книги / Теория и расчет импульсных и цифровых оптико-электронных систем

Представим выражение в круглых скобках в виде суммы про­ стых дробей

\/[р 2(1 Н“ ТоР)\ — Мр2— T QIP -f- TQ!(\ -}- Top)-

Для всех простых дробей в табл. 8.1 имеются 2-преобразования. Поэтому, обращаясь к этой таблице, получим

§ 9.3. ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ

ЗАМКНУТЫХ ИМПУЛЬСНЫХ И ЦИФРОВЫХ СИСТЕМ

Знание дискретной передаточной функции разомкнутой им­ пульсной системы К (г) и системы с ЦВМ /С2 (z) = D (z) К (г) позволяет найти дискретные передаточные функции замкнутой системы. При этом, как и в непрерывных системах, здесь рассма­ тривают передаточные функции трех типов: по управляющему сигналу, по ошибке от управляющего сигнала и по ошибке от помехи.

В соответствии со схемой, приведенной на рис. 9.10, а, можно записать зависимость между 2-преобразованнями выходной вели­ чины у [п] и ошибкой х [п J

называется дискретной передаточной функцией импульсной замк­ нутой системы по управляющему воздействию. Как следует из формулы, она равна отношению г-преобразований выходного сигнала у [п] к управляющему воздействию s [я].

Посредством аналогичных выкладок можно получить дис­ кретную передаточную функцию по управляющему воздействию для систем GЦВМ (рив. 9.10, б)

боте [2], устанавливающая связь между 2-преобразованиями на

Однако эта формула используется только в тех случаях, когда необходимо рассматривать поведение выходной величины у (£) между дискретными значениями отсчетов пТ.

Если в формулу (9.34) подставить Y (z) — S (2) — X (2), то получим

— дискретная передаточная функция замкнутой импульсной си­ стемы по ошибке от управляющего воздействия, которая возникает вследствие инерционности системы.

Для системы с ЦВМ дискретная передаточная функция по ошибке от управляющего воздействия имеет вид

162

Вид дискретной передаточной функции по ошибке от помехи зависит от характера помехи и от места ее приложения. Пусть непрерывная детерминированная помеха п (t) приложена в некото­ рой точке непрерывной части системы. Обозначим через Ki (р) передаточную функцию части непрерывной системы (вместе с фор­ мирующим устройством) от импульсного элемента Т до места приложения помехи, а через Кг (р) — передаточную функцию части непрерывной системы от точки приложения помехи до выхода (рис. 9.11).

Рис. 9.11. Структурная схема замкнутой импульсной си­ стемы при воздействии помех

Для того чтобы можно было воспользоваться 2-преобразова­ нием, необходимо сначала помеху перенести на вход импульсного элемента. В рассматриваемой схеме для этого достаточно перенести помеху к началу системы. Если в точке приложения найти изобра­ жение помехи по Лапласу

то на выходе системы ее изображение определится выражением

JV, (Р) = N (р) Kt (Р)■

Следовательно, если эту помеху отсчитывать в дискретные моменты замыкания ключа t — пТ, то можно найти ее z-преобра- вование

При отсутствии управляющего сигнала только эта помеха по­ ступит на вход ключа с отрицательным знаком (так как она про­ ходит через отрицательную обратную связь). Поэтому z-преобразо- вание сигнала от помехи на выходе замкнутой системы опреде­ лится выражением

Следует обратить внимание на то обстоятельство, что такой характер прохождения помехи имеет место в том случае, если в си­ стеме имеется реальное устройство, преобразующее все непрерыв­ ные сигналы в последовательность коротких импульсов (например, как в системах с ЦВМ, в которых ввод и вывод информации в про­ цессоре осуществляется в дискретные моменты времени с интерва­ лами 7\ и Ту. Многие ОЭС (в частности, системы слежения за

лазерным импульсным источником излучения и телевизионные или многоэлементные мозаичные системы для измерения положе­ ния малоразмерных источников непрерывного излучения) явля­ ются импульсными только по прохождению управляющего си­ гнала. По прохождению помехи эти системы являются (в большин­ стве случаев) непрерывными. Тогда сигнал на выходе системы от

помехи п (t), приложенной так, как это изображено на рис. 9.11, определится по формуле

так, как это изображено на рис. 9.11, определится формулой

^ (Р) = К2 (Р) N (р).

Для замкнутых по сигналу и по помехе систем с ЦВМ г-преобра- зование сигнала от помехи, приложенной в некоторой точке непре­ рывной системы, на выходе определится формулой

= jXT/2 можно затем получить соответствующие частотные ха­ рактеристики Ф (е'407) и Ф (/X). Зная дискретные передаточные функции Ф (г) и входное воздействие 5 (г), можно найти также решетчатые функции у Iп] и х [п ].

Рассмотрим, например, какими будут решетчатые функции у [п] и х [п ] для импульсной системы, структурная схема которой изображена на рис. 9.4. Как было показано ранее, дискретная передаточная функция этой системы в разомкнутом состоянии имеет вид

164

сигнал отсчитывать в дискретные моменты времени с интерва­ лом 7\ то будем иметь единичную ступенчатую функцию s Iп] (рис. 9.12, а), 2-преобразование которой, согласно табл. 8.1, опре­ делится формулой

жения (9.51) в формулу (9.41), найдем г-преобразование ошибки следящей системы

Глава 10

УСТОЙЧИВОСТЬ И ТОЧНОСТЬ РАБОТЫ ИМПУЛЬСНЫХ И ЦИФРОВЫХ СИСТЕМ

§ 10.1. УСТОЙЧИВОСТЬ ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМ

Для обеспечения устойчивости импульсной системы необходимо и достаточно, чтобы корни характеристического уравнения, полу­ чаемого путем приравнивания нулю знаменателя дискретной передаточной функции замкнутой системы (9.37):

располагались в левой полуплоскости комплексной плоскости корней р = с -Ь /со (рис. 10.1, а). Для систем с ЦВМ характери­ стическое уравнение определяется из формулы

165

Условия устойчивости выполняются, поэтому система устойчива. Если динамике импульсной системы соответствует характе­ ристическое уравнение более высокого порядка, то нахождение корней связано с большими (как правило приближенными) вы­ числениями. В этих случаях более удобно перейти к характерис­ тическим уравнениям, аргументом которых является до-преобра-

Для устойчивости линейной импульсной системы необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения, которое получается из выражения (10.7), находились в левой полу­ плоскости на комплексной плоскости корней (рис. 10.1, в).

Однако, располагая характеристическим уравнением, выра­ женным через до-преобразование, для решения вопроса об устой­ чивости системы корни находить не обязательно, так как для этой цели можно воспользоваться критерием Гурвица, широко приме­ няемым при анализе непрерывных систем. Для исследования воп­ роса устойчивости системы по критерию Гурвица необходимо составить матрицу из коэффициентов характеристического урав­ нения

a 0Wm -(- Ц1дот "1 + • • • - { - а т-1Ш + а т = 0

Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы при

Врезультате замены переменной z — (1 4- до)/(1—до) получаем (1 — А 4- В) до2 -Ь 2 (1 — В) до + (1 + А + В) = 0. (10.8)

167

Отсюда получаем условие устойчивости в виде неравенств (10.6), Из этих условий можно определить, при каких значениях неко­ торых параметров система может находиться на границе устой­ чивости. Пусть, например, дискретная передаточная функция

Определим коэффициент передачи К непрерывной части си­ стемы, при котором система будет находиться на границе устой­

+ уТК (1 — d) = 0.

Из матрицы Гурвица (10.9) следует, что все коэффициенты

Пусть, например, дискретная передаточная функция имеет вид

К (z) = КТЦг — 1).

168

На комплексной плоскости эта функция имеет вид, изображен­ ный на рис. 10.2. Следовательно, критическое значение величины kT, при котором система находится на границе устойчивости, определяется величиной КТ — 2.

§10.2. ОШИБКИ ЗАМКНУТЫХ ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМ

ВУСТАНОВИВШИХСЯ РЕЖИМАХ РАБОТЫ

Вконечном счете основным требованием к автоматическим системам (в том числе и к импульсным) является заданная точность воспроизведения или оценки управляющего сигнала. Поэтому, найдя ошибки таких систем при некоторых типовых входных сигна­ лах, можно судить о динамических качествах системы. Наиболее полное представление о них можно получить по кривой переход­ ного процесса, получаемого, например, при входном сигнале в виде единичной ступенчатой функции. Такой переходный процесс позволяет найти и максимальное значение ошибки, и ее изменение во времени, позволяющее судить о склонности системы к колеба­ тельности. Однако такой путь оценки качества импульсных авто­ матических систем связан с необходимостью выполнения большого объема вычислений и последующей обработки их результатов. Поэтому для оценки качества автоматических систем пользуются различными критериями. В настоящее время разработано не­ сколько групп таких критериев, приведенных в работах [2, 9, 101. Здесь мы рассмотрим лишь два способа оценки качества, базирую­ щихся на оценке точности работы в установившихся типовых режимах.

Первый способ позволяет оценить качество системы с помощью коэффициентов ошибок, когда входной управляющий сигнал s (/) имеет произвольную форму, но ограничен конечным числом про­

изводных s, s, ...» s<m> = dms (t)/dtm. Тогда дискретное изображе­ ние ошибки для импульсной замкнутой системы определится выра­ жением

X (ерТ) = фя (ерТ) S (ерГ) = S (ерТ)/[1 + К (ерТ)], (10.10)

где Ф* (еРт) — дискретная передаточная функция замкнутой системы по ошибке от управляющего воздействия; 5 (ерГ) — дискретное преобразование входного сигнала s (t). Разложив эту передаточную функцию в ряд Тейлора по возрастающим степеням р , получим

169

Например, найдем ошибку в установившемся режиме работы импульсной замкнутой системы, имеющей в разомкнутом состоя­ нии дискретную передаточную функцию

К (г) = 0,llz/(z — 1) (z — d),

если на вход системы подано управляющее воздействие с постоян­ ной скоростью изменения входного сигнала s (t) — s0t. Решетчатая

Ci = № х (epT)/(dp)]p=о = 2Т.

Если полученный результат применить к примеру системы слежения за уголковым отражателем, рассмотренному ранее, где 0,11 = уКТ (1 — d), d — 0,78 = е~7’/7\ то будем иметь сг =

=1/уК = 0,1 с.

Подставив выражения s [л], s [л], с0 и сг в формулу (10.12),

найдем значение установившейся ошибки слежения

*уст [п\ — Cis Iп1 = 2 Т SQ-

Д ля примера системы слежения за уголковым отражателем имеем

■^уст [^] — sJyK — 0,150-

Величина этой ошибки будет выражена в радианах, если ско­ рость управляющего входного воздействия (угловая скорость движения уголкового отражателя относительно оптической оси следящей системы) задана в радианах в секунду.

Для импульсных разомкнутых систем, предназначенных глав­ ным образом для измерения параметров каких-либо процессов, дискретная передаточная функция по ошибке от управляющего воздействия имеет вид

где Км — масштабный коэффициент, с которым измеряемый пара­ метр преобразуется в выходную величину; К' (ерг) = = К (ер7)//См — передаточная функция, модуль которой равен единице.

Коэффициенты ошибок с0, clf ... в этом случае получаются дифференцированием выражения (10.14), согласно формуле (10.13).

170