книги / Теория и расчет импульсных и цифровых оптико-электронных систем

(т. е. отношение сигнал/шум не зависит от длительности импульса). Кажущийся парадоксальным вывод о возможности постоянства или даже неограниченного возрастания величины сигнал/шум с уменьшением длительности импульса имеет в своей основе то обстоятельство, что при асимптотически убывающей до нуля спектральной плотности шумов в ряде случаев теоретически возможно достоверное обнаружение сигнала сколь угодно малой

энергии.

Наличие в энергетическом спектре шума белой составляющей исключает возможность неограниченного возрастания или по­ стоянства отношения сигнал/шум с уменьшением длительности импульса. Однако при определенных условиях может наблю­ даться увеличение этого отношения до некоторого максимума с последующим снижением, что соответствует оптимальной дли­ тельности сигнала.

Для доказательства этого положения рассмотрим энергетиче­ ский спектр шума

G (о) = В + Л/соп,

применительно к которому отношение сигнал/шум для импульса (5.36) может быть выражено в виде

Таким образом, при п > 1 величина р стремится к нулю как при неограниченном уменьшении, так и при неограниченном уве­ личении длительности импульса, т. е. функция р (т) имеет макси­ мум, которому соответствует оптимальная длительность им­ пульса т = топт. Значение топг зависит от параметров шумов (Л, В, л), а также (в определенной мере) от формы принимаемого

приводит к возрастанию величины отношения сигнал/шум до определенного предела, зависящего от Л и Sx (/со).

101

Следует отметить, что все результаты, относящиеся к влиянию временного формирования оптических импульсов постоянной ве­ личины, справедливы и для радиосигналов.

§ б.б. ВЛИЯНИЕ СТРУКТУРЫ И ХАРАКТЕРИСТИК ПРИЕМНО-УСИЛИТЕЛЬНОГО ТРАКТА НА ЭФФЕКТИВНОСТЬ МЕТОДА

ВРЕМЕННОГО ФОРМИРОВАНИЯ СИГНАЛА

Эффективность преобразования энергетического подобия при нелинейных алгоритмах обнаружения. При решении задачи обна­ ружения для условий, когда приходится учитывать шумы, обус­

расчеты вероятностей ошибок при измерении К. В качестве иллю­ страции на рис. 5.5 даны зависимости Рл г (Я) и Рпр (Я) (кривые /).

неоптимальной, при учете шумов полезного сигнала. Характе­

102

Влияние временного формирования лучистых импульсов на условия обнаружения квантованных сигналов на фоне дискретных шумов. Подсчет числа одноэлектронных импульсов, предусма­ триваемый оптимальным алгоритмом обнаружения квантованных сигналов, требует создания приемной системы с высоким времен­ ным разрешением, что может быть связано с техническими труд­ ностями. Вследствие этого представляет интерес оценка возможно­ стей амплитудного обнаружения.

Определение пороговых величин в системе амплитудного обна­ ружения включает в себя нахождение выходных функций распре­ деления значений шума и смеси сигнала с шумом по известным статистическим характеристикам входных воздействий. Строгое аналитическое решение такой задачи, согласно работе [29], в общем случае сопряжено со значительными трудностями. Если для упрощения принять, что интенсивность входного потока фото­ электронов постоянна, т. е. ks 4- k,M= k([) = const (что соответ­ ствует прямоугольной форме лучистого. сигнала), то ток на вы­ ходе линейного фильтра с импульсной характеристикой g (/) равен

Ы*)= Е eg(t-tt),

1=1

(*ф) = ^1^1^14- eg(/)) eg(t)\ dt,

О

где е — заряд электрона.

Решение этого уравнения в явном виде получено лишь для некоторых простых форм импульсных характеристик фильтра. Наиболее простые соотношения получаются при прямоугольной импульсной характеристике.

Рассмотрим этот случай применительно к приему сигнала пря­ моугольной формы, считая, что временная протяженность импульс­ ной характеристики фильтра равна длительности сигнала. Будем при этом ориентироваться на типичные для большинства при­ ложений длительности сигнала т ^ 1(Г8 с. Тогда одноэлектрон­ ный импульс можно с достаточным приближением рассматривать как 6-функцию. При указанных предпосылках амплитуда сигнала на выходе фильтра будет пропорциональна числу одноэлектрон­ ных импульсов, возникающих за время разрешения системы, а функция распределения амплитуд выходного сигнала будет совпадать с функцией распределения эмиттированных с фотока­ тода электронов. Таким образом, в рассмотренном случае метод амплитудного обнаружения приводит к тем же результатам, что и метод счета электронов.

При расчете пороговых соотношений с использованием крите­ рия Неймана — Пирсона на основе выражения (3.28) при задан­

на

ном значении РЛфТ определяется порог п0, а затем из формулы (3.29) находится пороговый сигнал ks, соответствующий допусти­ мому значению Япр.

Отметим, что применительно к системе амплитудного обнару­ жения, фильтр которой не пропускает нулевых частот, порог срабатывания пп будет определяться разностью пл = п0 — £ш.

Энергетическая эффективность временного преобразования сиг­ нала, очевидно, может быть охарактеризована величиной отно-

Применительно к случаю преобразования энергетического по­ добия величина т\показывает, во сколько раз изменяется отноше­ ние заданной (располагаемой) энергии лучистого сигнала к по­ роговой энергии.

Приведем данные расчета [53] пороговых соотношений и эффективности преобразования энергетического подобия для не­ которых типовых параметров системы. На рис. 5.7 изображены

сительно малых kw (например, при *1И ^ 10"1) величина порого­ вого сигнала остается практически постоянной (определяющим фактором здесь являются квантовые флуктуации лучистого сиг­ нала). Это предопределяет неэффективность любых мероприятий по уменьшению шумов приемного устройства ниже определенного предела.

На рис. 5.8 приведена кривая, характеризующая эффектив­

106

= 9 эл/т,. относящаяся к области нормальных шумов. Пунктир­ ная кривая на рис. 5.8 соответствует случаю преобразования при нормальном законе распределения (если бы он имел место во всем диапазоне значений

Из приведенных на рис. 5.8 кривых видно, что в области дис­ кретных помех уменьшение длительности лучистого сигнала (за­ данной энергии) может иметь смысл лишь до определенного пре­ дела, причем достигаемый выигрыш оказывается всегда меньше, чем в случае нормальных аддитивных шумов.

Эффективность временного преобразования сигнала в ОЭС с инерционным ФПК. В таких ОЭС энергетический выигрыш вследствие преобразования энергетического подобия в условиях правомерности гауссовой статистики шумов при оптимальной фильтрации будет характеризоваться в соответствии с формулой (5.11) соотношением

эффективности преобразования Энергетического подобия проведем на примере гауссова импульса, спектральная функция которого определяется зависимостью (4.24). Используя соотношение (4.33),

Рассмотрим предельные соотношения. При относительно боль­ шой инерционности величина v > 1. Тогда в соответствии с фор­ мулой (4.36) энергетический выигрыш отсутствует при сокраще­

т. e. в условиях инерционного приема энергетический выигрыш при сокращении длительности импульса стремится к определен­ ному пределу. При этом максимально достижимое значение отно­ шения сигнал/шум принимает выражение

При m > 1 соотношение (5.46) приобретает вид

107

Из приведенных соотношений видно, что максимально дости­ жимое значение сигнал/шум при сокращении длительности им­ пульса зависит от обобщенного показателя инерционности v, при этом чем больше величина v, тем быстрее отношение сигнал/шум достигает своего максимального значения.

Эффективность преобразования энергетического подобия при неоптимальной фильтрации. Оценим влияние неоптимальности передаточной функции линейного фильтра на условия обнару­ жения при сокращении длительности импульса постоянной энер­ гии. Прежде всего проведем рассмотрение для случая использо­ вания безынерционного приемника при постоянной спектральной плотности шумов. При этом будем полагать, что степень несогла­ сованности характеристики фильтра с принимаемым сигналом остается неизменной.

Пусть исходному сигналу fx (t) соответствуют некоторая про­ извольная передаточная функция тракта Kh\ (j®) и отношение сигнал/шум pftl, а преобразованному сигналу /2 (/) = V i (М) — передаточная функция тракта Къъ (/®) = Khi,{jto/k). Иными сло­ вами, форма частотной характеристики сохраняется, а полоса пропускания изменяется пропорционально коэффициенту пре­ образования %.

где t02 и Xtn2 — моменты времени, соответствующие максимумам выходной сигнальной функции для преобразованного и исходного сигналов.

• Таким образом, при принятых предпосылках эффективность преобразования энергетического подобия не зависит от вида (исход­ ной) передаточной функции приемного тракта, т. е. она одинакова для случаев оптимальной и неоптимальной линейной фильтрации.

Если и при шумах (помехах) с неравномерной спектральной плотностью передаточную функцию тракта выбирать по условию Kh2(jы) = Кin (itoll), то энергетический выигрыш вследствие преобразования энергетического подобия может быть определен соотношением

108

где

j G(Ясо) JКhi (j®) I2 d®

о

Рассмотрим в виде примера случай системы с инерционным ФПК при приеме сигнала гауссовой формы и исходной переда­ точной функции Khi (/<«>) вида

I Км (/to) |= kexp [—о2т2/(4я)].

Такая передаточная функция в системе с инерционным ФПК является неоптималыюй, и ее выбор в ряде случаев может быть обусловлен точностными требованиями.

С учетом соотношений (5.47) и (5.48) получим

Как видно из выражения (5.49), при рассматриваемом отступ­ лении от условия оптимизации обнаружения эффективность пре­ образования. энергетического подобия существенно уменьшается, причем зависимость отношения сигнал/шум от длительности сиг­ нала постоянной энергии носит экстремальный характер, поэтому увеличение мощности лучистого импульса при соответствующем сокращении его длительности может не только не улучшить, но даже ухудшить условия обнаружения сигнала.

Рассмотрим теперь другой возможный вид неоптимальной ли­ нейной фильтрации в условиях преобразования энергетического подобия. Пусть передаточная функция приемного тракта отли­ чается от оптимизированной по исходному импульсу только шириной полосы пропускания, т. е. масштабным коэффициентом, и остается постоянной при изменении коэффициента преобразо­ вания К. Тогда эффективность преобразования энергетического

Используя соотношение (5.50), проведем оценку энергетиче­ ского выигрыша на примере приема гауссова сигнала вида (4.35).

Для случая приема на фоне нормального белого шума (безынер­ ционный ФПК) из выражения (5.50) получим

109