книги / Устойчивость и колебания пластинок и оболочек с отверстиями

Из ура©нен«ий (3.50) по формулам [82]

можно определить формулы для максимального тангенциального напряжения Тщах и главных напряжений <7i и Ог, выраженных через комплексные потен­ циалы ф! (г) и ф[ (г):

"Ртах = \hi (г) + J/1 (г)|,

Итак, мы рассмотрели, каким образом основные задачи плоской теории упругости приводятся к краевым задачам теории функций комплексного пере­ менного. Далее перед нами стоит задача— -найти регулярные в области S функ­ ции комплексных переменных ф(г) и ^i(z) по заданным на границе условиям.

Не описывая свойства аналитических функций и исходных для их нахож­ дения соотношений, так как они достаточно полно освещены в работе [89], рас­ смотрим, на чем основываются дальнейшие теоретические исследования. После­ дующая процедура состоит в том, что задача, которую трудно решить на задан­ ной плоскости, с помощью отображения на новую плоакость преобразуется и легко решается благодаря специально выбранной системе координат.

Допустим, что существует однозначная в некоторой области функция

ласть S плоскости z=x+ iy . Пусть преобразование (3.52) таково, что каждой точке z области S соответствует также одна точка на плоскости £. В этом слу­ чае преобразование (3.52) будет единственным. Оно называется обычно кон­ формным отображением (преобразованием) области 2 на S (и обратно). Кон­ формные преобразования — такие, которые не изменяют углов. Но при сохра­ нении углов, сами координатные липни могут деформироваться. Именно это свой­ ство положено в оонову введения новых координатных систем. Например, если конечная односвязная область S ограничена простым замкнутым контуром L, то, согласно теореме Римана, существует функция (3.52), регулярная в круге |£|<1 и отображающая однолистно круг |||<1 на область S. Конформное пре­ образование односвязной области на круг позволяет двухмерную краевую за­ дачу свести- к одномерной.

Отображение, осуществляемое функцией (3.52), будет взаимно-однозначным и непрерывным вплоть до границы при весьма общих предположениях относи­ тельно свойств границы L. Вполне достаточно, чтобы граница L была замкну­ той кривой Жордана.

Так как рассматриваемую методику исследования мы предполагаем при­ менить к задаче устойчивости прямоугольных пластинок с центральным Круто­ вым отверстием, то нам необходимо найти конформное преобразование для двухсвязных областей.

Известно [95], что любая двухсвязная область S может быть однолистно отображена на круговое кольцо. Если область S ограничена кривыми Жорда­ на, то отображение будет взаимно-однозначным и непрерывным, включая гра­ ницы. Круговое кольцо, на которое однолистно отображается данная двуховязная область, единственно в том смысле, что отношение радиусов граничных ок­

ния конформно отображающих функций для конечных двухсвязных областей с

.логической схемой и программой для построения интерполяционного полинома можно найти в работе [95].

Ранее мы определяли, что если область с упругой средой занимает в пл> •окости z—x+iy конечную двухсвязную область о, ограниченную изнутри кри­ вой Li, а онарунси кривой Ьг, и известна функция z=<o(£), отображающая кру-

нат (рис. 3.11) можно определить следующим образом. Вначале выпишем изве­

значениям) две бесконечные системы лилейных алгебраических уравнений огаосительно неизвестных a* (k= ±1; ± 2 ; . . . ) :

Одна система получается при v = l, 2,..., + оо, а вторая при v = — 1, —2 ,..., —со. Системы уравнений (3.63) дают возможность вычислить коэффициенты ак [k=

(3.60), а функция ф(£) — равенством (3.62).

Алгоритм вычисления плоского напряженного состояния пластинки с от­

регулярной системы и ее можно решать методом редукции [33]*. Определив за­ тем ф(£), находим по соотношениям (3.58) компоненты напряженного состоя­ ния. Затем сравниваем полученные значения для cQ, ой, т0„ с заданными на

контуре Ь2. Если ошибка больше допустимой, увеличиваем число членов в ап­ проксимирующем полиноме (3.62) и решаем задачу снова. Процесс повторяется до достижения -наперед заданной точности.

исследование собственно задачи устойчивости может быть выполнено либо на основе метода Ритца, как это проводилось в работе [102], либо на основе урав­ нения устойчивости Сен-Венана, как это осуществлялось в работах [33, 34]. Ни­ же изложено решение, аналогичное использованному в последних работах.

Уравнение устойчивости Сен-Венана, записанное в коо-рдииатах д, 0, име­ ет вид

* Возможность преобразования бесконечной системы в кваэирегулярную еще не обеопечивает применения метода редукнни к исходной системе. Строгое дока­ зательство применимости метода редукции для решения системы (3.63) даже

при негладких нагрузках дано в статье Н. М. Хугарянского «К использованию метода редукции решения бесконечных систем в плоских задачах упругости для

двуховявных областей» (в кн.: Методы решения задач упругости и пластично­ сти, вып. 6, Горький, ГГУ, 1972).

где w — пропиб; h — толщина; D = £ h 3l[{2(\ — цг)] — цилиндрическая жесткость пластинки.

Граничные условия для шарнирно опертых внешнего и внутреннего конту­

В связи с тем, что контуры пластинки L\ и L2 совпадают с координатными ли­ ниями Q=*Qi\ 1, а линии 0=const ортогональны им, отпадает необходимость пере­ носа граничных условий, а при применении метода сеток — 'измельчения шага сетки.

Последующее решение может осуществляться с применением конечных раз­ ностей. Для этого уравнение равновесия (3.64) и граничные условия, например (3.66), должны быть переписаны с заменой дифференциальных соотношений аппроксимирующими их конечными разностями. В итоге получим систему од­ нородных линейных алгебраических уравнений, которые в общем виде могут быть представлены таким образом:

f

В (3.67) через Л и В обозначены конечио-разностные аналоги дифференциаль­ ных операторов, стоящих в левой и правой частях уравнения (3.64); W— век­ тор-столбец неизвестных; h=kh/D — критический параметр; k — общий множи­ тель oQ, о0 и Tq8.

Значения к, минимальные по модулю среди положительных и отрицательных собственных значений, являются наименьшими параметрами критической нагруз­ ки соответственно при растяжении либо сжатии. Собственные векторы показы­ вают форму потери устойчивости.

Так как мы используем при решении задачи метод сеток, то у «ас должны возникнуть затруднения в связи с удовлетворением граничным условиям сво­ бодного края пластинки аналогично численным решениям, основанным на конеч­ но-разностной аппроксимации. Видимо, этим можно объяснить тот факт, что только в [33, 34] .решения задач устойчивости для пластинок со свободным вы­ резом, осуществленные с использованием потенциалов Г. В. Колосова, доведены до конечного числового результата.

Для иллюстрации изложим решение, полученное в работе [34]. Здесь изло-

.жен алгоритм решения, запрограммированный на языке АЛГОЛ и Э. И. Гриюлюком и Н. А. Кулаковым, реализованный на ЭВМ БЭСМ-6.

Вычисления осуществлялись дли квадратной пластинки с центральным кру­ говым отверстием. Сжимающая равномерная нагрузка q предполагалась дейст­ вующей вдоль оси х по двум противоположным сторонам наружного контура. Отображающая функция в этом случае была избрана в виде

выдерживалась при удержании в полиноме <р(|) в зависимости от радиуса вы­ реза от 60 при 2R l a = G ; [ до Г2'0 при 2#/a=f0,7 членов.

На рис. 3.12 показано распределение напряжений ив по линиям 0= 0: я/2

для трех различных размеров отверстия. Данные на рисунке по напряжениям сосредоточены на дугах I, И, III, соответствующих следующим размерам от­ верстий: 2Rja= 0,18; 0,36 и 0,54. Здесь 1, 2, 3 очерчивают области повышенной концентрации напряжений (|сг*/9|>2); кривые 4, 5, 6 — области положитель­ ных значений ав .

При решении задачи устойчивости вследствие симметрии рассматривалась, лишь одна четвертая часть пластинки. Число внутренних точек конечно-разност­ ной сетки выбиралось из расчета максимально возможного, но не больше 150. Общее число точек было при этом не больше 250.

На ,рис. 3.13 с помощью кривых 1 ... 4 показан характер изменения зависи­ мости критической нагрузки .от относительных размеров отверстия 2R/a для сле­ дующих вариантов: 1 — внешний н внутренний контуры шарнирно оперты; 2— внешний контур шарнирно оперт, а внутренний контур защемлен; 3 — внешний контур защемлен, а внутренний шарнирно оперт; 4 — ^внешний и внутренний контуры защемлены. При вычислениях предполагалось, что кинематические гра­ ничные условия, накладываемые на пропиб, не препятствуют перемещению кра­ ев в плоскости пластинки. Численные исследования по используемым соотноше­ ниям показали, что дли первых двух вариантов закрепления в пределе при Я-*-О получается известное решение для квадратной пластинки с точечным подкреп­ лением в центре

а для 3 и 4 вариантов при /?-н0 значение дКр стремится к соответствующему значению критической нагрузки для сплошной, защемленной по контуру, квад­ ратной пластинки, так как в данном случае точечное подкрепление в центре не оказывается на значении критической нагрузки (в силу того, что потеря устой­ чивости происходит по несимметричной форме).

3.5. О ВОЗМОЖНОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ УСТОЙЧИВОСТИ ПЛАСТИНОК С ВЫРЕЗАМИ

БЕЗ ПРЕДВАРИТЕЛЬНОГО ОПРЕДЕЛЕНИЯ НАЧАЛЬНОГО НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ

Как мы убедились ранее» решение задач устойчивости пластинок с отверотними в «точной» постановке связано с определенными трудностями, касаю­ щимися необходимости исследования .начального напряженною состояния, при­ водящего к громоздким вычислениям.

В то же время энергетический критерий потери устойчивости допускает представление, в которое, кроме потенциальной энергии изгиба пластинки, вхо­ дит только робота заданных внешних сил [2]. Поэтому возникает вопрос, нуж­ но ли вообще' знать распределение истинных навальных напряжений при на­ хождении критических нагрузок в задачах устойчивости.

Этот вопрос первоначально .рассматривался применительно к сплошным тон­ костенным конструкциям. Например, в практике строительства широко распро­ странены пластинки со свободными граничными условиями в овоей плоокости я

.равномерно распределенными контурными нагрузками. Для таких пластинок, как замечено в [5.1], при .решении задач устойчивости с применением энергети­ ческого критерия получается один и тот же результат, не зависимо от того, как вычисляется изменение потенциальной энергии внешних сил: то ли через внут­ ренние напряжения, получающиеся из решения плоской задачи:

то ли через работу внешних сил Nx и Nv на перемещениях точек внешнего кон­ тура пластинки в ее плоскости

Подставляя (3.74) в (3.73), получим

ь

(3. 75)

Здесь необходимо обратить внимание яа тот факт, что полученный резуль­ тат справедлив в предположении, что поле напряжений равномерно.

В работе [51] В. И. Липкий продемонстрировал, что этот вывод справедлив для аналогичных пластинок при любом поле напряжений.

Однако здесь следует отметить установленный в [51] факт, что применение системы (3.74) при определении и и v часто приводит к ошибочным результа­ там. В связи с этим при применении (3.74) должны быть введены дополнигель: ные условия. В работе [2] при исследованиивозможности решения задач устой­