Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1264 вуза, 4628 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Пермский национальный исследовательский политехнический университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

книги / Устойчивость и колебания пластинок и оболочек с отверстиями

..pdf
Скачиваний:
11
Добавлен:
12.11.2023
Размер:
17.03 Mб
Скачать
☆

трех алгебраических уравнений. Они могут быть представлены в виде

где

 

 

Со)+

(С — Со)' л=Л, 3,

(6.9)

 

 

 

 

 

а » - =

( - 1 )

*

1с з(в * ~ * ~ Л

+ Сз_в(Л,- В3)] ВА2;

 

« й = ( - 1 ) г 7 - -| г

 

; 1 = 1 , 2

 

а « =

- ^ ^

- [ - С

2 (Л1- В 1) + С 1( Л - В г)]ВЛ2;

(6. 10)

 

4

и*

 

 

 

 

 

5 г ( * * - л а ) f - ;

 

 

 

G * = ^

(С2^3 — 0 3Б 2) 4" А 2 {Bfia — С ^ з) -J- J43(Oi#2 ~~ 5 IC2);

С=//А;

Со=/о/Л-

 

 

 

 

Здесь введены следующие обозначения:

 

 

 

 

 

 

N

 

S = a b ;

a * = X 2i — * 11; b i= y 2i— */п*,

£ 1—

а —

р— - у I

 

 

 

 

 

»=i

 

да/1{ =

sin ja x u — sin ja x 2i\

Щ и =

cos ya^,- — cos yax2i;

mj2i =

=

sin yp^/i» — sin ypi/2;i ^b'2i — cos ]$Уц

cos j^y^ci ( * = 1 ,2,..-»-^»

y

= 1 ,2 ,3 ,4 );

 

 

 

 

з40= В 0= —

^ i = 8 o 4 (S — S ,) + 2 o 3 V

m „,bi;

A 2 — 4jiap ^

rri2 1im22i\

 

 

 

 

 

i-1

 

N

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B I = A 2;

£ 2= 8 p 4(S — Si) + 2P2 2

m42<a' ;

 

 

 

 

 

 

f-1

 

 

=

-_ 'V ] £^I2L

l(2a2 -h p2) — p.a2p2] — mTi/P2 (P2—i*a2)} ;

(6 .11 )

 

 

l-\

^

 

 

 

 

B3=

~

^

{ - ^

[ ( «

2+ Ш

- t*P2P2]- Wma2(a2- # ) }

;

 

/-1

 

 

 

 

 

Ci =

^

2ат]и _ J(9a2 _

^ 2) m\u

-^ H _(25a2- H-P2)}

 

3

С 2 = V

|(9?2 - (ха2) т\ш — ^ (25р2 - Н-«2)} J

= (ct2 -I—Р2)2; Q i=ffhub$-\-пь22&1а>

c 3= s ~^Si g * - ^ -

а ^ ] ■

Д алее попользуем метод Бубнова — Г алеркина по отношению к уравнению (1.69). После интегрирования и ряда преобразований

получим

[ ? - 2(RS (а„ + а„) - Й)]С+ к ( Ц в,,— а„) (Сг - С?) -

- тк

+«■) с- ь к

-

[g£j r b ^ +

т § “2l) (с~ Со) _

 

____ W

t ___1 = 0 ,

(6 .1 2 )

 

 

Eh2a?gdt2 J

 

 

 

N

 

 

где Ф = - 5 ~ ^ ------Т ^ Г

(2Q /+ ^ 2i.-^22/);

 

 

 

 

 

(6.13)

Для квадратной панели (а = Ь ) без выреза из (5.12) и (6.13) получаются соответствующие соотношения работы [23]. Опуская в (6.12) нелинейные члены и полагая р* = 0, £ = 0 , придем к уравне­ нию малых колебаний незагруженной панели с вырезами без на­ чального прогиба:

ш2 = _ £ М . .

(6 .1 4 )

у0ЬФ

Считая панель сплошной, -соотношение для квадрата основной ча­ стоты колебаний преобразуем к виду

со2

l&Eg№

*

я2

№

уа*

Ри' ^

3(1— н-2)

(6 .15)

 

4я2

Теперь предположим, -что задан закон взаимного сближения кромок панелей, на которые действует внешняя нагрузка. В этом случае среднее значение величины сближения определяется соотношени­ ем [23]

(6 .16)

Подставляя в (6.16) найденные функции F и до и, кроме того» полагая, что e = s * t , получим

 

& ~~Т7

 

 

 

Nлг

г

 

 

 

 

 

*

^ 2 _ ^

+

2 у

г

[ ^а ^

2

1

/

Д

и ~ +

Ре

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ft*— p.g2

 

 

а 13{с2—с?)

+

 

 

 

 

 

 

 

С<Р

 

 

+ 2 -4^- ^

2

(t*a^ 2Ua2lра^Дэз + B -J& L - ^

1г<Д23) х

 

 

Х«1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j s — Si

й =

- 2

- .

 

(6 .17)

 

 

 

 

 

 

рьт

 

 

 

Подставим (6.17) в (6.12)

и произведем

замену

переменной t на

/г*. В этом случае придем к зависимости

 

 

 

 

 

 

djj*y

^

1 (С2

Со) С -f- У2* (С — Со) С Ч-

(С2 — Со) 4 “

З д е с ь

 

 

4 - Л

(С - Со)4 М2- (С -

Со)=

 

о .

 

(6.18)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Л = - £ *

 

S »= W

\ s*a3 /

C = l / l K - ;

 

 

 

S — Si

 

 

4Ф

 

 

К

у

 

Л = ^ T 2 [ i f

Г ^ ]

 

 

“ K ^ 2 ,« 1 2 4-

 

 

 

L

 

x =-1

 

 

 

 

 

 

 

 

P — fxg2

юш/пш

 

 

 

 

 

 

 

Зл2 Лаз]} ;

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N

 

 

 

 

 

Э2— {/.a2

miumi2i „

Л — " * 5 '

 

 

 

 

 

j(p-a6</rc21/a 21— Р л /^ г^ а )

-----------~

аз~

 

 

 

 

 

 

 

—

 

 

 

— ^

p2S [^(a21- f a 22) -

л23]|

 

 

 

Л

 

S * /6 4 а ц

\.

 

S*

I

 

 

64^22

 

 

 

 

 

4

У‘- ^

Г

3'

"55-)’

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S *

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Л = зpi

а2 (1 -^ 2 ) *

 

 

 

 

Уравнение (6.18) позволяет исследовать поведение тонкостен­ ных прямоугольных панелей с вырезами при динамическом нагру­ жении. Для этого следует воспользоваться численным или аналити­ ческим методом, позволяющим находить решение обыкновенного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.

Если предположить, что панель не имеет вырезов, то в этом

случае получим

 

2k

(fi? -

4^0 - to) -

ft ■- t3) =

о.

(6 .19)

 

Ь г 5 п г

 

Зя2/?

 

 

 

 

 

Здесь

 

 

 

 

 

 

5 2=

( P:) 3/ i

^ v

с = 1 / м

;

 

 

 

\

/

у

Yo

/>□

 

Уравнение

(6.19) точно совпадает с аналогичным, полученным

в работе [23].

 

 

 

 

 

 

6.2. О ПОВЕДЕНИИ ПАНЕЛИ С ВЫРЕЗАМИ ПРИ ДИНАМИЧЕСКОМ НАГРУЖЕНИИ

Уравнение (6.18) будем решать методом вспомогательных функ­ ций [84]. Прибавляя к обеим частям уравнения (6.18) член

— (А /lkz) g + L (k * ) £ , представим его в виде

где

— (^2/^ 2) С/ Ч-

(^2) Ч-

(^2)] С=<Р (^2» С»

С;)»

(6 .20)

 

 

 

 

 

 

? ( * 2, С, C ')= A (C 2- t o ) - A M t - t o ) C + A M

t 2- t o ) +

 

 

"Н *^4 (С “ Со)“ЬJ

(С — Со); S [к)==J0^2-

 

Пусть

в ^области

 

|С— С оК ^; |С' — C0I O

1} для

функции

ср (/2, С, С')

удовлетворяется условие

 

 

 

If ( 4 С,

С ') - ?

( 4 С,

С ') | < ^ ( 4 |С-С|.

 

(6 .21)

Выполняя операции дифференцирования в левой части равен­ ства

1

)+Л,(т)]Л

ft.(x)dx

 

 

d_

d

 

 

 

dt

dt\ Се6

y j = f ( 4 С, С')

(6 .2 2 )

и приравнивая коэффициенты полученного выражения к соответст­ вующим коэффициентам уравнения (6.20), найдем

А,------- А _ у

b = V - { g + L ) .

k%

 

Из равенства (6.22) легко получим выражение для £:

 

 

_

—

2

.*

т

I

J {<fi(X)+fcs(X)]rfX

 

 

 

С— X 4 -е

 

W

 

 

^trfo.

(6.23)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- jJA a(x)d:* \

jj'ftл .к co*J

 

 

 

/I

J

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

“ )M«0

 

 

где

Г = Л Г 0е 0

 

4-e°

 

[Л ^ + О Д *„1 J e 0

dr.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i)

 

 

 

Согласно

равенству

(6.23) получим

искомое

решение

 

уравне­

ния

(6.18):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

___

'2

*

’

 

J

[Ai(X)+A,(X)ldX

 

 

 

 

- J ' i i W

* / 2

| *»<=) rfx 1

 

 

 

С .= Л 4 4 -е

0

]

еи

J

е°

 

 

 

<р(т;

£i_i) dxda.

Когда X t — фундаментальная система уравнений

(6.18),

то равен­

ство

(6.23) будет

удовлетворено,

если

 

в

обеих

частях

 

принять

1 = Х и т. е.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

__

- J

*a(x)<*t *2

 

*

 

j

(ft»(X)+ft,(X))<a

 

 

 

X t= X + e

0

 

J e

0

j

e°

 

dxda.

(6 .24)

 

 

 

 

 

и

 

и

 

 

 

 

 

 

Согласно (6.18) и (6.24) имеехм

-

J

<2

-(*» (« )d° Т

J‘ l*i(X)+**(X)l<fX

ЕяЙ < е

°

j e

й

f e °

(6.25)

 

 

 

 

 

«J

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

где

 

«Я Й )=

\xt -

и

Бл-г $ ) =

I*/ - c*-il

представляют собой погрешности п-го и п — 1-го приближений.

Л е м м а .

 

Пусть

функции

ф '(^*)

и ф (^*) положительны

V *2* е [ 0 , А], тогда имеет место неравенство

 

 

j

е?(т><|>(т) d t <

 

(6 .26)

 

 

о

 

 

 

 

 

В справедливости леммы можно убедиться путам сравнения диф­ ференциалов выражений, находящихся в каждой части неравен­ ства (6.26).

 

 

 

Согласно лемме неравенство

(6.25)

при­

 

 

мет вид

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- ]■

A(t)dx

*2 ‘2

 

 

 

 

 

 

ел (/2) <

N 'e

о

оио

е°

^n^dxdxt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(6 .27)

 

Вис. 6.2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

если k — k \ = k 2 — вещественные числа.

 

Пусть

0^ е(^ 2* )< М .

Тогда,

определяя

последовательно

из

(6.27)

£], ег,. . бп, найдем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M N 1 — 1 -I- kh

..

(kh?a~l

е-*А

(6 .28)

 

 

к2п

 

 

 

(2п — 1) !

 

 

или

 

 

MN е-й(Л—0)

 

 

(6 .2 9 )

 

 

 

2п 1

 

 

 

 

 

 

где 0 =

(0 —■1 )h.

 

 

 

 

 

 

 

 

Когда

k — комплексное число, исследование ведется

аналогич­

но; в этом

случае также

получается

неравенство типа

(6.28). Вы­

числения по полученным зависимостям были выполнены с помощью

ЭВМ

для плоской

(& =0)

квадратной (а = Ь )

панели с централь­

ным

квадратным

вырезом

(a i* = & i* = 0 ,la ).

При этом

были ис­

пользованы те же начальные условия, что и в работе [23]:

 

 

 

с = с 0 ;

т £ - = 0

П Р И

0 .

 

 

 

 

dt

 

 

 

Кроме того, полагалось, что £0— 0,001; с = 5 - 1 0 5 см/с;

a/h— 2ZQ'y

s * = 0,042 см/с. Подобные исходные

данные выбраны с той целью,

чтобы можно было сравнить результаты расчета для пластинки с отверстиями с аналогичными данными работы [23] для сплошной пластинки. Результаты интегрирования представлены на рис. 6.2,

где по оси

абсцисс откладывается параметр времени

а по оси

ординат —

величина £ и отношение сжимающего усилия

к крити­

ческому статическому р*1рв*• Здесь кривые 1 относятся к пластин­ ке с отверстием, а 2 — к оплошной пластинке. Пунктирные линии относятся к статическому нагружению сплошной пластинки. Как видно из рисунка, появление в прямоугольной пластинке выреза приводит к снижению ее динамической сопротивляемости. С дру­ гой стороны, вырез значительно больше сказывается на статиче­ ской критической нагрузке, чем на динамичеокой.

Глава 7

УСТОЙЧИВОСТЬ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ

ИКОНИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК

7.1.МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ УСТОЙЧИВОСТИ

ОБОЛОЧЕК

Исследование устойчивости пластинок и оболочек в общем слу­ чае сводится к нахождению решений дифференциальных уравне­ ний, "в которые входят производные от двух переменных. В таком виде задача имеет определенные математические трудности, -поэто­ му ее стараются, когда это возможно, свести к одномерной. Осу­ ществить это удается различными путями. Один из них, используе­ мый при исследовании устойчивости оболочек, основывается на введении предположения о том, что форма оболочки после хлопка описывается функцией одной переменной. Например, при рассмот­ рении цилиндрической оболочки под действием осевого сжатия' считают, что изогнутая поверхность ее после выпучивания симмет­ рична относительно оси. В случае же нагружения оболочки внеш­ ним давлением считают, что ее кривизна после перехода к новой форме равновесия изменяется лишь в окружном направлении. По­ добные допущения намного упрощают задачу, а результаты иссле­ дования получаются близкими к тем, которые мы имеем в случае •потери устойчивости оболочки по неосесимметричным формам.

Сведение задачи к одномерной равносильно переходу от рас­ смотрения обычной двухмерной конструкции к одномерной конст­ рукции единичной ширины в виде стержня или кольца. В этом слу­ чае реакция отброшенной части аппроксимируется упругим осно­ ванием [22]. В справедливости такого подхода можно убедиться на примере устойчивости цилиндрической шарнирно опертой обо­ лочки, натруженной осевой силой, если предположить, что она п*рощелкивает по осесимметричной форме. Получающаяся в этом слу­ чае критическая нагрузка в точности совпадает с обычной класси­ ческой, полученной в предположении неосесимметричной потери устойчивости.

При осесимметричном выпучивании каждая продольная полос­ ка оболочки находится в тех же условиях, что и сжатый стержень на упругом основании, искривлению которого препятствует реак­ ция упругой среды. На это обстоятельство впервые обратил вни­ мание С. П. Тимошенко [94]. Упругим «основанием» для таких полосок служат дуговые волокна. Учитывая это, найдем значение критической осевой силы для цилиндрической оболочки без от-

Если ввести обозначения

Р Ц Е к )= & , cJ[EI) = r,

(7 .8)

то вместо (7.6) получим

w1 4 k7tau -f-rze;=0.

(7.9)

Решая это дифференциальное уравнение обычным путем и удов­ летворяя граничным условиям для шарнирно опертой балки, най­ дем, что критическая нагрузка

 

(7

.10)

Подставляя значение коэффициента жесткости (7.5)

и момент

инерции для полоски единичной ширины (7.7) в (7.10)

и переходя

к напряжению, получим

 

 

зкр:= 0,578£7//Я .

(7.

11)

В эту зависимость вместо Е необходимо ввести величину Е', учитывающую, что полоска в действительности является частью оболочки, а поэтому в критическую нагрузку должна входить не изгибная жесткость, а цилиндрическая жесткость оболочки

Е ’ = Е !( I — (л2) 1,1 £ .

(7.12)

Учитывая это, получим известное выражение для критического на­ пряжения цилиндрической оболочки, сжатой осевой силой:

зкр = 0,605£7///г

(7.13)

Из изложенного можно сделать вывод о том, что описанный ме­ тод может быть использован для исследования устойчивости обо­ лочек. Ниже применим его к круговым цилиндрическим оболочкам с произвольным числом отверстий. Форма последних, количество, порядок расположения на поверхности оболочки могут меняться в зависимости от потребностей .практики. Наличие отверстий в обо­ лочке, исследуемой на устойчивость по предложенному методу, от­ разится в том, что рассматриваемые полоски будут иметь перемен­ ную по длине изгибную жесткость и, кроме того, переменной по длине полоски будет реакция отброшенной части.

Уравнение изгиба для такой полоски записывается соответст­ венно уравнению (7.9) с той разницей, что коэффициенты k н г бу­ дут непостоянными величинами, а функциями координаты х, отсчи­

тываемой по длине полоски

(образующей оболочки):

 

 

да1Уф-Л(л:) wlljr r(x )w = Q .

(7 .1 4 )

Здесь

t -

р

El (x)

( 7 . 15)

 

E J (х) ’

 

Уравнение (7.14) представляет собой линейное дифференциаль­ ное уравнение четвертого порядка с переменными коэффициента­ ми. Его решение можно найти с помощью интегральных уравне­

ний

методом

последовательных

приближений,

разработанным

Н. К. Куликовым [44]. Метод применяется к решению

линейных

дифференциальных уравнений л-го порядка вида

 

 

/ » М

® |,|+ Л

- 1М ® ("

1,+

- + / . ( * ) ® ‘ + / о ( * ) « = / М

. (7 .16)

Предполагается, что

w,

х и все функции fi(x)

— действитель­

ные

и имеют

непрерывные

первые

производные

в

интервале

 

изменения независимого

х;

кроме того, fo(x) и fn {x) не

обращаются в нуль. Введенные допущения совместно с граничны­

ми

условиями

Обеспечивают

однозначность

решения

уравне­

ния

(7 .14).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Сопоставляя

(7.16)

с (7.14), можем записать:

 

 

 

 

п = 4; / 4 (х) =

1; /

3 ( * ) = 0 ;

f 2 {x) =

k(x)\

 

 

/ i ( * ) = 0 ;

M * ) = r ( x ) ;

/(•*) = 0;

 

 

(7. 17)

 

/ К * ) = 0 ;

A (x )= k '{x )\ f l ( x ) = 7 l (x).

 

Характеристическое уравнение применительно к (7.14)

записы­

вается в виде

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а2г^- j - -j-CQ==0.

 

 

(7. 18)

Оно не имеет кратных

корней

а0ф 0.

Значения

коэффициентов

уравнения (7.Г8)

влияют на точность результатов

и быстроту схо­

димости последовательных приближений. Чтобы улучшить сходи­ мость, необходимо учесть не только начальные значения этих ко­ эффициентов, но также и вид функций, что удается осуществить, используя средние на рассматриваемом интервале значения неизве­

стных параметров Со, С ь .

. а4:

 

 

 

i

 

i

 

 

/о

(я) d x =

у - ^

r{x ) dx; ^ = 0 ;

 

о

 

о

 

 

i

 

i

 

 

a2 = - Y ^ k ( x ) d x = - j - ^ k ( x ) d x = P a 2;

(7 .19)

о

 

о

 

 

 

 

I

 

 

а 3= 0 ;

а4—

f 4 {x) d x = 1.

 

 

 

о

 

 

С учетом этих соотношений уравнение

(7.18) будет иметь следую­

щий вид:

 

 

 

 

г4-j- С2Г2-J- Со= 0 .

 

(7 .20)

Его корни:

 

 

 

 

— г3=

-\ -i У

-|-а2/2 — V а г /4 — л0;

(7. 21)

 

 

 

 

/ 2 = — r 4=

~\~i V

-\-С1212-\-УС^}А: — CQ.

 
Соседние файлы в папке книги
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности