книги / Устойчивость и колебания пластинок и оболочек с отверстиями
..pdfКинетическая энергия оболочки без учета инерции вращения элемента определяется но следующей формуле:
кЧ-у■4\ \ Ш+(^Г+(^Л 18>
•Потенциальная энергия представляет собой сумму энергий, со ответствующих деформации конструкции в ее срединной поверхно сти V и деформации изгиба и поперечного сдвига U :
n = V + U . |
(1 .1 9 ) |
Энергия деформации срединной поверхности, определяется по зави симости
v = T |
^ (Jv^ |
+ JV »6» + 7'Y)d-*rfJ'- |
(L20) |
Энергия изгиба и поперечного сдвига |
|
||
U = - ‘- |
\\(M A |
+ M f y + 2H x)d xd y . |
(1 .2 1 ) |
Работа внешних сил |
|
|
|
W = ^ { p xu-\-py'v-\-qrw)dxdy. |
(1 .2 2 ) |
||
Состояние равновесия деформируемой тонкостенной конструк ции, находящейся под действием внешней стационарной нагрузки, отличается от смежных геометрически возможных состояний тем, что .при всяких бесконечно малых возможных перемещениях систе мы из положения равновесия приращение полной потенциальной энергии равно нулю. Это есть вариационный принцип Лагранжа £64]. Геометрически возможными состояниями называют такие, при которых вариации перемещений не нарушают геометрических свя зей, наложенных на систему. В качестве геометрических связей могут быть: геометрические граничные условия, а также сравнивае мые по вариационному принципу Лагранжа величины е» и Иг, ко торые должны представлять непрерывные деформации, удовлетво ряющие условиям неразрывности деформации.
Вариационное уравнение, получаемое из (1.17), справедливо лишь при конечных прогибах. Кроме того, оно справедливо для оболочки либо пластинки ,при условии, что их края шарнирно опер ты или жестко защемлены, а внешние усилия, действующие на си стему, имеют потенциал.
Таким образом, из всех возможных перемещений, согласных с геометрическими связями, наложенными на оболочку, в действи тельности имеют место только такие, для которых полная энергия системы Э принимает стационарное значение, т. е. 6 Э = 0 .
Из вариационного уравнения следуют уравнения равновесия я статические граничные условия.
Н а вариационном принципе возможных перемещений основа» приближенный энергетический метод, широко распространенный в механике.
Рассмотрим более подробно вариационное уравнение для тон костенных конструкций с вырезами.
1.4. ВАРИАЦИОННОЕ УРАВНЕНИЕ
Получим уравнения движения оболочки с вырезами, исходя изэнергетических предпосылок, Для этого применим способ, анало гичный использованному в монографии А. -С. Вольмира [23].
Рассмотрим процесс движения на отрезке времени менаду мо ментами t0 и t\. Сравним для этого отрезка времени различные .тра-
ектории движения точек системы между начальным и конечным положениями.
Вывод основывается на известном принципе. Гамильтона — Остроградского, определяющем движение произвольной механи ческой системы. Последнее происходит так, что определенный ин теграл I приобретает стационарное значение по отношению к лю бым возможным вариациям положения системы, если начальное и конечное положения остаются фиксированными:
t, |
(1.23) |
1= J(K —П)^г, |
*0
где К — 'кинетическая энергия системы, П — потенциальная энер гия. Интегральное соотношение (1.23) получается из условия, х а рактеризующего истинные траектории движения, если все силы,, действующие на систему, имеют .потенциал
t,
(8 К - Ш - f 8 'W )« tf= 0 . |
(1 .2 4 ) |
*0
Здесь под 6'П понимается сумма элементарных работ внеш них сил.
Иопользуя соотношения (1.5) и (1 .9), запишем выражение для потенциальной энергии деформации в срединной поверхности в- следующем виде:
v ' & d x d y = T \ \ f ( x * y )d x d y- |
(L 2 ^> |
c> |
? |
Под Ф здесь понимается область интегрирования, ограниченная внешним и внутренним контурами деформируемой системы:
0 = 5 - $ ! , |
(1 .2 6 ) |
где 5 — шлощадь боковой поверхности оболочки без -вырезов; Si — площадь вьпрезов.
Для упрощения будем пола-гать, что в оболочке имеется лишь один замкнутый вырез.
Двойной интеграл по области Ф сводится к двум двукратным
интегралам: |
|
|
Пс = Y ^ f ( x , у )dxdy — Y |
\^ / ( * , у )dxdy. |
(1 .2 7 ) |
5 |
1 |
|
Аналогично выражению (1.27), используя соотношения (1.21) и (1.14), запишем выражение для энергии изгиба оболочки с вы резом:
" ■ - - - Н И ® ' + 1 Э ' + Ч 9 ( Э +
+ M S ) ( v ) + !|l^ ,',( - S )’ ] " * |
112,1 |
Кинетическая энергия определяется по формуле
|
Si |
|
|
<1м' |
Элементарная работа внешних сил, действующих по наружно |
||||
му контуру оболочки |
(рх, ру) и по ее поверхности |
(q), определяет |
||
ся по зависимости |
|
|
|
|
|
&' W = |
J j |
(рхЪи-\-pybv-\-qbw) dxdy. |
(1 .3 0 ) |
Рассмотрим |
участок |
оболочки, ограниченный |
координатными |
|
линиями х=а\\ |
х = а 2\ y = b v\ y = b 2. Считаем, что этот участок ох |
|||
ватывает вырез, определяемый следующими координатными линия ми х=Х\\ х==х2\у=У\\ У=У 2. В связи с тем, что вырез лежит внут
ри -рассматриваемой области, можем записать, что ai< .V i< n 2; a i < * 2< a 2; b i< y i< b 2^ b i< y 2< b 2.
Прежде чем перейти к нахождению вариации всех компонент полной энергии деформируемой системы, сдедаем ряд упрощающих преобразований.
(atbi) (йгЬг)
о)
(а,Ь2)
В)
Рассмотрим выражение (1 .27). Оно представляет собой раз ность двух двойных интегралов по областям S и Si, из которых об ласть Si лежит внутри области S. Предположим, что области S я
Si прямоугольные, сходственные стороны которых |
параллельны |
||
между собой |
(рис. 1.5, о ). |
|
|
Воспользуемся единичной функцией Хевисайда |
[61] от двух |
||
переменных Г 0(* — *i; у — t/i): |
|
|
|
|
Т 0( х — х г; y — y i)= T 0( x — x l)T 0(y — yl)t |
(1 .3 1 ) |
|
где |
Г , ( х - ^ ) _ | ° |
при * < * ' |
(1 .3 2 ) |
|
[1 |
при х ^ > х х. |
|
Фильтрующее свойство единичной функции определяется по сле дующей формуле:
|
а 9 Ь% |
J J / ( ^ |
*/)г о ( * — х г; y — y i)d x d y = ^ j f { x , y)dxdy, (1 .3 3 ) |
^1^1 |
X i y i |
если |
a x< x x< a2; bx< У\<Ь- |
Отмеченная особенность единичной функции позволяет, если ее
ввести в выражение П с (1 .27), вместо двух двойных интегралов по лучить один. Рассмотрим этот процесс последовательно. Формула
|
|
d\&я |
|
|
|
/ |
(х, у ) d x d y = ^ |* f { x , |
y)dxdy |
(1 .3 4 а ) |
|
|
а|bi |
|
|
представляет собой интеграл по площади S |
(см. рис. 1.5, а). Далее |
|||
отыскиваем |
|
|
|
|
г |
Да |
|
|
|
Tlc = |
j j [ l |
— r 0( x - x 1; y — y i ) ] f { x t у )dxdy. |
(1 .3 4 6 ) |
|
|
a, b, |
|
|
|
Этот интеграл находится по |
площади S за вычетом заштрихован |
ного участка (см. рис. 1 .5 ,6 ). |
Интеграл |
ва &* |
|
х х] у — у^)-\-Тй(х —х 2\ У—У \ )]/{х, |
у )dxdy+ |
||
Пс==£ |*[1 |
Г 0(л |
||||
а г bg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1 .3 4 B)* |
определяется ;по той же площади, что и в предыдущем |
интеграле, |
||||
с добавлением |
заштрихованной площади |
на рис. 1.5, в. Зависи |
|||
мость: |
|
|
|
|
|
яа |
ft* |
|
|
|
|
n c = f |
f Il — r 0(jf— |
у — у1)+ т 0(х — х 2\ У— Ух)+ |
|||
«1 |
bj |
|
|
|
|
|
+ |
Г 0(х —х 1; y —y2) f ( x , |
у) dxdy |
(1 .34гJ |
|
соответствует интегрированию по той же площади, что и в инте грале (1 .3 4 ,в), с добавлением площади заштрихованного участка, представленного на рис. 1.5, г. И, наконец, интеграл
я , ft* |
|
П с= С f [1 —г 0(JC— л:г; y -y i)-\ - r 0( x — x 2; |
у — &) + |
а , ft, |
|
-j-Г о { х — х х\ у — у2)~ т 0(х — х 2; у — у2) ] / ( х , |
y)dxdy (1 .3 4 д ) |
соответствует интегрированию по площади 5 за вычетом площади 5j, т. е. он равен величине Пс, определяемой соотношением (1-27).
Таким образом, введение единичной функции позволило от двух двойных интегралов .перейти к одному, определяемому по площади, ограниченной только наружным контуром:
" ■ - f S j 7^ { [ . т - * - « + т ( - 8 - ) Т + Ч £ - * ■ ’ + |
|
|
|||||||
+ т ( 9 ’] [ | - - * . - + т ( £ Л + К г - * . - + |
|
|
|||||||
+ |
т ( £ |
) ' Т + |
£ Ч | + & |
+ г £ |
' ) ' - > |
- |
<■■*> |
||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х1= |
1 - г |
0(л — х х, у — y i ) + r 0(x — *2; |
у — У\)Л- |
|
|
||||
|
"Ь Г0(х —х х\ у — у2) —Г 0(х — х 2) у — УгУ |
|
(1 .3 6 ) |
||||||
Далее через £ i |
обозначим параметр |
жесткости, |
зависящий |
от |
|||||
координат JC, |
у: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Е х = |
Е х(х, у )= Е \ х. |
|
|
|
(1 .3 7 ) |
||
Введение Е i |
соответствует |
переходу от оболочки |
с |
вырезом |
к |
||||
«сплошной» модели, о чем мы условились выше. |
|
|
|
|
|||||
Сделав соответствующие преобразования после введения пара метра жесткости (1.37) и используя соотношения ('1.10), вместо ,(1.35) получим:
В разд. 1.4 черточки над компонентами нагрузки Nx, Ny и 7 оз начают, что. рассматривается «сплошная» модель, заменяющая конструкцию с отверстиями. В последующих разделах эти черточки для упрощения записи опускаются.
'• Рассуж дая аналогично, энергию изгиба оболочки с вьгрезом бу дем определять по формуле
( 1 - 3 9 )
В соотношениях (1.40) под D понимается изгибная жесткость оболочки, зависящая от .крординат х, у:
D = D (x , у ) = — ^ -----. |
( 1 . 4 0 |
а ) |
|
v |
12(1 — (JL2) |
V |
' |
Введем параметр .плотности оболочки: |
|
|
|
Y i= Y *i- |
(1*41) |
||
Тогда кинетическая энергия определится не по формуле |
(1.2Э), |
||
а по выражению |
|
|
|
К = |
|
(1 .4 2 ) |
|
Определим вариацию полной |
потенциальной энергии, |
считая |
|
изменяющейся только функцию и: |
|
|
|
Ь%а%
5„П=^ \ JJ,±(bu)+ T ±(ba)\ dxdy.
ЪСъ |
Х |
Х |
Для выделения независимых вариаций преобразуем правую часть, интегрируя по частям члены, содержащие производные пере мещений:
»„ п= \ pv,8a]2:rfy+[Г8й]Йd x - ( \ (^+-^-1 badxdg.
bi bx Л\
(1.43)
Теперь рассмотрим интеграл по времени от частной вариации ки нетической энергии оболочки по и:
\ b , K d / ( ^ y ± ^ ( * t ) d x d y d L
tо |
t0 b, а, |
|
В результате интегрирования по частям найдем: |
|
|
К Л - 5 5 7 » 1 [ £ |
- \ \ \ Y r j k badxdydL |
(1.44) |
Аналогично соотношениям (1.43) и (1.44) запишем частные ва риации по v:
bvП = ^ [Л^-о] b\dx-\-\^ \Т8т»]а\ dy — \\ |
+ ^ " ) bvdxdy\ (1 .4 5 ) |
||
о, |
й, |
Ьг а, |
|
Ь ° к л = 5] v |
[ i i H ' . dxdy~ i \ 5y- f ^ bvdxdyat- |
(i-46) |
||
fо |
ai |
b\ 0-\ |
|
|
Вариация потенциальной энергии при варьировании |
функции |
|||
прогиба |
w может быть найдена из выражений |
(1.38) и |
(1 .39): |
|
|
8™П: =^ V{\-|-k kxNjy xbw- - Wkjy „wiw '+ N xX^ |
b8 (|^| ) + |
|
|
|
|
bi at |
|
|
(1.47)
+ M % ) + W i [ ^ ) Y xdy-
Интегрируем каждый, член по частям:
Ьша»
bi а.
bwdxdy\
&I аг |
|
Q.\ |
|
byД| |
|
|
|
'd x — |
Ь\ Q\ |
|
fli |
|
- i \ i F { f ^ - Y w d x d y ' |
|
|
bya, |
|
b%o% |
bу |
byOy |
|
|
д /~ dw |
| d xd y — ^ p
J J |
d y |
\ d x J |
by L |
by ay |
|
|
|
by a t |
|
by |
|
|
|
j |
d x d y = \ . |
J |
J |
\ d x l y ) |
J L |
by a , |
|
by |
|
by ay _
\ \ |
дШх bwdxdy; |
дхч |
|
by ay |
|
by at
by _
г Г дМх _ Л а*
Ьу
\ \ M |
% |
) dxdy= |
\ |
[ M |
t ) l ' dx- |
|
bi fli |
|
|
ai |
|
|
|
T Г m u |
T* |
, |
r* ? |
^ |
||
fli |
|
|
|
fribyдa1у |
|
|
|
|
|
|
al |
|
|
by a t |
|
|
|
ay |
|
|
- \ { |
^ |
bwX |
d y + \ \ ^ |
k ^ dxdtr' |
||
bi |
|
|
|
|
ftjd\ |
|
by 0L\ |
|
|
|
bI |
|
|
flj |
_ |
|
|
|
|
|
\ [ — - 8©| |
dx-\- C \ — — bwdxdy. |
|||||
J L dx |
Jby |
|
И J dxdy |
|||
ay |
by ay |
Вносим результаты интегрирования по частям в (1.47) и полу чаем:
дт ■ * дш ш * - - м \ ы Г а у + |
|
||||
Ъ° П = \ [ { " * 1 7 + 7 ду дх |
д у ) |
|
|||
Ь\ |
|
|
|
)Ч‘ |
|
fli |
ry да> |
дму |
дН |
|
|
|
ду |
ду |
дх |
d x -{— |
|
|
|
|
|||
|
|
аа |
|
|
|
+ \и * + я>8 ш |
> |
+) f |
+*> *Ш 1 : ^ - |
|
|
Л, |
|
А, |
|
|
|
- S i [ * А + » А + £ ( ® , + + f f ) + 4 - ( г |
) - |
||||
bi ai |
|
|
|
|
|
&mx |
d2MtJ |
ffiff "I |
|
|
|
- ^ r ~ ^ ~ 2 s ^ r d x a y - |
( 1 4 8 > |
||||
Для кинетической энергии найдем
h |
™ ft, в, |
= |
\ |
\ |
^ |
^ |
м х а у - (1-49> |
Подставим полученные выражения в уравнение (1.24), соответ ствующее принципу Гамильтона — Остроградского. Тогда придем к следующему вариационному уравнению:
t, b%aa |
_ |
s » K '+
to bt at
Q; "SI |
ъ |
Qj |
|
^ |
|
11 Yi
g
и
oa■j +
+ \ dx |
|
|
|
_ JYi_ A |
# « 0 |
|
л |
|
+ |
y v # + |
||
1 dy |
1 |
y |
£ |
|
d/2; |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
||||||||
+ J - ( N „ * » _ L f ^ . U A j f-J* |
1-Ж |
ь |
|
' 1 - |
||||||||
dx |
\ |
dx |
|
|
/ |
<?«/ '^ |
dx |
|
|
Ьу ) |
||
dW x |
d2Mj |
- 2 Ш |
\ a |
YIA |
d%w■j8W — |
|||||||
dX2 |
<?(/2 |
dxdy + ? |
g |
да |
|
|
|
|||||
<1 «• г |
|
|
|
|
|
|
dMy |
дН j Вда| d x d t — |
||||
» ( я |
|
| r |
^ |
.+ 37 |
— |
|||||||
|
ду |
|||||||||||
|
|
|
^ |
9 dy |
дх |
|
|
|
||||
to at |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
it 6» |
|
|
|
dw |
| ^ |
dw |
дМх |
дН j 8да|°* d y d t -J- |
||||
-И!АГх5 и + Г В т > + ^ |
||||||||||||
dx |
1 1 |
dx |
дх |
ду |
|
|
||||||
to frx
+ 5 f [ ( » . + « ,
'«А. |
tBt>, |
+\1fri Oi |
<h5°> |
Так каквариации би, бо и бон, рассматриваемые как функции, времени, произвольны, то множители при каждой из .вариаций дол жны быть равны нулю. Отсюда, как следствие вариационного урав нения, получаются три дифференциальных уравнения движения я соответствующие граничные и начальные условия задачи:
dN |
, |
дТ . |
__ Y IА |
d2« |
дх |
~г |
ду "*~Рх |
g |
д& |
Шу_ |
дТ |
Л- Ру |
|
ЦА_ |
___Q. |
||
ду |
|
||||||
дх |
|
g |
дР " |
! |
|||
|
day |
- |
^ dw \ |
, д |
/у ; |
dor . |
|
м г * - м л + - £ - ( ^ . « |
|
di/ |
) |
ду |
\ |
дх |
|
|
d* |
|
|||||
|
дчН |
, |
дШу \ |
|
yi/г |
d2r?> |
|
|
djcd/f |
|
dy2 |
/ |
^ |
g |
= 0 . |
|
|
д& |
|||||
(1 .51).
(1 .52).
(1.53).
Уравнения (1.51) и (1.52) можно получить иначе, если рассмот реть элемент оболочки h d x d y представленный на рис. 1.6, по гра ням которого действуют усилия в срединной поверхности, моменты и поперечные силы. В этом случае уравнение (1.51) будет пред ставлять собой уравнение движения элемента в проекциях на на правление касательной к линии х , а (1.52) — на направление каса~ тельной к линии у.