книги / Устойчивость и колебания пластинок и оболочек с отверстиями

Глава 3

УСТОЙЧИВОСТЬ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ п л а с т и н о к С ВЫРЕЗАМИ КРУГОВОЙ ФОРМЫ

3.t. ПЛАСТИНКИ С ЦЕНТРАЛЬНЫМ КРУГОВЫМ ОТВЕРСТИЕМ

Задача о потере устойчивости свободно опертой квадратной пла­ стинки без отверстия при задании равномерных краевых перемеще­ ний в ее плоскости исследовалась С. П. Тимошенко и К .Маргером [94]. Они получили выражение для определения критического пере­ мещения сплошной квадратной пластинки со сторонами 2а. Оно имеет вид

Одной Из первых работ, посвященных исследованию устойчиво­ сти прямоугольных пластинок с центральным круговым вырезом, была опубликованная в 1947 г. работа Леви, Воллея и Кроля [111]. В ней приведены результаты изучения поведения квадратных пла­ стинок с центральным круговым вырезом. Полученные в [111] за­ висимости были использованы практически лишь в 1951 г. Кумаи [110] для сопоставления со своими опытными и теоретическими данными. Работы [11С‘, 111] посвящены изучению поведения пря­ моугольных пластинок с круговым центральным отверстием в слу­ чае равномерного нагружения вдоль двух параллельных противо­ положных краев.

Рассмотрим такую же задачу, однако исследование будем про­ водить аналогично тому, которое было выполнено А. Л. Шлаком [119, 12С]. Он изучал влияние отдельных членов в функциях, ап­ проксимирующих перемещение, на окончательное значение крити­ ческого параметра нагружения. Теоретический анализ А. Л. Шлэк осуществлял на основе энергетического метода (метод Ритца). В результате им получено простое аналитическое выражение для определения критического параметра свободно опертой прямо­ угольной пластинки с центральным круговым отверстием при одно­ осном равномерном краевом перемещении. Рассмотрим этот же случай. Считаем, что прямоугольная пластинка имеет стороны дли­

ной 2а, 2Ь и центральное круговое отвер­ стие радиусом г. На рис. 3.1 показаны раз­ меры пластинки и область интегрирования S, занимающая 1/4 общей поверхности пла­ стинки.

Начало прямоугольной системы коорди­ нат ху считаем совпадающим с геометри­

Рис. 3.1

ческим центром прямоугольной пластинки.

Функции, аппроксимирующие нормаль­ ный прогиб w и перемещения в срединной поверхности пластинки и и v соответственно вдоль осей х и у, в

общем случае можно представить в следующем виде:

Однако аппроксимация перемещений функциями в такогл виде не учитывает особенностей в центре пластинки, появляющихся из-за концентрации напряжений. Перемещения и н о в форме (3.3) учитывают то обстоятельство, что наружные края пластинки пред­ полагаются свободно скользящими в опорах в ее плоскости.

Прежде чем рассмотреть устойчивость пластинки, изображен­ ной на рис. 3.1, определим необходимое число членов в функциях (3 .3 ), аппроксимирующих перемещения и, v и w для сплошной пластинки. Получающееся при этом выражение для критического краевого перемещения будем сопоставлять с решением (3 .2). При достижении определенной точности совпадения (в пределах 1% ) считаем, что функции, аппроксимирующие перемещения и, v и wr при которых достигнуто это совпадение, могут служить далее на­ чальной точкой для -приближенного исследования устойчивости пластинки с отверстием.

Рассмотрим сплошную упругую прямоугольную пластинку, на краях которой вдоль оси х задано равномерное перемещение. Оп­ ределим критическое значение краевого перемещения м1{р, при ко­ тором произойдет потеря устойчивости пластинки. Для анализа воспользуемся энергетическим методом, который особенно полезен, когда точное решение неизвестно и требуется найти только при­ ближенное значение для критических параметров нагружения. Кроме того, преимущество энергетического метода состоит еще и в том, а это особенно важно для исследования поведения тонкостен­ ных конструкций с отверстиями, что он не требует выполнения обя­ зательного условия точного метода вычисления критических пара­ метров нагружения при решении дифференциальных уравнений криволинейной формы равновесия. Суть этого требования — в не­ обходимости удовлетворения заданным краевым геометрическим я

Изменение потенциальной энергии деформации срединной по­ верхности пластинки с размерами сторон 2а и 2b выражается че­ рез деформации следующим образом:

Используем соотношение (-3.4), (3.5) и (3.7) для определения кри­ тических параметров нагружения. Применительно к нашему слу­ чаю требуется определить одноосное критическое перемещение внешних противоположных границ в направлении оси х. Критиче­ ское значение одноосного перемещения границ и* — это перемеще­ ние, при котором наряду с плоской формой равновесия пластинки возникает новая криволинейная форма равновесия.

где П о— потенциальная энергия пластинки до выпучивания (не за­ висящая от амплитудных параметров прогиба Атп)\ ДП — изме­ нение потенциальной энергии при выпучивании, определяемое в виде

Из условия экстремума энергии П следуют уравнения:

где Xi — амплитудные параметры перемещений в аппроксимирую­

Полученная таким образом система линейных однородных уравне­ ний (3.11) относительно неизвестных произвольных постоянных А тп, Втп, Стп . . имеет нулевые решения Атп = Втп= С тп= . . . =

=0 , которые соответствуют плоской форме равновесия пластинки,

иотличные от нуля, соответствующие равновесию искривленной пластинки. Последние возможны только в том случае, если опре­ делитель системы, составленный из коэффициентов при неизвест­

ных, обращ ается в нуль. Из условия равенства определителя нулю и находятся неизвестные параметры, при которых оказывается воз­ можным выпучивание.

Выражение для критического перемещения «кр определим из соотношения

а

о

Используя (3.12) и (3.25), из (3.27) получим

где k * =0,70513.

Проведем аналогичные выводы для различных комбинаций Л тп,

используя для этого выражение для нормального прогиба до в фор­ ме (3.3), получим различные числовые коэффициенты в формуле для критического перемещения (3. 28).

Результаты такого исследования представлены в табл. 3.1. По­ лученные результаты иллюстрируют сходимость решения к точно­ му значению (3.2) в зависимости от вида функции, аппроксимиру­ ющей нормальный прогиб. Наибольшая точность (в пределах 1% ) получилась, когда в функции для до были использованы три члена с коэффициентами А00, А20 и Лог-

Полученные данные могут служить ориентиром при выборе ап­ проксимирующих функций для пластинки с центральным круговым отверстием.

Однако до перехода к их рассмотрению целесообразно исследо­ вать вклад отдельных членов, используемых в функциях, аппрокси­ мирующих перемещения, в окончательный результат. Этот вопрос изучался различными авторами на первоначальном этапе поиска пригодных решений для прямоугольных пластинок с отверстиями. Так, Рао и Пикетт в работе [117] предложили ввести в аппроксимиру­ ющие функции член в виде логарифмической функции в дополне­ ние к тем, с помощью которых аппроксимировались перемещения для оплошной пластинки, чтобы получить более точное решение для пластинки с отверстием. Этот член использовался ими в зада­ че о колебаниях пластинки с отверстием. Принимая во внимание математическую схожесть в решениях задач по устойчивости с за ­ дачами по колебаниям, А. Л . Шлэк [119] по аналогии с работой

[117] предложил в задаче об устойчивости использовать для поиска аналитического решения функцию для нормального прогиба пла­ стинки с отверстием, так же как и при исследовании колебаний с особым членом (подчеркнут), учитывающим наличие выреза:

в работу по отысканию решения поставленной задачи, то можно допустить в функциях, аппроксимирующих перемещения, гораздо большее число членов, чем это требуется при изучении поведения сплошных пластинок; в частности, можно для этих функций при­ нять следующие выражения:

ве решения весьма ограниченным [117]. В связи с этим А. Л . Шла­ ком использованы упрощенные приближенные решения в предпо­

видами упрощенных аппроксимирующих функций, которые позво­ ляют провести сравнительный анализ вклада различных членов в точность определяемого критического параметра.

Вначале было найдено решение при использовании смещений и и о в форме (3.296) и (3.29в), функция же нормального прогиба w была упрощена до вида

( а 3 0 )

Предполагалось, что член с коэффициентом А\, взятый по анало­ гии с работой [117], должен учитывать наличие в пластинке от­ верстия. Д ля оценки его вклада вывод был проведен с учетом и без учета этого члена при одинаковых зависимостях для а и v. Резуль­ таты сведены в табл. 3.2, где дано сравнение числовых значений для критического параметра k*, позволяющего по формуле (3.28) определять величину критического одноосного омещения (С ==0) для пластинки с центральным круговым вырезом. Здесь же в про­ центах показано различие в результатах, определяемое по разни­ це в коэффициентах, в сравнении с решением при наличии членов с А т и А\.

*

Вычисления выполнены для квадратных пластинок со стороной 2а и центральным круговым вырезом с радиусом г, характеризуе­ мым параметром y = rja .

Из табл. 3.2 видно, что логарифмический член с коэффициентом А\, дополняющим обычно используемый коэффициент Доо, влияет гораздо сильнее при увеличении размеров отверстия. Имея точное значение критического коэффициента k *= 0 ,6 3 2 6 7 для сплошной пластинки и сравнивая его с &2* из табл. 3.2, приходим к выводу, что упрощенные аппроксимирующие функции дают завышенные значения критического параметра для пластинок с очень малень­ ким отверстием, радиус которых близок к нулю, например, для 7 = 0 ,0 1 .

Второй тип функций смещения, на основе которых определялась величина критического одноосного перемещения противоположных торцов вдоль оси х ( С = 0 ) , имеет вид

На основании выведенных зависимостей получены числовые значения коэффициента k*, входящего в формулу (3.28) для крити­ ческого осевого смещения пластинки с центральным круговым от­ верстием. Результат таких вычислений:

необычным (логарифмическим) членом (пунктирная кривая) и без него (сплошная кривая) дано на рис. 3.2. Кривые построены по результатам расчетов величины k* для пластинок с различным