчивости умень­ шается с увеличением диаметра центрального выреза.

Кроме перечисленных выше работ, опытные данные были получены и опу­ бликованы Терешковошм и Скалой [125]. Они изучали поведение прямоуголь­ ных пластинок с це/нтральньрм круговым свободным вырезом, подвергнутых сжа­ тию равномерно распределенными силами, действующими по двум защемленный краям, при двух остальных шарнирно-опертых. Исследовали также влияние вели­ чины диаметра выреза на значение критической силы. Полученные данные нане­ сены на графики. Кроме того, в работе приведены результаты анализа оптималь­ ной величины выреза с позиций •получения конструкций минимальной массы.

3.4. О ВОЗМОЖНОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ УСТОЙЧИВОСТИ НА ОСНОВЕ КОМПЛЕКСНЫХ ПОТЕНЦИАЛОВ Г. В. КОЛОСОВА

В связи с важностью задач об устойчивости я колебании пластинок с выреза­ ми и в связи с тем, что они часто встречаются при проектирования, исследова­ тели стремились разработать какие-либо эффективные аналгегзческие методы, которые позволили бы находить их точные решения или же осуществлять теоре­ тическим путем приближенное изучение связанных с этчм проблем. Наряду с другими методами, внимание исследователей было привлечено к методам функ­ ции комплексного переменного и конформного отображения, так как они успеш­ но применялись к решениям уравнений плоской теории упругости. Впервые при­ менение таких методов дано в фундаментальных исследованиях Г. В. Колосова и Н. И. Мусхелишвили. Комплексное представление общего решения уравнений плоской теории упругости оказалось весьма плодотворным и эффективным при отыскание решения основных задач плоской теории упругости'. Первоначально результаты по решению задач плоской теории упругости методами теории функ­ ции комплексного переменного носили больше теоретический характер, поэтому возникла насущная необходимость придать этим результатам вид, требуемый ин­ женерной практикой. Большая заслуга в восполнении этого пробела принадле­ жит Г Н- Савину, А. Н. Гузю, А. Г. Угодчикову и другим известным советским и зарубежным ученым.

Успехи, •полученные при решении задач о напряженно-деформируемом со­ стоянии пластинок и оболочек с вырезами, обратили на себя внимание исследо­ вателей, занимающихся проблемами устойчивости и колебаний аналогичных де­ формируемых систем. Как известно, решение задач устойчивости в «точной* постановке требует решения двух задач, включая задачу о напряженно-дефор­ мируемом состоянии, а затем уже собственно задачу устойчивости. Это, естест­ венно, привело к усложнению самого процесса аналитического последования и к постановке вопросов, найти ответы на которые не всегда представлялось воз­ можным. Этим объясняется тот факт, что в настоящее время решенче задач устойчивости пластинок с вырезами на основе комплеконых потенциалов Г. В. Колосова весьма ограниченно. Одной из первых публикаций по этой про­ блеме, исследованной с использованием функций комплексного переменного, бы­ ла работа К. Хейнца и X. Шмидта [102]. В ней описывается подход к решению указанных задач для неодносвяэных конечных областей с использованием комп­ лексных потенциалов Колосова. Для численного решения задачи о налряженкодсформированном состоянии авторы рекомендуют применять метод рядов, а соб­ ственно задачи устойчивости — метод Ритиа. В указанной работе изложена лишь постановка задачи о напряженном состоянии л критических нагрузках прямо­ угольных пластинок с вырезами, а результаты расчетов и алгоритмы решения не приведены. Кроме того, не выделен тот класс конструкции, для которого может быть рекомендован описанный способ изучения.

Развитие метода изучения, оонованного на комплексных потенциалах Г. В. Колосова, с доведением результатов исследования до конкретных цифро­ вых данных приведено в работах Э. И. Григолюка ч Н. А. Кулакова [33, 34], Т. Секийя и Н. Ооми [J22]. Последняя работа посвящена вопросам о темпе­

ратурных напряжениях и вопросам, связанным с устойчивостью при нагреве прямоугольных пласти­ нок с центральным круговым вырезом. Для опреде­ ления напряженного состояния авторы использовали комплексные потенциалы Колосова и метод гранич­ ной коллокации для удовлетворения краевым усло­ виям на прямоугольном контуре области. Критичес­ кая нагрузка определялась по энергетическому кри­ терию. Форма потери устойчивости аппроксимиро­ валась отрезком двойного тригонометрического ря­ да. В работе приведены результаты вычислений в ви­ де графиков изменения компонент напряженного

состояния и критической температуры в зависимости от геометрических пара­ метров пластинки.

Рассмотрим задачу об устойчивости прямоугольной пластинки с централь­ ным круговым отверстием, находящейся под действием одноосного сжатия.

Считаем, что пластинка занимает двухсвязную область 5 с внутренней L\ и •внешней L2 границами (рис. ЗЛО).

Мы не будем останавливаться на комплексном представлении всех исполь­ зуемых при исследовании устойчивости соотношений, выписанных в первой гла­ ве в декартовой системе координат, так как их можно с подробным выводом тайги в ряде известных монографий [54, 89, 95]. Выпишем-лишь те соотноше­ ния, которые помогут нам в дальнейшем понять метод аналитического исследо­ вания, основанный на комплексных потенциалах Г. В. Колосова.

Отметим, что при использовании указанного метода исходные геометриче­ ские и физические соотношения, указанные в гл. 1, должны быть преобразова­

x = — (z + z); у = - — ( г — г).

В процессе преобразований используется правило определения частной про­ изводной сложных функций, согласно которому

Введение комплексных переменных и все необходимые операции справедли­ вы лишь для функций, имеющих частные производные по х и по у. При рассмот­ рении плоской задачи теории упругости уравнения равновесия и совместности деформации, объединенные с помощью функцчи напряжений F(x, у), приводятся к одному бигармоническому уравнению